初中数学苏科版（2024）七年级下册（2024）用二元一次方程组解决问题达标测试

这是一份初中数学苏科版（2024）七年级下册（2024）用二元一次方程组解决问题达标测试，共17页。试卷主要包含了8，等内容，欢迎下载使用。

考点一：由实际问题抽象出二元一次方程组
1.由实际问题列方程组是把“未知”转化为“己知”的重要方法，它的关键是把己知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。
2.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②
同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符。
3.找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系，
②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等
量关系，
③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系，④图形问题，分析图形的长、宽，从中找
等量关系。
.考点二：二元一次方程组的应用
1.审：仔细读题，明确己知量、未知量，梳理各数量间的关系，找出两个独立的等量关系（关键）。
2.设：设两个未知数（常用x、y），分直接设元（求什么设什么）和间接设元（设中间量），注明单位。
3.找：依据题意，精准定位两个能完整表达题意的等量关系。
4.列：根据等量关系，将未知量与已知量用代数式表示，列出两个二元一次方程，组成二元一次方程组
5.解:用代入消元法或加减消元法解方程组，求出x、y的值。
6.验:双重检验
①代入原方程组，验证是否为方程组的解；②检验解是否符合实际问题的意义（如人数、数量不能为负数、小数等）。
7.答：写出完整答案，包含单位，清晰回应问题。
题型一：行程问题
【典例精讲】（2025秋•怀化期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要6.2秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要16.4秒．
（1）求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
（2）已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？
【分析】（1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒，根据题意列方程组求解即可；
（2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可．
【解答】解：（1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒．
根据题意列二元一次方程组得，3x+4y=6.210x+8y=16.4，
解得x=1y=0.8，
答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要0.8秒．
（2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步．
根据题意列二元一次方程得，75m+65n＝3000，
m=40−13n15，
∵m，n均为正整数，
∴m=27n=15或m=14n=30或m=1n=45，
①27×1+15×0.8＝27+12＝39秒，
②14×1+30×0.8＝14+24＝38秒，
③1×1+45×0.8＝1+36＝37秒，
答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒．
【变式训练1】（2025秋•沈北新区期末）火车以40m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30s，其中火车全身都在隧道里的时间是20s，求隧道和火车的长度．
【分析】设隧道的长度为xm，火车的长度为ym，根据题意列出方程组求解即可解答．
【解答】解：设隧道的长度为xm，火车的长度为ym，
依题意得x+y=30×40x−y=20×40，
解得x=1000y=200．
答：隧道的长度为1000m，火车的长度为200m．
【变式训练2】（2025秋•新民市期末）小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用20min，他骑自行车的平均速度是200m/min，步行的速度是70m/min，他家到学校的路程是3350m，求他骑自行车和步行的时间分别为多少分钟．
【分析】设他骑自行车的时间为x分钟，步行的时间为y分钟，利用路程＝速度×时间，结合他从家到学校共用20min且他家到学校的路程是3350m，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设他骑自行车的时间为x分钟，步行的时间为y分钟，
根据题意得：x+y=20200x+70y=3350，
解得：x=15y=5．
答：他骑自行车的时间为15分钟，步行的时间为5分钟．
题型二：方案问题
【典例精讲】（2025秋•平江县期末）【新情境】每年的4月23日是世界读书日，今年读书日的主题是“阅读改变未来．”阅读能够让我们获得知识，扩展视野，还可以激发思考，增加创造力，对个人成长和社会发展有深远影响．八年级（1）班的班长小明通过微信团购群为班级网购图书，他在2个团购群中看到同款图书销售：
根据以上内容，解决下列问题：
（1）团购群1中，每本《骆驼祥子》和《傅雷家书》各多少元？
（2）小明所在班级一共有15名同学团购《骆驼祥子》和《傅雷家书》这两本书，且这15人均要两本书各一本，选择在哪一个团购群购买更合算？
【分析】（1）设团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为x元，《傅雷家书》的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，求出x、y的值，即可得到答案；
（2）根据题意分别求出团购1群和团购2群的费用，比较之后即可得到答案．
【解答】解：（1）设团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为x元，《傅雷家书》的单价为y元，
3x+2y+12=1204x+3y=154，
解得：x=16y=30，
答：团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为16元，《傅雷家书》的单价为30元．
（2）小明所在班级需要购买《骆驼祥子》和《傅雷家书》各15本，共30本，
（15×16+15×30）×0.8＝552，
（42×15）﹣30×2＝570，
∵570＞552，
∴团购1群购买更合算．
【变式训练1】（2025秋•思明区校级期末）某市快递收费标准因快递公司、包裹重量、目的地（省内/省外）和是否轻泡件（体积较大而重量较轻）而异，以下是2025年快递公司收费规则：
轻泡件计费规则：取实际重量和体积重的较大值进行计费，其中体积重＝体积÷6000．
例如：用顺丰寄往省内的轻泡件实际重5kg，体积为48000cm3，其体积重＝48000÷6000＝8kg，由于8kg＞5kg，则按8kg收费，共需支付12+2×（8﹣1）＝26元．
某商家需采购省内外的乒乓球（轻泡件）和乒乓球拍（非轻泡件），由于厂家不同，乒乓球与球拍需分开计算快递费用，其11月进货量如下：
（1）若该商家11月与顺丰合作，请计算11月的快递费用共需多少钱？
（2）若商家打算11月的省外快递选一个公司合作，请判断选顺丰还是德邦更加优惠？并说明理由．
（3）因乒乓球热销，该商家计划于12月再采购一批乒乓球，由于仓库容量有限，暂拟采购0.24m3，省内外均有订货，且全部发轻泡件并按体积重计费，预计用顺丰比德邦便宜50元，问该商家省内与省外的体积重分别是多少kg？
【分析】（1）分别计算出乒乓球省内外费用和乒乓球拍省内外费用，再求和即可；
（2）分别求出顺丰省外总费用和德邦省外总费用，比较即可；
（3）设省内体积重为xkg，省外体积重为ykg，根据体积关系和顺丰比德邦便宜50元列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）计算乒乓球省内费用：
体积重＝24000÷6000＝4（kg），费用＝12+2×（4﹣1）＝18（元）；
计算乒乓球省外费用：
体积重＝6000÷6000＝1（kg），费用＝22（元）；
计算乒乓球拍省内费用：费用＝12+2×（15﹣1）＝40（元），
计算乒乓球拍省外费用：费用＝22+8×（10﹣1）＝94（元）；
总费用＝18+22+40+94＝174（元），
答：11月的快递费用共需174元；
（2）计算顺丰省外总费用：
乒乓球费用＝22（元），球拍费用＝22+8×（10﹣1）＝94（元），合计＝22+94＝116（元）；
计算德邦省外总费用：
乒乓球费用＝11 （元），球拍费用＝11+10×（10﹣1）＝101 （元），合计＝11+101＝112（元），
∵112＜116，
∴选德邦更加优惠；
（3）设省内体积重为xkg，省外体积重为ykg，
顺丰总费用＝[12+2（x﹣1）]+[22+8（y﹣1）]＝24+2x+8y，
德邦总费用＝[11+3（x﹣1）]+[11+10（y﹣1）]＝9+3x+10y，
根据题意得：6000x+6000y=0.24×10000009+3x+10y−(24+2x+8y)=50，
解得x=15y=25，
∴该商家省体积重是15kg，省外的体积重是25kg．
【变式训练2】（2025秋•汨罗市期末）根据如表素材，完成表中的任务．
【分析】（任务1）设跳绳的单价是x元，篮球的单价是y元，根据购买2个篮球与购买11条跳绳所花的钱一样多，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（任务2）根据使用方案①，方案②购买篮球和跳绳的总费用相同，列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论；
（任务3）利用总价＝单价×数量，可求出使用方案①，方案②及“先按方案②购买30个篮球（获赠30条跳绳），再按方案②购买30条跳绳”所需费用，比较后，即可得出结论．
【解答】解：（任务1）设跳绳的单价是x元，篮球的单价是y元，
根据题意得：y=5x+102y=11x，
解得：x=20y=110，
答：篮球的单价是110元，跳绳的单价是20元；
（任务2）根据题意得：0.85（110×30+20a）＝110×30+20（a﹣30），
解得：a＝35，
答：a的值为35；
（任务3）选择方案①所需费用为（110×30+20×60）×0.85＝3825（元）；
选择方案②所需费用为110×30+20×（60﹣30）＝3900（元）；
先按方案②购买30个篮球（获赠30条跳绳），再按方案②购买60﹣30＝30（条），跳绳所需费用为110×30+20×0.85×30＝3810（元），
∵3900＞3825＞3810，
∴当a＝60时，更省钱的购买方案为：先按方案②购买30个篮球（获赠30条跳绳），再按方案②购买30条跳绳．
题型三：工程问题
【典例精讲】（2025秋•尉氏县月考）某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工120个零件，那么在规定时间内只能完成任务的90%；如果每天加工150个零件，那么可提前1天完成任务，且多加工50个零件．求规定的时间和这批零件的总数．
【分析】设规定的时间为t天，这批零件的总数为m个，根据“如果每天加工120个零件，那么在规定时间内只能完成任务的90%；如果每天加工150个零件，那么可提前1天完成任务，且多加工50个零件”列出方程组，解出即可．
【解答】解：设规定的时间为t天，这批零件的总数为m个，
依题意列二元一次方程组得：120t=90%m150(t−1)=m+50
解得t=12m=1600．
即规定的时间为12天，这批零件的总数为1600个，
答：规定的时间为12天，这批零件的总数为1600个．
【变式训练1】（2025秋•隆回县期末）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问：
（1）甲、乙两队每天费用各为多少？
（2）若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？
【分析】（1）设甲每天费用为x元，乙每天费用为y元，根据题意可得等量关系：①甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；②甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，根据费用列出方程组，解方程组即可；
（2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意可得等量关系：①甲和乙8天的工作量＝1，②甲6天的工作量+乙12天的工作量＝1，根据等量关系列出方程组，再解可得甲和乙的工作效率，再求费用即可．
【解答】解：（1）设甲每天费用为x元，乙每天费用为y元，由题意得：
8x+8y=35206x+12y=3480，
解得x=300y=140．
答：甲每天的费用为300元，乙每天的费用为140元．
（2）设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得：
8x+8y=16x+12y=1，
解得x=112y=124，
甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成．
甲单独做需要12×300＝3600元，乙单独做需要24×140＝3360元．
答：乙队单独完成费用较少．
【变式训练2】（2025秋•临湘市期末）某城市准备对市区内的一段19.2km长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工24m．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工16m，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？
【分析】假设甲、乙两队原计划每天分别施工x、y米，根据题意120天完成19.2km可得方程120×（x+y）＝19200，后逐步分析实际情况甲前60天与后60天的总工程量，乙前60天与后30天（离开30天）的工程量，总工程量与总时间按原计划未变，故可得另一方程60x+60×（x+24）+60y+30×（y+16）＝19200，建立方程组，最终求出x、y的值．
【解答】解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米，
原计划120天合作施工19.2km，
故可得方程120×（x+y）＝19200，
实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天（x+24）m施工剩余的60天；
乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天（y+16）m施工剩余的30天；
由此可得方程60x+60×（x+24）+60y+30×（y+16）＝19200，
可得方程组120×(x+y)=1920060x+60×(x+24)+60y+30×(y+16)=19200，
化简得x+y=1604x+3y=576，
解得x=96y=64，
故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米．
题型四：数字问题
【典例精讲】（2025•镜湖区校级二模）算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数．
【分析】根据题意得出百位数8，设个位数字为x，十位数字为y，由题意列出方程组，解方程组，即可求解．
【解答】解：依题意，百位数为5+3＝8，设个位数字为x，十位数字为y，
由题意列二元一次方程组得：
x+y=4y−2=x，
解得：x=1y=3，
∴这个三位数为831，
答：这个三位数为831．
【变式训练1】（2025秋•南丰县校级月考）有一个两位数，设它的十位数字为a，个位数字为b，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小18．
（1）原来的两位数为 ，新的两位数为 ．（用含a，b的代数式表示）
（2）根据题意，求原来的两位数．
【分析】（1）根据数字的表示方法即可求解；
（2）由题意，得a+b=8，10a+b−(10b+a)=18，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：原来的两位数为10a+b；新的两位数为10b+a；
故答案为：10a+b；10b+a
（2）由题意列二元一次方程得，a+b=810a+b−(10b+a)=18，
解得a=5b=3，
即这个两位数为53，
答：原来的两位数为53．
【变式训练2】（2025春•东莞市校级月考）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍大1．若把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大45，原来的两位数是多少？
【分析】设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，然后根据题意列方程组求解即可．
【解答】解：设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，
根据题意列二元一次方程组得，x=2y+1(10y+x)+45=10x+y，
解得x=9y=4．
4×10+9＝49．
答：原来的两位数为49．
题型五：积分问题
【典例精讲】（2025秋•冷水滩区期末）2025年湘超联赛火爆三湘大地，永州队带着“永冲锋”的倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，最终力克常德队，将湘超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，湖南14个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．12月14日常规赛结束，部分球队的积分如表：
（1）请问在这一次湘超常规赛中一共比了多少场比赛？
（2）求永州队一共胜了多少场？
（3）岳阳的小王由于学习原因，没有了解最新的比赛信息，只知道负4场，他猜测岳阳队的总积分为20分，你认为可能吗？为什么？
【分析】（1）湖南14个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），每个球队比赛13场，故共14×13场，但是每次比赛数2遍，所以总场数为14×132场；
（2）设永州队胜x场，平y场，根据永州队比赛了13场，得分22分，列方程组求解即可；
（3）设岳阳队胜a场，平b场，根据岳阳队比赛了13场，得分20分，列方程组求解得a，b不是整数，故可求解题目．
【解答】解：（1）湖南14个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），
∴14×(14−1)2=91（场），
答：这一次湘超常规赛中一共比了91场比赛；
（2）设永州队胜x场，平y场，
根据题意列二元一次方程组得：
x+y+3=133x+y=22，
解得x=6y=4，
答：永州队一共胜了6场；
（3）不可能，理由如下：
设岳阳队胜a场，平b场，
根据题意列二元一次方程组得：
a+b+4=13①3a+b=20②，
解得a=112b=72，
∵a，b不是整数，故不可能．
【变式训练1】（2025秋•惠城区期末）某联赛部分队伍积分如下（每队已经完成18场比赛）：
根据表格提供的信息解答下列问题：
（1）求胜一场积 分，负一场积 分；
（2）某队已完成18场比赛，该队的胜场总积分可能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设胜一场积x分，负一场积y分，根据积分表列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设胜场数为z，则负场数为18﹣z，根据某队已完成18场比赛，该队的胜场总积分等于负场总积分，结合（1）的结论，列出一元一次方程，解方程判断即可．
【解答】解：（1）设胜一场积x分，负一场积y分，
由题意得：18x=549x+9y=36，
解得：x=3y=1，
故答案为：3，1；
（2）不能，理由如下：
假设该队的胜场总积分等于负场总积分，
设胜场数为z，则负场数为18﹣z，
由题意得：3z＝18﹣z，
解得：z=92，
∵z为非负整数，
∴z=92不符合题意，舍去，
∴某队已完成18场比赛，该队的胜场总积分不可能等于负场总积分．
【变式训练2】（2025秋•海淀区校级期末）一次知识竞赛，共设20道选择题，每题必答．下表记录了3名参赛同学在这次比赛中的得分情况．
（1）在这次比赛中，答对一道题得 分，答错一道题扣 分；
（2）同学G说他得了82分，你认为可能吗？通过列方程计算说明理由．
【分析】（1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，根据表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）假设同学G得了82分，设同学G答对了m道题，则答错了（20﹣m）道题，根据得分＝5×答对题目数﹣1×答错题目数，列出关于m的一元一次方程，解之可得出m值，即可解决问题．
【解答】解：（1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，
由题意得：20x=10019x−y=93，
解得：x=5y=2，
即答对一道题得5分，答错一道题扣2分，
故答案为：5，2；
（2）同学G不可能得82分，理由如下：
假设同学G得了82分，
设同学G答对了m道题，则答错了（20﹣m）道题，
根据题意得：5m﹣2（20﹣m）＝82，
解得：m＝1737，
又∵m为自然数，
∴m＝1737不符合题意，舍去，
∴假设不成立，
即同学G不可能得82分．
题型六：分配问题
【典例精讲】（2025秋•尉氏县月考）某中学组织学生参加社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．求原计划租用45座客车的辆数和学生的总人数．
【分析】通过设未知数，根据“原计划租车的学生人数”这一等量关系，列出二元一次方程组，求解得到原计划租车数量和学生总人数．
【解答】解：设原计划租用45座客车x辆，学生总人数y人
根据题意列二元一次方程组的应用，45x+15=y60(x−1)=y，
解得x=5y=240．
答：原计划租用45座客车5辆，学生总人数240人．
【变式训练1】（2025秋•平桥区期末）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有45个工人，每个工人一天能做40个茶杯或8个茶壶，如果10个茶杯和1个茶壶为一套．
（1）如何安排生产可使每天生产的产品配套？
（2）该厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要300h完成．现计划由一部分人先做10h，然后增加5人与他们一起合作20h，恰好完成这项工作的56，假设这些人的工作效率相同，应怎样安排参与制作茶具的具体人数？
【分析】（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人，根据共有45个工人，每个工人一天能做40个茶杯或8个茶壶，如果10个茶杯和1个茶壶为一套，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设先安排m人制作茶具，根据若由1人制作这批茶具需要300h完成．现计划由一部分人先做10h，然后增加5人与他们一起合作20h，恰好完成这项工作的56，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人，
由题意得：x+y=4540x=10×8y，
解得：x=30y=15，
答：安排30人生产茶杯，15人生产茶壶可使每天生产的产品配套；
（2）设先安排m人制作茶具，
由题意得：10×m300+20×m+5300=56，
解得：m＝5，
答：先安排5人制作茶具，10h后增加5人与他们一起合作制作．
【变式训练2】（2025秋•碑林区校级期末）某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
【分析】设竖式纸盒加工m个、横式纸盒加工n个，恰好能将购进的纸板全部用完，根据该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设竖式纸盒加工m个、横式纸盒加工n个，恰好能将购进的纸板全部用完，
由题意得：m+2n=12004m+3n=3000，
解得：m=480n=360，
答：竖式纸盒加工480个，横式纸盒加工360个，恰好能将购进的纸板全部用完．
【变式训练3】（2025秋•织金县期末）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大、小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．
（1）该车间有男、女生各多少人？
（2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大、小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人生产大齿轮，多少名工人生产小齿轮？
【分析】（1）设该车间有男生x人，女生y人，根据该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设应该分配m名工人生产大齿轮，则分配（85﹣m）名工人生产小齿轮，根据2个大齿轮与3个小齿轮配套，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设该车间有男生x人，女生y人，
根据题意得：x+y=85y=2x−8，
解得：x=31y=54，
答：该车间有男生31人，女生54人；
（2）设应该分配m名工人生产大齿轮，则分配（85﹣m）名工人生产小齿轮，
根据题意得：3×16m＝2×10（85﹣m），
解得：m＝25，
∴85﹣m＝60，
答：应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮．
题型七：销售、利润问题
【典例精讲】（2025秋•三河市期末）某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少30元．若购进甲种商品4件，乙种商品5件，需要870元．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？
（2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4600元．在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品卖出后获利25%．
①求甲、乙两种商品各多少件？
②求出乙种商品的每件售价为多少元？
【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+30）元，根据购进甲种商品4件，乙种商品5件，需要870元的等量关系列出方程即可求解；
（2）①先设购进甲种商品y件，则乙种商品为（50﹣y）件，根据等量关系列出方程求得甲乙两种商品的个数，
②设乙种商品的每件售价为z元，根据条件列出关于z的一元一次方程即可求解．
【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，
由题意得：4x+5（x+30）＝870，
解得x＝80（元），
则x+30＝80+30＝110（元），
答：甲种商品的每件进价为80元，乙种商品的每件进价为110元；
（2）①设购进甲种商品y件，
由题意得：80y+110（50﹣y）＝4600，
解得：y＝30，
∴50﹣y＝20，
∴进甲种商品30件，则乙种商品为20件；
②设乙种商品的每件售价为z元，
由题意得：30×（100﹣80）+20（z﹣110）＝4600×25%，
解得z＝137.5（元）．
答：乙种商品的每件售价为137.5元．
【变式训练1】（2025秋•乾县校级期末）某租车公司分两批采购A、B两种型号的新能源汽车，第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．
（1）求A、B型汽车每辆的进价分别是多少万元？
（2）为扩展租车业务，该租车公司计划再用200万元购进A、B两种型号的新能源汽车（两种车型都买），若恰好用完200万元，该租车公司共有几种购买方案？
【分析】（1）通过两批采购的费用列出方程组，求出两种车型的进价；
（2）再根据总预算列出不定方程，结合“两种车型都买”的条件求正整数解．易错点是忽略“正整数解”的限制，或在解不定方程时漏解．
【解答】解：（1）设A型汽车进价为 x 万元，B型汽车进价为y 万元．
根据题意列二元一次方程组得，
x+4y=682x+3y=76，
解得x=20y=12，
答案：A型汽车进价20万元，B型汽车进价12万元．
（2）设购买a 辆A型汽车，b辆B型汽车，总花费200万元，
根据题意列二元一次方程得：20a+12b＝200，
解得b=50−5a3，
为使 b 为正整数，a 必须满足50﹣5a＝3×15﹣5（a﹣1）能够被3整除，且1≤a＜10，
即满足a﹣1能够被3整除且1≤a＜10．
可能的a值为1、4、7，对应 b值分别为15、10、5．
答：共有3种购买方案．
【变式训练2】（2025秋•包河区校级期末）2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“天宫”和“嫦娥”两种模型．已知1个“天宫”模型和4个“嫦娥”模型的进价共1750元；4个“天宫”模型和3个“嫦娥”模型的进价共3100元．求每个“天宫”和“嫦娥”模型的进价各为多少元？
【分析】设每个“天宫”模型的进价为x元，每个“嫦娥”模型的进价为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案．
【解答】解：设每个“天宫”模型的进价为x元，每个“嫦娥”模型的进价为y元，
由题意列二元一次方程组得，x+4y=17504x+3y=3100，
解得：x=550y=300，
即每个“天宫”模型的进价为550元，每个“嫦娥”模型的进价为300元，
答：每个“天宫”模型的进价为550元，每个“嫦娥”模型的进价为300元．
题型八：和差倍分问题
【典例精讲】（2025秋•海曙区期末）学校组织植树活动，已知在甲地植树的有18人，在乙地植树的有7人，在丙地植树的有5人，现调40人去支援．
（1）若前往支援的地点只有甲地和乙地，要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，那么应调往甲、乙两地各多少人？
（2）若甲、乙、丙三地都需要支援，其中调往丙地的人数比调往乙地人数的2倍少1人，要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，那么应调往甲、乙、丙地各多少人？
【分析】（1）设调往甲地x人，则调往乙地（40﹣x）人，根据要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设调往乙地m人，调往丙地n人，则调往甲地（40﹣m﹣n）人，根据调往丙地的人数比调往乙地人数的2倍少1人，要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）设调往甲地x人，则调往乙地（40﹣x）人，
由题意得：18+x＝4（7+40﹣x），
解得：x＝34，
∴40﹣x＝6，
答：调往甲地34人，调往乙地6人；
（2）设调往乙地m人，调往丙地n人，则调往甲地（40﹣m﹣n）人，
由题意得：n=2m−118+40−m−n=7+m+5+n，
解得：m=8n=15，
∴40﹣m﹣n＝40﹣8﹣15＝17，
答：应调往甲地17人，乙地8人，丙地15人．
【变式训练1】（2025秋•无锡校级期末）某水果销售店用1200元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
（1）这两种水果各购进多少千克？
（2）由于乙种水果运输和售卖过程中出现了20%的损耗，若该水果店按售价销售完剩下的所有水果，是赚钱还是赔钱了？赚或赔了多少元？
【分析】（1）设购进甲种水果x千克，乙种水果y千克，根据1200元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，列出方程组求解即可；
（2）先算出两种水果的总销售额，再减去进价费用1200元即可得出答案．
【解答】解：（1）设购进甲种水果x千克，乙种水果y千克，
根据题意列二元一次方程组得：5x+10y=1200x+y=140，
解得x=40y=100，
答：购进甲种水果40千克，乙种水果100千克；
（2）甲种水果的销售额为40×7＝280（元），
乙种水果的销售额为100×（1﹣20%）×15＝1200（元），
则总销售额为280+1200＝1480（元），
1480﹣1200＝280（元），
答：赚钱了，赚了280元．
【变式训练2】（2025秋•海南期末）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表：
请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价．
【分析】设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，任取两个条件，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
（①②）根据题意得：x+y+30=1402y−x=40，
解得：x=60y=50．
答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元；
（①③）根据题意得：x+y+30=1405x=6y，
解得：x=60y=50．
答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元；
（②③）根据题意得：2y−x=405x=6y，
解得：x=60y=50．
答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元．
题型九：几何问题
【典例精讲】（2025秋•贵州期末）如图（单位：cm），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形．
（1）若设小长方形的长为xcm，宽为ycm，则大长方形的宽可用含有x与y的式子表示为 cm；
（2）每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？
【分析】（1）直接列出代数式即可；
（2）由大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，列出方程组，求出小长方形的长与宽即可．
【解答】解：（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
根据题意列式得，大长方形的宽为：（x+y）cm，
故答案为：（x+y）；
（2）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
由题意列二元一次方程得，
2x=x+3yx+y=40，
解得x=30y=10，
所以每块小长方形墙砖的长为30cm，宽为10cm．
【变式训练1】（2025秋•隆回县期末）如图，用8块相同的小长方形拼成一个宽为8cm的大长方形，求大长方形的面积．
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的对边相等及大长方形的宽为8cm，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用长方形的面积公式即可求出大长方形的面积．
【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意，得：3x=5yx+y=8，
解得：x=5y=3，
∴8（3x）＝8×（3×5）＝120．
答：大长方形的面积为120cm2．
【变式训练2】（2025秋•乾县校级期末）如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求一个小长方形的长和宽分别是多少？（用方程组的知识解答）
【分析】设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图形列二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：2x=5yx+y=21，
解得：x=15y=6，
答：每个小长方形的长是15cm，宽是6cm．
题型十：古代问题
【典例精讲】（2025秋•灞桥区校级期末）列方程组求解古算题：
《算法统宗》中有一道“折绳测井”问题，大意为：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？
【分析】设绳长x尺，井深y尺，根据“先将绳子折成三等分放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等分放入井中，一份绳长比井深多1尺”列方程组求解即可．
【解答】解：设绳长x尺，井深y尺，
根据题意列二元一次方程组，
x3−y=4x4−y=1，
解得x=36y=8，
∴绳长为36尺，井深为8尺，
答：绳长为36尺，井深为8尺．
【变式训练1】（2025秋•娄星区期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著．某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．
（1）请列方程组，并求出该店有客房多少间？房客多少人？
（2）假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房．每间客房收费30钱，且每间客房最多人住3人，一次性定客房25间以上（含25间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？
【分析】（1）设该店有客房x间，房客y人，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）分别求出单独订房及一次性定客房25间所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设该店有客房x间，房客y人，
依题意，得：7x+7=y9(x−1)=y，
解得：x=8y=63．
答：该店有客房8间，房客63人．
（2）若每间客房住3人，则63名客人至少需要客房21间，需付费30×21＝630（钱）；
若一次性定客房25间，则需付费30×25×0.8＝600（钱）．
∵600＜630，
∴一次性定客房25间更合算．
答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房25间更合算．
【变式训练2】（2025秋•铜川期末）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲拥有的羊数就是乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人拥有的羊数相等．问甲、乙各有多少只羊？
【分析】设甲有x只羊，乙有y只羊，根据“如果乙给甲9只羊，那么甲拥有的羊数就是乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人拥有的羊数相等”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，
根据题意得：x+9=2(y−9)x−9=y+9，
解得：x=63y=45．
答：甲有63只羊，乙有45只羊．
题型十一：年龄问题
【典例精讲】（2025秋•南昌期末）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足|m﹣10|+（n+2）2＝0．
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）①问题探究：将一根木棒AB如图所示放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m；当点B移动到点A时，点A所对应的数为n，由此可得这根木棒的长为 个单位长度；
②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大时，我就116岁啦!”求爷爷的年龄；
（3）在（2）①的条件下，现将木棒AB从某点处切断，切断后左边的木棒以每秒4个单位的速度往左移动，同时右边的木棒以每秒5个单位的速度往右移动，是否存在某一时刻，M和N刚好是两段木棒的中点？若存在，求出木棒切断处所表示的数；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可得m＝10，n＝﹣2；
（2）①求出MN＝10﹣（﹣2）＝12，可得AB=13MN＝4，即这根木棒的长为4个单位长度；
②仿照“问题探究“列式计算可得爷爷的年龄是66岁；
（3）设木棒切断处所表示的数为x，两段木棒运动的时间为t秒，求出A表示的数为﹣2+4＝2，B表示的数为10﹣4＝6，根据M和N刚好是两段木棒的中点列方程组可解得答案．
【解答】解：（1）∵|m﹣10|+（n+2）2＝0，
∴m﹣10＝0，n+2＝0，
∴m＝10，n＝﹣2；
故答案为：10，﹣2；
（2）①由（1）知，MN＝10﹣（﹣2）＝12，
根据题意可得，AB=13MN＝4，
即这根木棒的长为4个单位长度；
故答案为：4；
②∵116﹣（116+34）÷3＝116﹣150÷3＝116﹣50＝66（岁），
∴爷爷的年龄是66岁；
（3）存在某一时刻，M和N刚好是两段木棒的中点，理由如下：
设木棒切断处所表示的数为x，两段木棒运动的时间为t秒，
A表示的数为﹣2+4＝2，B表示的数为10﹣4＝6，
根据题意得：2−4t+x−4t2=−2x+5t+6+5t2=10，
解得x=269t=109，
∴木棒切断处所表示的数为269．
【变式训练1】（2024秋•大祥区期末）南安英都拔拔灯是国家级非物质文化遗产之一，因疫情原因停办了好几年，今年正月又重新举行，吸引了众多的海内外游客参与．其中一位34岁的男子带着他的两孩子参与了拔拔灯活动，下面是记者与两个孩子的对话：
记者：两位小朋友，你们几岁了？这么小就来拔拔灯了．
妹妹：我比哥哥少4岁；
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄；
根据对话内容，请你用方程（组）的知识帮记者求出今年哥哥和妹妹的年龄．
【分析】设今年哥哥的年龄是x岁，妹妹的年龄是y岁，根据父亲、哥哥及妹妹年龄之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设今年哥哥的年龄是x岁，妹妹的年龄是y岁，
依题意得：x−y=4x+2+3(y+2)=34+2，
解得：x=10y=6．
故今年哥哥的年龄是10岁，妹妹的年龄是6岁．
【变式训练2】（2024秋•金沙县期末）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合：小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
（1）求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
（2）假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【分析】（1）设今年小明的爸爸的年龄是x岁，爷爷的年龄是y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用毕业的时间＝2022﹣年龄+15，即可求出结论．
【解答】解：（1）设今年小明的爸爸的年龄是x岁，爷爷的年龄是y岁，
依题意得：(x−4)+(y−13)=95y−x=40，
解得：x=36y=76．
答：今年小明的爸爸的年龄是36岁，爷爷的年龄是76岁．
（2）2022﹣36+15＝2001（年），
2022﹣76+15＝1961（年）．
答：小明的爸爸是2001年毕业的云附学子，爷爷是1961年毕业的云附学子．
题型十二：分段计费问题
【典例精讲】（2025秋•嘉荫县期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如表（注：水费按月份结算，m3表示立方米）：
（1）填空：若该户居民2月份用水4m3，则应收水费 元；
（2）若该户居民3月份水费为68元，求该居民用了多少水？
（3）若该户居民4，5两个月共用水15m3（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水xm3，求该户居民4，5两个月共交水费多少元？（用含x的代数式表示）
【分析】（1）根据用水量与消费单价计算即可；
（2）根据表中水费收取方法可知该用户3月份用水量超过了10m3，设该用户3月份用水量为xm3，列方程求解即可；
（3）因为该户居民4，5两个月共用水15m3，5月份用水量超过了4月份，可知x＜7.5，分情况列出代数式即可．
【解答】解：（1）∵该户居民2月份用水4m3，
∴应收水费2×4＝8元，
故答案为：8；
（2）∵若该用户3月份用水超过6m3不超过10m3，最多应收水费12+4×（10﹣6）＝28元，
若该用户3月份用水不超过6m3，最多应收水费2×6＝12元，
该户居民3月份水费为68元，
∴该用户3月份用水量超过了10m3，
设该用户3月份用水量为xm3，
12+4×（10﹣6）+8×（x﹣10）＝68，
解得：x＝15，
答：该居民3月份用水量为15m3；
（3）∵该户居民4，5两个月共用水15m3，5月份用水量超过了4月份，
∴x＜7.5，
当5≤x≤6时，则9≤15﹣x≤10，
根据题意可得：2x+2×6+4×（15﹣x﹣6）＝（48﹣2x）元；
当6＜x＜7.5时，则7.5＜15﹣x＜9，
当x＜5时，则15﹣x＞10，
根据题意可得：2x+28+8×（15﹣x﹣10）＝（﹣6x+68）元；
根据题意可得：2×6+4×（x﹣6）+2×6+4×（15﹣x﹣6）＝36元．
∴当0＜x＜5时，（68﹣6x）元；当5≤x≤6时，48﹣2x元；当6＜x＜7.5时，36元．
【变式训练1】（2024秋•银川校级期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市民居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用+污水处理费）
已知小王家2024年7月用水16吨，交水费59.2元．8月份用水25吨．交水费99.7元．
（1）求a、b的值．
（2）如果小王家9月份用水36吨，求小王家这个月上交水费多少元？
【分析】（1）根据“7月用水16吨，交水费59.2元．8月份用水25吨．交水费99.7元”列方程组求解；
（2）根据（1）的结论，列代数式求解．
【解答】解：（1）由题意得：16(a+0.9)=59.217(a+0.9)+(25−17)(b+0.9)=99.7，
解得：a=2.8b=3.7，
∴a＝2.8，b＝3.7；
（2）17×（2.8+0.9）+（30﹣17）×（3.7+0.9）+（36﹣30）×（0.9+6.5）＝167.1（元），
答：小王家这个月上交水费167.1元．
【变式训练2】（2026春•南宁校级月考）为鼓励居民节约用电，M市根据国家发改委的有关文件，结合地方实际，决定对居民生活用电实施“阶梯电价”收费：用电量不超过120千瓦•时的部分，电费价格0.6元/千瓦•时；超过120千瓦•时，但不超过300千瓦•时的部分，电费价格0.8元/千瓦•时；超过300千瓦•时的部分，电费价格1元/千瓦•时．
（1）若小明家10月份用电350千瓦•时，求小明家10月份应缴纳的电费．
（2）11月缴费后，小明经过计算发现当月平均电费为0.68元/千瓦•时，请直接写出小明家11月份用电范围属于哪一个“阶梯电价”，并求小明家11月份的用电量．
【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）先求出用电300千瓦•时的平均电费，结合小明家的平均电费确定用电范围，设小明家11月份的用电量为x千瓦•时，根据题意列出方程，求出x的值即可解答．
【解答】解：（1）120×0.6+（300﹣120）×0.8+（350﹣300）×1＝72+144+50＝266（元），
答：小明家10月份应缴纳的电费为266元；
（2）当用电300千瓦•时，应缴纳电费为120×0.6+（300﹣120）×0.8＝72+144＝216（元），
此时平均电费为216÷300＝0.72（元），
∵小明家当月平均电费为0.68元/千瓦•时，且0.6＜0.68＜0.72，
∴小明家11月份用电范围属于超过120千瓦•时但不超过300千瓦•时的阶梯；
设小明家11月份的用电量为x千瓦•时，
根据题意列一元一次方程得，120×0.6+（x﹣120）×0.8＝0.68x，
整理得，1.48x＝296，
解得x＝200，
答：小明家11月份的用电量为200千瓦•时．
1．（2025秋•织金县期末）小明去距市区40km的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了2h，已知汽车的速度为38km/h，步行的速度为4km/h，设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为xkm和ykm，则下列方程正确的是（ ）
A．x+y=4038x+4y=2B．x+y=40x38+y4=2
C．x+y=40x4+y38=2D．x+y=404x+38y=2
【分析】根据总路程和总时间的两个等量关系列方程组，核心是运用“时间＝路程÷速度”的公式．
【解答】解：根据题意可列方程组为x+y=40x38+y4=2，
故选：B．
2．（2025秋•渭南期末）已知某一铁路隧道长1500米．有一列火车匀速从隧道通过，测得火车开始进入隧道到完全出隧道共有1分钟，整列火车都在隧道里的时间为40秒，设火车长x米，火车的速度y米/秒，则可得方程组（ ）
A．1500+2x=60y1500−2x=40y
B．1500+x=60y1500−x=40y
C．1500+x=60y1500−2x=40y
D．1500+2x=60y1500−x=40y
【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即整列火车过桥通过的路程＝桥长+车长，整列火车在桥上通过的路程＝桥长﹣车长，根据这两个等量关系可列出方程组求解．
【解答】解：设火车的速度为每秒x米，车长为y米，由题意得
60y=1500+x40y=1500−x，
故选：B．
3．（2025秋•汨罗市期末）线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是xkm/h，乙的平均速度是ykm/h，则可列方程组为（ ）
A．0.5x+2x+2y=20x+11+y=20
B．0.5y+2y+2x=20x+11+y=20
C．2.5x+2y=20x+y=20+11
D．2.5x+2y=202x+y=20−11
【分析】设甲的平均速度是xkm/h，乙的平均速度是ykm/h，根据路程＝速度×时间结合两次运动的情形，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：0.5x+2x+2y=20x+11+y=20．
故选：A．
4．（2025春•兴宁区校级期末）甲、乙两个工程队负责修建一条长为800米的公路，甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入．两工程队联合施工7天后，还剩70米的工程未能完成．已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A．x=y−33x+7y=800
B．x=y−33x+7(x+y)=730
C．x=y+33x+7y=730
D．x=y+33x+7(x+y)=730
【分析】根据甲队每天比乙队多施工3米，可得x＝y+3，甲单独施工3天完成3x米，两队联合施工7天完成7（x+y）米，结合长为800米的公路，由此即可作答．
【解答】解：由题意知：x＝y+3；
依题意，甲单独施工3天完成3x米，两队联合施工7天完成7（x+y）米，
∴x=y+33x+7(x+y)=800−70，
即x=y+33x+7(x+y)=730，
故选：D．
5．（2025春•长沙县期末）已知一个两位数，十位数字比个位数字大1，若将个位数字与十位数字对调后，新得的两位数比原来的两位数小9，设原来的两位数个位数字为x，十位数字为y，则可列方组是（ ）
A．x−y=110x+y=10y+x+9
B．y−x=110y+x=10x+y+9
C．y−x=110x+y=10y+x+9
D．x−y=110y+x=10x+y+9
【分析】先表示出颠倒前后的两位数，然后根据十位上的数字y比个位上的数字x大1，颠倒个位与十位数字的位置，得到新数比原数小9，列方程组即可．
【解答】解：根据题意列方程组为：y−x=110y+x=10x+y+9；
故选：B．
6．（2024秋•郓城县期末）一个两位数的数字之和为11，若把十位数字与个位数字对调，所得的两位数比原来大63，则原来两位数为（ ）
A．92B．38C．47D．29
【分析】设这个两位数十位为x，个位为y，根据个位数字与十位数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，列方程组求解．
【解答】解：设这个两位数十位为x，个位为y，
由题意得，x+y=1110y+x−(10x+y)=63，
解得：x=2y=9，
则这个两位数为：29．
故选：D．
7．（2025春•蓬莱区期中）佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下：
则12：00时看到的两位数是（ ）
A．15B．16C．25D．34
【分析】设12：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位与个位数字之和为7且车行驶的速度不变，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设12：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，
依题意得：x+y=710y+x−(10x+y)=100x+y−(10y+x)，
解得x=1y=6，
∴10x+y＝16，即12：00时看到的两位数是16．
故选：B．
8．（2025秋•夏县期末）现代办公纸张通常以A0，A1，A2，A3，A4等标记来表示纸张的规格，一张A2纸可裁成2张A3纸或4张A4纸．现计划将100张A2纸全部裁成A3纸和A4纸，两者共计300张．设裁成A3纸x张，A4纸y张，则可列方程组为（ ）
A．x+y=1002x+4y=300
B．x+y=3002x+4y=100
C．x+y=10012x+14y=300
D．x÷y=30012x+14y=100
【分析】根据一张A2纸可裁成2张A3纸或4张A4纸．现计划将100张A2纸全部裁成A3纸和A4纸，两者共计300张，列出二元一次方程组即可．
【解答】解：由题意得：x+y=1002x+4y=300，
故选：A．
9．（2025秋•南通期末）如图是一个周长为16的长方形ABCD，它恰好可以分割成5个小长方形（分别标记为①，②，③，④，⑤），其中AE＝CG，AH＝CF，DF＝BH，DE＝BG．若⑤为正方形，则②的周长为 8 ；若①的周长为9.4，则⑤的长与宽之差为 1.4 ．
【分析】设AE＝CG＝x，AH＝CF＝y，DF＝BH＝m，DE＝BG＝n，通过长方形ABCD的周长为16，则x+y+m+n＝8，求出⑤的长和宽为y﹣m和n﹣x，再通过⑤为正方形，即可求解②的周长为2（m+n）＝8；长方形①的周长为9.4，则x+y＝4.7，得m+n＝8﹣4.7＝3.3，由⑤的长和宽为y﹣m和n﹣x，即可求⑤的长与宽之差．
【解答】解：设AE＝CG＝x，AH＝CF＝y，DF＝BH＝m，DE＝BG＝n，
∵长方形ABCD的周长为16，
∴根据题意列二元一次方程得，x+y+m+n＝8，
则⑤的长和宽为：y﹣m和n﹣x，
若⑤为正方形，
则y﹣m＝n﹣x，
∴x+y＝m+n，
∴x+y＝m+n＝4，
∴2（m+n）＝8，即②的周长为8，
∵2（x+y）＝9.4，即①的周长为9.4，
∴x+y＝4.7，
∵x+y+m+n＝8，
∴m+n＝8﹣4.7＝3.3，
∵⑤的长和宽分别为y﹣m和n﹣x，
∴⑤的长与宽之差为y﹣m﹣（n﹣x）＝x+y﹣（m+n）＝1.4，
故答案为：8，1.4．
10．（2025秋•十堰期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示），观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可推算出x，y的值分别为 ﹣2、﹣6 ．
【分析】首先根据图②可知：“幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等，再根据图③可以得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求出x，y的值．
【解答】解：由图②可知“九宫图”中各数字之间的关系：
4+9+2＝15，
3+5+7＝15，
8+1+6＝15，
4+3+8＝15，
9+1+5＝15，
2+7+6＝15，
4+5+6＝15，
2+5+8＝15，
∴“幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等，
由图③中的第二行与第三列得：
x−1=y+3x+4=3−1，
解得：x=−2y=−6，
∴x、y的值分别为﹣2、﹣6．
故答案为：﹣2、﹣6．
11．（2025秋•张家口期末）加密是保障数据安全的一种方式，明文通过加密规则加密成密文．某加密规则为：明文（x，y）对应加密文（x+2y，2x+3y），如明文（1，2）对应加密文（5，8）．若接收到的加密文为（7，12），则发送的明文是 （3，2） ．
【分析】设明文为（x，y），由加密规则得方程组x+2y=72x+3y=12，解此方程组即可得明文．
【解答】解：设明文为（x，y），
根据加密规则得二元一次方程组：
x+2y=72x+3y=12，
解得：x=3y=2，
则发送的明文为：（3，2），
故答案为：（3，2）．
12．（2025秋•市南区校级期末）如图所示为哥哥与弟弟的聊天记录，则哥哥想买的平板电脑的原价为 2000 元．
【分析】设平板电脑原价为x元，哥哥的预算为y元．根据聊天记录，原价比预算多100元，即 x＝y+100；打9折后比预算便宜100元，即0.9x＝y﹣100．解方程组即可求出原价．
【解答】解：设平板电脑原价为x元，哥哥的预算为y元．
根据题意x=y+1000.9x=y−100，
解得：x=2000y=1900
则平板电脑的原价为2000元，
故答案为：2000．
13．（2025•盐城）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 6 分．
【分析】设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分，根据三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分；列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分，
根据题意得：3x+4y=487x+2y=68，
解得：x=8y=6，
即每尺绢的价格是6分，
故答案为：6．
14．（2025春•东平县校级月考）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟，则小华家离学校 700 米．
【分析】设小华从家里到学校的平路长为x米，坡路长为y米，利用时间＝路程÷速度，结合“从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入（x+y）中，即可求出结论．
【解答】解：设小华从家里到学校的平路长为x米，坡路长为y米，
根据题意得：x60+y80=10x60+y40=15，
解得：x=300y=400，
∴x+y＝300+400＝700（米），
∴小华家离学校700米．故答案为：700．
15．（2025春•番禺区校级期中）列二元一次方程组解下列问题．
（1）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价．
（2）A、B两地相距36千米，若甲、乙两人都从A地去B地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行，乙比甲早出发1.5小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度．
【分析】（1）设每个篮球的售价为x元，每个足球的售价为y元，根据题意可列2x+3y=4303x+2y=420，解方程组即可；
（2）设甲的速度为mkm/h，乙的速度为nkm/h，根据题意可列4m=(2+4)n3m+(1.5+3)n=36，解方程组即可．
【解答】解：（1）设每个篮球的售价为x元，每个足球的售价为y元，购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，
2x+3y=4303x+2y=420，
解得x=80y=90，
答：每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元．
（2）设甲的速度为mkm/h，乙的速度为nkm/h，
由题意得：4m=(2+4)n3m+(1.5+3)n=36，
解得：m=6n=4．
答：甲的速度为6km/h，乙的速度为4km/h．
16．（2025春•滨海新区校级月考）甲、乙两地相距200千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车10小时追上慢车；如果两车相向而行，2小时后两车相遇．
（1）两车的速度分别是多少？
（2）若两车同时相向而行，多少时间可以相距100千米？
【分析】（1）设快车、慢车的速度分别为xkm/h、ykm/h，（x＞y）根据题意列出方程组，方程组即可求解；
（2）设时间为t小时，根据相距100千米，分情况讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【解答】（1）设快车、慢车的速度分别为xkm/h、ykm/h，（x＞y）则由题意，得，
10x−10y=2002x+2y=200，
解得x=60y=40，
即快车、慢车的速度分别为60km/h、40km/h，
答：快车、慢车的速度分别为60km/h、40km/h．
（2）设时间为t小时，则由题意，得，
（60+40）t+100＝200或（60+40）t﹣100＝200，
解得t＝1或t＝3，
答：两车相向而行，1小时或者3小时可以相距100km．
17．（2025秋•青羊区校级期末）2025年世乒赛在成都举办，来自世界各地的乒乓球运动员与观众齐聚蓉城，体验“乒坛盛宴”与“天府文化”的融合魅力，组委会为感谢工作人员与志愿者，计划购买蜀绣纪念品与熊猫文创纪念品共150件，其中蜀绣纪念品每件售价150元，熊猫文创纪念品每件售价90元．
（1）如果购买蜀绣、熊猫文创两种纪念品一共花费了15900元，求购买这两种纪念品各是多少件？
（2）设购买蜀绣纪念品m（50≤m≤52）件，问组委会共有几种购买方案？哪一种方案总费用最低？则费用是多少元？
【分析】（1）题目中的等量关系为：蜀绣纪念品数量+熊猫文创纪念品数量＝150件，蜀绣纪念品总价+熊猫文创纪念品总价＝15900元，据此列二元一次方程组即可；
（2）根据题意可知，共有三种购买方案：购买蜀绣纪念品50件，购买熊猫纪念品100件；购买蜀绣纪念品51件，购买熊猫纪念品99件；购买蜀绣纪念品52件，购买熊猫纪念品98件．
【解答】解：（1）设购买蜀绣纪念品x件，购买熊猫文创纪念品y件．
根据题意，得，
x+y=150150x+90y=15900，
解得x=40y=110，
即购买蜀绣纪念品40件，购买熊猫文创纪念品110件，
答：购买蜀绣纪念品40件，购买熊猫文创纪念品110件；
（2）根据题意可知，共有三种购买方案：
（Ⅰ）购买蜀绣纪念品50件，购买熊猫文创纪念品100件，可得，
总费用＝50×150+100×90＝7500+90000＝16500（元），
（Ⅱ）购买蜀绣纪念品51件，购买熊猫文创纪念品99件，可得，
总费用＝51×150+99×90＝16560（元），
（Ⅲ）购买蜀绣纪念品52件，购买熊猫文创纪念品98件，可得，
总费用＝52×150+98×90＝16620（元），
综上所述，购买蜀绣纪念品50件，购买熊猫文创纪念品100件时，总费用最低，为16500元．
18．（2025秋•高新区期末）2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品．
（1）求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？
（2）现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由．
【分析】（1）设1辆小货车一次满载运输x件文创产品，1辆大货车一次满载运输y件文创产品，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设租用小货车a辆，大货车b辆，列出方程，然后根据a、b均为整数进行列举，再计算费用进行比较即可．
【解答】解：（1）设1辆小货车一次满载运输x件文创产品，1辆大货车一次满载运输y件文创产品，
依题意列二元一次方程组得：3x+2y=17004x+5y=3200，
解得：x=300y=400，
即1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品，
答：1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品；
（2）该组委会计划支出4000元用于租车，够用，理由如下：
设租用小货车a辆，大货车b辆，
依题意列二元一次方程得：300a+400b＝2700
解得a=27−4b3=9−4b3
又∵a，b均为正整数，
∴当b＝3，a＝5；当b＝6，a＝1；
∴a=5b=3或a=1b=6
∴共有2种租车方案，
方案1：租用5辆小货车，3辆大货车，租车费为400×5+3×500＝2000+1500＝3500元；
方案2：租用1辆小货车，6辆大货车，租车费为400×1+6×500＝400+3000＝3400元；
3500＜4000；3400＜4000；
∴该组委会计划支出4000元用于租车，够用．
19．（2025秋•漳州校级月考）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？请利用二元一次方程组解答上述问题．
【分析】设有x人，物价为y钱，根据“每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱”列出方程组并求解．
【解答】解：设有x人，物价为y钱，
根据题意列二元一次方程组可得，6x−y=2y−5x=3，
解得x=5y=28．
即有5人，物价为28钱，
答：人数有5人，物价为28钱．
20．（2025秋•泾阳县期末）为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备购进A，B两种品牌的排球．已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元．
（1）求A，B两种品牌的排球的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购进一批排球，正好赶上商场对排球的价格进行调整，每个A品牌排球的售价比第一次购买时提高了10元，每个B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售．如果该校计划出资1200元全部用于购进A，B两种品牌的排球（两种排球均购买），则学校共有几种购进方案？并列出所有可行的方案．
【分析】（1）设A品牌排球的单价是x元，B品牌排球的单价是y元，根据“购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元”建立方程组求解；
（2）设购进A品牌排球m个，B品牌排球n个．根据题意，得（50+10）m+0.9×80n＝1200，整理得m=20−65n，再求其正整数解即可．
【解答】解：（1）设B品牌排球的单价是y元，A品牌排球的单价是x元，
根据题意，得60x+20y=460050x+30y=4900，
解得x=50y=80，
答：A品牌排球的单价是50元，B品牌排球的单价是80元．
（2）设购进B品牌排球n个，A品牌排球m个，
根据题意，得（50+10）m+0.9×80n＝1200，
60m+72n＝1200，
∴m=20−65n．
由题意得m，n均为正整数，
m=14n=5或m=8n=10或m=2n=15．
∴学校共有三种购进方案：
方案一：购进A品牌排球2个，B品牌排球15个；方案二：购进A品牌排球14个，B品牌排球5个；方案三：购进A品牌排球8个，B品牌排球10个．
21．（2025秋•泾阳县期末）为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备购进A，B两种品牌的排球．已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元．
（1）求A，B两种品牌的排球的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购进一批排球，正好赶上商场对排球的价格进行调整，每个A品牌排球的售价比第一次购买时提高了10元，每个B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售．如果该校计划出资1200元全部用于购进A，B两种品牌的排球（两种排球均购买），则学校共有几种购进方案？并列出所有可行的方案．
【分析】（1）设A品牌排球的单价是x元，B品牌排球的单价是y元，根据“购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元”建立方程组求解；
（2）设购进A品牌排球m个，B品牌排球n个．根据题意，得（50+10）m+0.9×80n＝1200，整理得m=20−65n，再求其正整数解即可．
【解答】解：（1）设B品牌排球的单价是y元，A品牌排球的单价是x元，
根据题意，得60x+20y=460050x+30y=4900，
解得x=50y=80，
答：A品牌排球的单价是50元，B品牌排球的单价是80元．
（2）设购进B品牌排球n个，A品牌排球m个，
根据题意，得（50+10）m+0.9×80n＝1200，
60m+72n＝1200，
∴m=20−65n．
由题意得m，n均为正整数，
m=14n=5或m=8n=10或m=2n=15．
∴学校共有三种购进方案：
方案一：购进A品牌排球2个，B品牌排球15个；方案二：购进A品牌排球14个，B品牌排球5个；方案三：购进A品牌排球8个，B品牌排球10个．
22．（2025春•虹口区校级期末）有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答）
【分析】设原来的两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设原来的两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为y，
根据题意得：10x+y−8x=93(10y+x)−(10x+y)=1，
解得：x=4y=1，
答：原来的两位数是41．
23．（2024秋•甘州区期末）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？
【分析】设小明现在的年龄是x岁，小明妈妈现在的年龄为y岁，根据“10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设小明现在的年龄是x岁，小明妈妈现在的年龄为y岁，
依题意，得：y−10=6(x−10)y+10=2(x+10)，
解得：x=15y=40．
答：小明现在的年龄是15岁，小明妈妈现在的年龄为40岁．
24．（2025秋•潍坊期末）在长方形ABCD中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽．
【分析】设小长方形宽为a，长为b，由图得等量关系：①1个长+4个宽＝16；②3个宽+4＝1个长+1个宽，根据等量关系列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设小长方形宽为a，长为b，
根据题意得：4a+b=163a+4=b+a，
解得：a=2b=8，
答：小长方形的长为8，宽为2．
25．（2025秋•金华期末）某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个．已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元．
（1）沙包和篮球的单价各是多少元？
（2）若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的23，请问有几种购买方案？写出所有购买方案．
【分析】（1）设沙包的单价为x元，篮球的单价为y元，根据每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买沙包m个，购买篮球（90﹣m）个，根据采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的23，列出不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）设沙包的单价为x元，篮球的单价为y元，
根据题意列二元一次方程组得：
y−x=185x+8y=300，
解得x=12y=30，
答：沙包的单价为12元，篮球的单价为30元．
（2）设购买沙包m个，购买篮球（90﹣m）个，
根据题意列一元一次不等式组得：
12m+30(90−m)≤176490−m≥23m
解得：52≤m≤54，
∴一共有三种方案，分别是：
方案一：购买沙包52个，购买篮球38个；
方案二：购买沙包53个，购买篮球37个；
方案三：购买沙包54个，购买篮球36个．
26．（2025秋•美兰区校级期末）北京时间2025年5月20日19时50分，长征七号甲运载火箭在文昌航天发射场成功点火升空．某超市为了满足广大航天爱好者需求，销售A，B两种型号运载火箭模型．下表是近两周的销售情况：
求A、B两种型号运载火箭模型的销售单价各是多少元？
【分析】设A种型号的销售单价为x元，B种型号的销售单价为y元，找准等量关系，列出二元一次方程组求解即可．
【解答】解：设A种型号的销售单价为x元，B种型号的销售单价为y元，
根据题意列二元一次方程组得2x+y=350①x+2y=400②，
②×2﹣①得，3y＝450，
解得y＝150，
将y＝150代入②中，得x+2×150＝400，
解得x＝100，
∴原方程组的解为x=100y=150，
即A种型号的销售单价为100元，B种型号的销售单价为150元，
答：A种型号的销售单价为100元，B种型号的销售单价为150元．
27．（2025秋•宿松县期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费＝自来水销售费用+污水处理费用）
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a，b的值．
（2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？
【分析】（1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得小王家本月用水量为多少吨．
【解答】解：（1）根据题意可得，
17a+3b+20×0.8=6617a+8b+25×0.8=91，
解得，a=2.2b=4.2，
即a的值是2.2，b的值是4.2；
（2）设小王家6月份用水x吨，
根据题意知，30吨的水费为：17×2.2+13×4.2+30×0.8＝116，
∵184＞116，
∴小王家6月份计划用水超过了30吨
∴6.0（x﹣30）+116+0.80×（x﹣30）＝184，
解得，x＝40
即小王家6月份用水量40吨．
28．（2025秋•梅县区期末）贴春联是中国人过年的重要习俗．春节临近，某百货超市用3960元购进A，B两种春联进行销售，春联的进价和售价如下表所示．全部销售后可获得利润810元．
（1）该超市购进两种春联各多少副？
（2）由于销量比较好，该超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问有哪几种购买方案？
【分析】（1）设购进x副A种春联，y副B种春联，根据表格信息建立方程组求解即可；
（2）设购进A种春联m副，B种春联n副，根据题意，得20m+17n＝1500，再利用方程的正整数解的含义可得答案．
【解答】解：（1）设购进x副A种春联，y副B种春联，
根据题意列二元一次方程组得，15x+12y=3960(18−15)x+(14.5−12)y=810，
解得x=120y=180，
即该超市购进A种春联120副，B种春联180副，
答：该超市购进A种春联120副，B种春联180副．
（2）设购进A种春联m副，B种春联n副，
根据题意列二元一次方程得，20m+17n＝1500，
整理得，m=75−1720n．
因为m，n均为正整数，
所以满足题意的m，n值为m=58n=20，m=41n=40，m=24n=60，m=7n=80，
所以根据题意有4种购买方案，
方案一：购买58副A种春联，20副B种春联；
方案二：购买41副A种春联，40副B种春联；
方案三：购买24副A种春联，60副B种春联；
方案四：购买7副A种春联，80副B种春联．
（1）理清类型：分清相遇问题（路程和=总路程）或追及问题（路程差=初始距离）；
（2）设速列式：常设速度未知数，根据时间、路程的两个等量关系列二元一次方程组求解；
（3）画线段图：画出运动过程示意图，标注已知路程、时间，直观呈现等量关系；
（4）统一单位：速度、时间、路程单位务必统一（如km与h，m与min)，避免计算错误．
（1）只看符号不看数字，一错全错；
（2）系数、字母都要完全相同，才能算“相同项”．
（1）设列模型：设未知数，根据题意中的两个等量关系列出二元一次方程组。
（2）解验方案：解方程组求整数解，结合实际问题（如车辆数、人数、物品件数为非负整数）筛选可行方案。
（3）列表辅助：复杂问题可列表整理不同方案的未知量与等量关系，使条件清晰。
（4）逐组检验：求出多组整数解后，逐组代入实际问题条件（如总费用最低、刚好运完）进行取舍。
（1）总量关系搞反；
（2）求方案时漏解/多解，只取一个值，没把所有符合条件的整数都列出来；
（3）最后没比较最优方案，题目问“最省钱/最合理”，只列方案不比较；
（4）计算每种方案的总费用时，代入错误，或者加减乘除算错.
团购群1：
客服：各位亲，读书日优惠活动，全场满150元包邮，买10本以上一律八折!
客人1：3本《骆驼祥子》和2本《傅雷家书》多少钱？
客服：亲，您这个没达到150元，需要加上邮费12元，共120元．
客人2：4本《骆驼祥子》和3本《傅雷家书》多少钱？
客服：亲，您这个可以包邮，共154元．
团购群2：
客服：读书日优惠活动开始啦!每满300元减30元，全场包邮!
客服：1本《骆驼祥子》+1本《傅雷家书》，一套42元．
快递公司
省内
省外
首重（≤1kg）
续重
首重（≤1kg）
续重
顺丰
12元
2元/kg
22元
8元/kg
德邦
11元
3元/kg
11元
10元/kg
种类
省内
省外
重量/kg
体积/cm3
重量/kg
体积cm3
乒乓球
2
24000
0.5
6000
乒乓球拍
15
/
10
探究优惠购物问题
素材1
某校重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批篮球和跳绳，已知篮球的单价比跳绳的单价的5倍多10元，购买2个篮球与购买11条跳绳所花的钱一样多．
素材2
该商店给学校提供以下两种优惠方案：
方案①：篮球和跳绳都按单价的八五折付款；
方案②：买一个篮球送一条跳绳．
现学校要购买篮球30个，跳绳a（a＞30）根．
问题解决
任务1
求篮球的单价与跳绳的单价各是多少？
任务2
当a为何值时，使用方案①，方案②购买篮球和跳绳的总费用相同？
任务3
若两种优惠方案可同时使用，当a＝60时，请你通过计算给出更省钱的购买方案．
（1）设效列式：设工作效率为未知数，根据“工作量=工作效率X工作时间”及合作、先后完成方式列方程组。
（2）总量归一：常将工作总量设为1，分别用未知数表示各自效率，根据工作过程建立两个等量关系。
（3）效率可加：多人合作时，总效率等于各人效率之和，是列方程的关键依据。
（4）分段求和：若工作分阶段完成，将各阶段工作量相加等于总工作量（或1）列方程。
（1）把效率和时间搞反，把“单独做”和“合作”效率算错；
（2）合作效率算错，合作时直接把时间相加，不是效率相加；
（3）方程列反/列错，漏写某一段工作，把“先做、再合作”的时间乘错效率；
（4）求出效率后，忘记求时间．
（1）设位表示：设十位数字为x，个位数字为y，则两位数为10x+y，三位数为100x+10y+z。
（2）翻译条件：将数字变换（如对调、加数）转化为代数式，根据题中两个等量关系列方程组。
（3）数位分离：多位数的各数位数字独立设元，避免混淆。
（4）整体代换：对调、加减后所得新数直接按位展开表示，不必单独求数字再组合。
（1）数位表示写错；
（2）数字位置搞反；
（3）条件理解错；
（4）隐藏条件忘写；
（5）求完数字不还原成数．
（1）先找两个“不变量”
1. 总场数关系
胜场数 + 负场数（+平场数）= 比赛总场数
2. 总积分关系
胜场得分 + 负场得分（+平场得分）= 总积分
（2）标准设元。
（3）列两个方程。
（4）解方程组。
（1） 胜负平的场次不能乱加，必须满足：总场数 = 胜场 + 负场 + 平场。
（2） 积分规则一定要看清楚，题目经常不写负场积分，默认是 0 分，别漏。
（3）总积分 = 胜场积分 + 平场积分 + 负场积分，不是：总积分 = 场次×分数。
（4）“进行了14场比赛”，意思：胜+负+平=14，不是积分=14。
（5）结果必须是整数，胜场、负场、平场都必须是非负整数。
队伍
场次
胜
平
负
积分
长沙队
13
11
2
0
35
永州队
13
3
22
岳阳队
13
4
队名
比赛场次
胜场数
负场数
总积分
A
18
18
0
54
B
18
9
9
36
C
18
7
11
32
D
18
12
6
42
…
…
…
…
…
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
93
C
18
2
86
（1）设元列表：设分配对象数量为未知数，根据“总量相等”或“倍数关系”建立方程组。
（2）两种分配：常见“若…则…；若…则…”两种分配方案，每种方案对应一个等量关系。
（3）抓不变量：分配过程中物品总数、总人数等往往不变，是列方程的关键。
（4）统一对象：明确以“人”或“物”为设元对象，避免设元混乱导致方程错误。
（1）定不变量：先明确问题中什么是“总量”（总人数、总物品数），并围绕它建立关系。
（2）示意图：对于住宿、分组问题，简单画图（方框代表房间，点代表人）有助于理清“空房”、“不足”的含义。
（3）辨等与不等：清晰判断题目描述的是确定等量关系，还是存在多种可能的不等关系。后者通常需列不等式。
（4）解必检验：将解代入原题情景，验证是否符合所有描述，尤其要满足“正整数”要求。
（1）设价列式：设进价、售价或数量为未知数，根据销售额、利润、利润率等公式建立方程组。
（2）双量关系：常见两个等量关系，如“总进价=进价×数量”与“总利润=（售价-进价）×数量”组合。
（3）理清公式：熟记利润=售价-进价、利润率=利润/进价×100%等基本关系。
（4）单位统一：涉及折扣时，先将折扣价表示为原价的十分之几（如六折=0.6倍）。
（1）核心公式记混，错把利润当成售价、标价当成售价
利润 = 售价 - 进价
售价 = 标价 × 折扣
总利润 = 单件利润 × 数量；
（2）折扣理解错；
（3）单位不统一；
（4）两种商品混算；
（5）求总利润漏乘数量．
a
b
方案一
1
15
方案二
4
10
方案三
7
5
（1）译条件为式：将“和”“差”“倍”“分”关键词直接转化为加减乘除代数式。
（2）设元列方程：设所求量为未知数，根据两个不同角度描述的数量关系列出二元一次方程组。
（3）关键句圈画：圈出“比…多/少”“是…倍”“占几分之几”等关键词，明确等量关系。
（4）统一基准：涉及“倍”“分”时，先确定以哪个量为基准（1倍或单位1），再表示其他量。
（1） 谁比谁多/少，最容易列反；
（2）倍数关系搞反；
（3）“和”“差”看错；
（4）倍、分搞混．
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲种
5
7
乙种
10
15
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
（1）设元表量：设几何图形中未知的边长、角度等为未知数。
（2）等量关系：利用几何性质（周长、面积公式；边角关系）与题目条件建立两个方程组成方程组。
（3）数形结合：在图形上直接标注未知数和已知数量，直观发现隐含等量关系（如图形拼接、重叠部分）。
（1）周长、面积公式记混/写错；
（2）图形拼接/折叠时：边长关系看错；
（3）单位不统一；
（4）倍数、比例看错．
（1）古文翻译：将古代文言题意转化为现代汉语，明确已知量与未知量。
（2）设元列式：根据译文中的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解。
关键词对应：抓住“盈、不足、相与、和、倍”等古汉语关键词，对应现代数学运算。
还原检验：求出解后，代入古文情境验证合理性（如人数、物品数为正整数）。
（1）古代题常带斤、两、斗、石、匹、人等单位，同一题单位必须统一；
（2）解出来必须是正数、整数（人、物不可能负、不可能小数）．
（1）设现年龄：设所求人物当前年龄为未知数，直接表示现在年龄关系。
（2）时间平移：过去或将来年龄=现在年龄士年差，根据年龄差不变列两个等量关系方程组。
（3）年龄差定值：两人年龄差永远不变，是隐含的核心等量关系。
（4）列表清晰：列表呈现“现在、过去、将来”不同时间点的人物年龄，直观列式。
（1）忽略年龄差永远不变，不管过多少年，两人年龄差不变；
（2）时间搞错：过去/现在/将来；
（3）列方程漏条件；
（4） 算出答案不检验，年龄必须是正整数，不能是负数、小数．
（1）先判断：有没有“超过标准”
题目一般会给两种情况：
用量少：没超标，只按一种价格算
用量多：超标了，分两段算。
（2）设未知数，标准内每单位费用：x，超过部分每单位费用：y。
（3）列两个方程。
（4）解方程组。
（1）分不清哪段用哪个价，没超：全程一个价，超了：前一段标准价 + 后一段高价；
（2）超出量算错；
（3）方程列反，不是“总费用×分段”，而是分段相加 = 总费用．
每月用水量
单价
不超出6m3的部分
2元/m3
超出6m3不超出10m3的部分
4元/m3
超出10m3的部分
8元/m3
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：元/吨
单价：元/吨
17吨及以下
a
0.90
超过17吨但不超过30吨的部分
b
0.90
超过30吨的部分
6.50
0.90
时刻
12：00
13：00
14：00
里程碑上的数
是一个两位数，数字之和为7
十位数字与个位数字相比12：00时看到的刚好颠倒
比12：00看到的两位数中间多了个0
发送者
对话内容
弟弟
哥，你之前提到的平板电脑买了没？
哥哥
还没，因为它的售价比我的预算还要多100元．
弟弟
这款平板电脑正在打9折促销哦！
哥哥
这样的话，那就比我的预算便宜了100元．
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
2件
1件
350元
第二周
1件
2件
400元
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：元/吨
单价：元/吨
17吨及以下
a
0.80
超过17吨不超过30吨的部分
b
0.80
超过30吨的部分
6.00
0.80
A种春联
B种春联
进价（元/副）
15
12
售价（元/副）
18
14.5