初中数学苏科版（2024）七年级下册（2024）三元一次方程组课时作业

这是一份初中数学苏科版（2024）七年级下册（2024）三元一次方程组课时作业，共17页。试卷主要包含了三元一次方程概念，2二元一次方程组的解法等内容，欢迎下载使用。

考点一：三元一次方程组的定义
1.三元一次方程概念：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方
程。
2.由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。
考点二：三元一次方程组的解
使三元一次方程组中三个方程左右两边都相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解。
考点三：解三元一次方程组的基本思路
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。
考点四：解三元一次方程组的一般步骤
1.消元：（1）利用代入法或加减法，消去一个未知数，得到一个二元一次方程组。（2）再选择另外两个方程，通过同样的方法消去同一个未知数，得到另一个二元一次方程。
2. 求解二元一次方程组：
3求出第三个未知数：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出第三个未知数的值。
考点五：三元一次方程组实际应用
解决实际问题时，通常需要根据问题中的等量关系列出三元一次方程组，然后求解方程组得到问题的答案。
题型一：三元一次方程（组）的定义
【典例精讲】（2025春•遵化市期中）下列是三元一次方程组的是（ ）
A．2x=5x2+y=7x+y+z=6
B．3x−y+z=−2x−2y+z=9y=−3
C．x+y−z=7xyz=1x−3y=4
D．x+y=2y+z=1x+z=9
【变式训练1】（2024春•鼓楼区期末）下列方程中，属于三元一次方程的是（ ）
A．π+x+y＝6B．xy+y+z＝6
C．x+2y+3z＝9D．3x+2y﹣4z＝4x+2y﹣2z
【变式训练2】（2024秋•荔城区校级期末）若（m+2）x+y|m+1|+z＝4是关于x，y，z的三元一次方程，则m＝ ．
题型二：三元一次方程组的解
【典例精讲】（2025春•沈丘县期末）方程组x−z=4z−2y=−1x+y−z=−1的解是（ ）
A．x=7y=−5z=−14B．x=−7y=5z=−11
C．x=−7y=−5z=−11D．x=7y=−15z=11
【变式训练1】（2024春•岫岩县期中）下列四组数值中，是方程组x+2y+z=02x−y−z=13x−y−z=2的解的是（ ）
A．x=0y=1z=−2B．x=0y=0z=1
C．x=0y=−1z=0D．x=1y=−2z=3
【变式训练2】（2024秋•碧江区 期末）已知x=1y=2z=3是方程组ax+by=2by+cz=3cx+az=7的解，则a+b+c的值是（ ）
A．3B．2C．1D．无法确定
题型三：解三元一次方程组
【典例精讲】（2025春•邯郸期中）三元一次方程组2a+b−3c=194a+2b+c=3a−b+c=0消去未知数c后，所得二元一次方程组是（ ）
A．5a−2b=19a+b=1B．2a+b=43a+b=3
C．a+b=13a−2b=19D．3a+b=35a−2b=19
【变式训练1】（2024春•梁平区期末）解三元一次方程组x+y+z=3①3x+2y+z=10②2x−y+z=−1③，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（ ）
A．①+③，①×2﹣②B．①+③，③×2+②
C．②﹣①，②﹣③D．①﹣②，①×2﹣③
【变式训练2】（2024春•道县校级月考）三元一次方程组5x+4y+z=03x+y−4z=11x+y+z=−2消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（ ）
A．4x+3y=2，7x+5y=3
B．4x+3y=2，23x+17y=10
C．3x+4y=2，7x+5y=3
D．3x+4y=2，23x+17y=11
【变式训练3】（2025春•桂阳县月考）解方程组：3x−y+z=4①2x+3y−z=12②x+y+z=6③
题型四：整体思想
【典例精讲】（2025秋•冷水江市期末）已知x+y=2y+z=3z+x=7，则x+y+z的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式训练1】（2025春•泉州期末）若方程组x+y=9y+z=7z+x=2的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6，则k的值为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【变式训练2】（2025春•东阳市月考）【数学问题】解方程组x+y=25x−2(x+y)=6．
【思路分析】小明观察后发现可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
（1）【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程．
（2）【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组a+b=35a+3c=1a+b+c=0．
【变式训练3】（2025春•千阳县月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②，时，采用了一种“整体代换”的解法．
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，解得y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得：2x+5×（﹣1）＝3，解得x＝4，所以，方程组的解为x=4y=−1．
请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题：
（1）解方程组2x−3y=56x−11y=9；
（2）已知x，y，z满足3x−2z+12y=47x+z+4y=19试求z的值．
题型五：新定义问题
【典例精讲】（2025秋•山西期末）阅读与思考请仔细阅读并完成相应任务．
下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务
任务：
（1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容．
（2）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下面问题：
已知：（x+y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，（x、y为实数），求x、y的值．
【变式训练1】（2025春•上城区月考）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．请根据上述思想解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组3x+2y=82x−y=3，分别求5x+y和x+3y的值；
（2）对于实数x、y，定义新运算；x*y＝ax+by+c其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知2*3＝12，3*5＝16，求a+b+c的值．
题型六：实际应用问题
【典例精讲】（2024秋•福田区校级期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛．
例：当多项式x2+3x+5的值为7时，求多项式3x2+9x﹣2的值．
解：因为x2+3x+5＝7，所以x2+3x＝2．
所以3x2+9x﹣2＝3（x2+3x）﹣2＝3×2﹣2＝4．
请根据阅读材料，解决下列问题：
（1）把（x﹣y）2看成一个整体，化简3（x﹣y）2﹣7（x﹣y）2+2（x﹣y）2的结果是 ；
（2）已知x2+3x﹣2＝0．求x2（5x2+15x）+30x﹣2044的值；
（3）《九章算术》是中国古典数学著作，其中有一个问题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗．上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何．”原文意思为：优质稻子3捆，普通稻子2捆，劣质稻子1捆，能碾39斗米；优质稻子2捆，普通稻子3捆，劣质稻子1捆，能碾34斗米；优质稻子1捆，普通稻子2捆，劣质稻子3捆能碾26斗米．我们假设优质稻子每捆能碾米a斗，普通稻子每捆能碾米b斗，劣质稻子每捆能碾米c斗．请你运用“整体思想”，求出优质稻子13捆，普通稻子9捆，劣质稻子2捆，共能碾多少斗米？
【变式训练1】【阅读理解】
在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知3x+2y+z=4①7x+5y+3z=10②，求x+y+z的值．
解：①×2得：6x+4y+2z＝8③
②﹣③得：x+y+z＝2
∴x+y+z的值为2．
【类比迁移】（1）已知x+2y+3z=105x+6y+7z=26，求3x+4y+5z的值；
【实际应用】（2）马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买40本笔记本、20支签字笔、4支记号笔需要488元．通过还价，班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔，只花了732元，请问比原价购买节省了多少钱？
1．（2024春•射洪市期末）下列四组数值中，（ ）是方程组a+b+c=02a−b+c=−53a−b−c=−4的解．
A．a=0b=1c=−1B．a=−1b=2c=−1
C．a=−1b=1c=−2D．a=1b=−2c=3
2．（2025春•凉山州期末）若实数x，y，z满足x−y+4z=1x−2y+3z=3，则x+y+6z＝（ ）
A．﹣3B．0
C．3D．不能确定值
3．（2024春•南安市期中）解方程组3x+z=64x−y+2z=115x+2y−3z=4时，要使解法较为简便，应（ ）
A．先消去xB．先消去y
C．先消去zD．先消去常数
4．（2025春•昆明校级期中）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；求a，b，c的值为（ ）
A．a＝﹣2，b＝3，c＝﹣5B．a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5
C．a＝﹣5，b＝﹣2，c＝3D．a＝﹣5，b＝3，c＝﹣2
5．（2024秋•怀化期末）已知方程组x+y=3y+z=−6z+x=9，则x+y+z的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（2024•吴兴区校级四模）对于有理数x、y定义一种运算“□”：x□y＝ax+by+c，其中a、b、c为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知3□5＝15，4□7＝28，则1□1的值为（ ）
A．﹣1B．﹣11C．1D．11
7．（2025春•宝山区校级期末）三元一次方程组x+y=5y+z=1x+z=2的解为 ．
8．（2025春•邗江区校级月考）小川同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组3x+2y+z=92x+3y+4z=11解不出x、y、z的具体数值，但可以解出x+y+z的值为 ．
9．（2024春•叙州区校级期中）若|x﹣2y+1|+|z+y﹣5|+|x﹣z﹣3|＝0，则x+y+z＝ ．
10．（2025春•遂宁期末）在等式y＝ax2+bx+c中，若x＝0，y＝﹣3；若x＝1，y＝0；若x＝﹣1，y＝0；若x＝2，y＝ ．
11．（2023秋•固原期末）已知：a3=b5=c7，且3a+2b﹣4c＝9，则a+b+c的值等于 ．
12．（2024秋•北京期中）数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为a，b，c且a＞b＞c，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏，某小组按照此方式玩了5次游戏，他们将部分数据记录如下：
由此推断a的值为 ．
13．（2025春•南海区月考）三元一次方程x+2y+3z＝100的非负整数解个数有 个．
14．（2025秋•明水县期末）解方程组：
（1）x−2y=−812x+y=9；
（2）3x+2y−z=11①x+y+z=6②2x−y+z=2③．
15．（2024秋•奉贤区期末）解方程组：4a+2b+c=6a−b+c=09a+3b+c=0．
16．（2025春•平舆县期末）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
（1）解方程组x+2(x+y)=3①x+y=1②．
解：把②代入①得，x+2×1＝3，解得x＝1．
把x＝1代入②得y＝0，
所以方程组的解为x=1y=0．
（2）已知x+3y+5z=30①9x+7y+5z=10②，求x+y+z的值．
解：①+②，得10x+10y+10z＝40，③
③÷10，得x+y+z＝4．
[类比迁移]
（1）求方程组3(a−b)+4=2aa−b=2的解．
（2）若6x+5y+z=82x+y−3z=4，求x+y+z的值．
17．（2015春•仁寿县月考）一种饮料有大、中、小3种包装，1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元，问3种包装的饮料每瓶各多少元？
18．（2025春•通州区期末）小明在解方程组2x−3y=3①3x−2y=7②时发现，可以将①+②得：5x﹣5y＝10③，将③÷5得：x﹣y＝2④，将④×2得：2x﹣2y＝4⑤，用⑤﹣①得：y＝1，②﹣⑤得：x＝3，∴方程组的解为x=3y=1，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题．
（1）已知关于x、y的方程组16x+15y=5113x+14y=36，则方程组的解是 ．
（2）已知关于x，y，z的方程组x+y=8y+z=−3z+x=−1，则x+y+z＝ ，方程组的解是 ．
（3）对于有理数x，y定义一种新的运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式的右边是有理数的运算，若3*5＝16，4*7＝23，求1*1的值．
19．（2024春•岷县校级月考）阅读材料：
已知方程组2x+3y+z=83x+5y+z=11，求x+y+z的值．
解法一：由原方程组，得2x+z=8−3y①3x+z=11−5y②．
②﹣①，得x＝3﹣2y．③
把③代入①，得2（3﹣2y）+z＝8﹣3y，
z＝2+y．
所以x+y+z＝（3﹣2y）+y+（2+y）＝5．
解法二：将原方程组整理得(x+2y)+(x+y+z)=8①2(x+2y)+(x+y+z)=11②，
②﹣①，得x+2y＝3 ③
把③代入①，得x+y+z＝5．
请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组−x+5z=−13x−7y+6z=10，求x﹣2y+z的值．
20．（2024春•夹江县期末）【教材呈现】华东师大版7.2二元一次方程组的解法
小明同学受到上述解法的启示，认为可以采用同样的思想解决三元一次方程组，因此他做了如下尝试：
（1）如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，则可以列出方程组 x−z=3y=2x−55−z=y+1 ．
（2）求解出上述x、y、z的值．
21．（2025春•泰州校级月考）对于两个正数a，b（a≠1），定义一种新的运算，记作（a，b），即：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：34＝81，则（3，81）＝4．
（1）根据上述运算填空：（2，4）＝ ；（2，8）＝ ：（2，32）＝ ．
（2）先观察（2，4），（2，8）与（2，32）的结果之间的关系，再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：（a，m）+（a，n）＝ ，并证明你发现的结论；
（3）如图①，正方形ABCD的边长为m，小正方形CGFE的边长为n，若（a，m）+（a，n）＝（a，p），（2，m+n）＝4，（2，p）＝3．求图中阴影部分的面积．
（4）如图②，四边形ABED，CGHD是长方形纸条，AD＝CD＝m，CG＝n，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形HFED沿着DE翻折得到长方形DEMN，若（a，m）＝（b，n）＝2，长方形ABMN的面积是15，AN＝5，a+b＝3，求（a﹣b）2的值．
由三个一次方程组成，并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组．
（1）认为三个方程含不同未知数也能组成方程组；
（2）误将非一次方程纳入方程组；
（3）系数是分数、负数没关系，只要未知数次数是1，就是三元一次方程．
一般地，三元一次方程组的三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解．
（1）只满足一个方程，就当成解，代入一个方程对了，就说是解；
（2）解是一对数，不是一个数．
（1）观察整理
把三个方程写成标准形式；
（2）消去一个未知数
任选两个方程，通过加减消元或代入消元，消掉同一个未知数，得到一个只含两个未知数的新方程①。
再换两个方程，消掉同一个未知数，得到新方程②。此时得到一个二元一次方程组；
（3）解二元一次方程组
解新得到的二元方程组，求出两个未知数；
（4）回代求第三个未知数
把求出的两个数代入最简单的原方程，求出第三个未知数；
（5）检验
把三个数代入三个原方程，验证是否都成立.
（1）消元要认准同一个未知数，两次消元必须消同一个字母，不然得不到二元方程组，解不下去；
（2）消元优先选系数简单的；
（3）移项一定要变号，移项最容易错，正变负、负变正，千万不能忘；
（4）乘遍每一项，别漏乘常数项，方程两边同乘一个数时，左边、右边、每一项都要乘，常数项最容易漏.
（1）观察三个方程，找能合并成整体的式子；
（2）把整体设成一个新字母（也可以不设，直接当成整体算）；
（3） 先求出整体的值；
（4）再回代求每个未知数．
（1）三个方程相加时算错和；
（2）相减时减反了；
（3）只求出整体，不回代求单个未知数；
（4）移项、去括号、相减时正负号看错；
（5）不会判断什么时候用整体思想．
（1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算；
（2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新；
（3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的；
（4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行．
（1）直接把新符号当成普通加、减、乘、除，题目定义什么规则，就严格按规则代，不能想当然；
（2）代入时顺序搞反；
（3）有括号时，不先算括号里，有括号必须先算括号内，再算外面；
（4）多步运算跳步，新定义一定要一步一步写，不能心算．
关于“复数”的研究报告
智慧小组
研究对象：复数
研究思路：类比，按“概念﹣﹣性质﹣﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究．
研究方法：观察（测量、实验）﹣﹣猜想﹣﹣推理证明
研究内容：
【一般概念】如果一个数的平方等于﹣1．记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a、b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如：计算：（2+i）+（3﹣4i）＝5﹣3i．
【特例研究】根据商解方程的定义，i3＝ ．
（1） 先找三个未知量，题目一般会出现三个相关的量，直接设：x、y、z；
（2）找三个等量关系（列三个方程）；
（3）选方法解方程．
（1）设未知数不写清楚；
（2）找不全三个等量关系；
（3）单位不统一；
（4）“比、是、占、多、少”搞反；
（5）列方程时数量与单价搞混．
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
总和
甲
a
a
31
乙
a
c
19
丙
a
c
15
例1：解方程组x+y=7①3x+y=17②
解：由①得y＝7﹣x③
将③代入②得3x+7﹣x＝17
解得x＝5
将x＝5代入③，得y＝2
所以x=5y=2