初中数学苏科版（2024）七年级下册（2024）用二元一次方程组解决问题集体备课ppt课件

这是一份初中数学苏科版（2024）七年级下册（2024）用二元一次方程组解决问题集体备课ppt课件，共51页。PPT课件主要包含了解方程组得，相等关系，间接设元，实际意义，题目大意，题型二数字问题，题型三配套问题，题型四销售问题，题型五行程问题，题型六年龄问题等内容，欢迎下载使用。
1. 能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组 解决的简单的实际问题；（重点）2. 学会利用二元一次方程组解决常见的几类问题.（重点、难点）
养牛场原有 30 只大牛和 15 只小牛，1 天约用饲料 675 kg；一周后又购进 12 只大牛和 5 只小牛，这时 1 天约用饲料 940 kg. 饲养员李大叔估计每只大牛 1 天约需饲料 18 到 20 kg，每只小牛 1 天约需饲料 7 到 8 kg.你认为李大叔估计的准确吗？
问题1 题中有哪些未知量，你如何设未知数？
未知量：每头大牛 1 天需用的饲料； 每头小牛 1 天需用的饲料.
问题2 题中有哪些等量关系？
(1)30 只大牛和 15 只小牛一天需用饲料为 675 kg；
(2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用饲料为 940 kg.
设未知数：设每头大牛和每头小牛平均 1 天各需用饲料为 x kg 和 y kg，
解:设每头大牛和小牛平均 1 天各需用饲料为 x kg和 y kg，
根据等量关系列方程组，得
答:每头大牛和每头小牛 1 天各需用饲料为 20 kg 和 5 kg，饲养员李大叔估计每天大牛需用饲料 18 到 20 kg，每头小牛一天需用 7 到 8 kg与计算有一定的出入.
+ = 675，
+ = 940.
知识一 列二元一次方程组解应用题
1.基本思想方法(1)列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的过程，它的关键是把未知量与已知量联系起来，找出题目中的相等关系并列出方程组.(2)一般情况下，设几个未知数就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等.
2. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤(1)审：审清题意，找出已知量、未知量及相等关系；(2)设： 直接或间接设出未知数；(3)列：根据相等关系列出方程组；(4)解：解这个方程组，求出未知数的值；(5)检：检验所求的未知数的值是否为所列方程组的解，是否符合实际问题；(6)答：写出答案(包括单位名称).
题型 列二元一次方程组解应用题的一般步骤
【例1】某船的载重为300 吨，容积为1 200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6 立方米，乙种货物每吨体积为2 立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？
解题分析：分析题目中的已知量和未知量，找准题目中的相等关系，列出方程组解决问题.已知量：(1)甲种货物每吨体积为6 立方米；(2)乙种货物每吨体积为2 立方米；(3)船的载重为300 吨；(4)船的容积为1 200 立方米.未知量：甲、乙两种货物应各装多少吨. 若分别用x、y 表示它们的吨数，则甲种货物的体积为6x立方米，乙种货物的体积为2y立方米.
相等关系：“要充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“甲、乙两种货物的总质量等于船的载重”且“甲、乙两种货物的总体积等于船的容积”，即：
解：设甲种货物应装x 吨，乙种货物应装y 吨.由题意，得 x+y=300，解得 x=150， 6x+2y=1 200. y=150.答：甲、乙两种货物应各装150 吨.
注意：●列方程组解应用题的关键是准确地找出题中的相等关系，并正确地列出方程组.●找相等关系的方法：(1)抓住题目中的关键词，常见的关键词有：“比”“是”“等于”等；(2)根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找相等关系；(3)挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等；(4)借助列表格、画线段示意图等方法找相等关系.
【变式1】列方程组解决实际问题的一般步骤：一审：审________，找出__________；二设：设未知数，可直接设元，也可__________；三列：根据题目中的__________列出方程组；四解：解方程组；五：检：检验解的正确性和是否符合_________；六答．
【变式2】“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：有若干只鸡、兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94条腿，问笼中鸡和兔各有多少只？
知识二 列方程组解应用题的常见类型
根据在实际问题中相等关系的不同类型，归纳出应用题几种常见的题型：(1)和、差、倍、分问题；(2)数字问题；(3)配套问题；(4)销售问题；(5)行程问题；(6) 年龄问题；（7）百分比问题.
注意●不同类型的问题中都有各自的代表性词语，如配套问题中的“配套”，销售问题中的“ 售价”“标价”“折扣”等等.●不同类型的问题中都有不同的相等关系.
题型一 和、差、倍、分问题
【例2】某厂生产甲、乙两种产品，生产1 个甲种产品需要用时2 分钟、耗材30 克；生产1 个乙种产品需要用时3 分钟、耗材40 克．如果生产甲种产品和生产乙种产品共用时小时、耗材11 千克，那么甲、乙两种产品各生产了多少个？
解：设甲种产品生产了x 个，乙种产品生产了y 个．根据题意，得 2x+3y= ×60， 30x+40y=11×1 000.解得 x=100， y=200.答：甲种产品生产了100 个，乙种产品生产了200 个．
【方法总结】：设未知数时， 一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等.解和、差、倍、分问题的应用题时，要抓住题中反映数量关系的关键字：和、差、倍、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少等，明确各种反映数量关系的关键字的含义.
【变式】今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？
5 头牛、2 只羊共值 10 两“金”；2 头牛、5 只羊共值 8 两“金”. 问每头牛、每只羊各值多少“金”？
解: 设每头牛值“金”x 两，每只羊值“金”y 两， 由题意，得
答: 牛值“金” 两，羊值“金” 两.
【例3】有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又知原百位数字的9 倍比原三位数去掉百位数字后的两位数小3，求原三位数.
解：设原百位数字为x，原三位数去掉百位数字后的两位数为y.由题意，得 9x=y-3， 解得 x=4， 10y+x=100x+y-45. y=39.4×100+39=439.答：原三位数为439.
【方法总结】一个三位数的表示方法：当它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c 时，这个三位数可表示为100a+10b+c. 注意最高位上的数字不能为0.
【变式】一个两位数，比它十位上的数字与个位上的数字的和大9；如果交换十位上的数字与个位上的数字，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．
【例4】某服装厂准备生产一批秋装，已知每2 m 的某种布料可做衣身3 个或衣袖5 只，现计划用132 m 这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少米布料做衣身和衣袖，才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
解：设设用x m 布料做衣身，用y m 布料做衣袖，才能使做的衣身和衣袖恰好配套.根据题意，得 x+y=132，解得 x=60， x×2= y. y=72.答：用60 m 布料做衣身，用72 m 布料做衣袖，才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
【方法总结】解决配套问题的技巧：制作的工件由若干种零件组成，如果a个甲零件和b 个乙零件配成一套，那么甲零件的个数∶乙零件的个数=a ∶ b，即b× 甲零件的个数=a×乙零件的个数.
【变式】某车间有60个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个．已知2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？
【例5】某商场购进甲、乙两种商品后，甲种商品加价50%、乙种商品加价40% 作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲种商品打八折销售，乙种商品打八五折销售. 某顾客购买甲、乙两种商品各1 件，共付款538 元，已知商场共盈利88 元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元.
解：设甲种商品的进价是x 元，乙种商品的进价是y 元.根据题意，得 x+y+88=538， x(1+50%)×80%+y(1+40%)×85%=538.化简，得 x+y=450，解得 x=250， 1.2x+1.19y=538.y=200.答：甲种商品的进价是250 元，乙种商品的进价是200 元.
【方法总结】销售问题中进价、利润、售价、标价、折扣等之间的关系：利润= 售价- 进价；售价= 标价× 折扣；售价= 进价+ 利润；利润率= ×100%.
【变式】某机电公司生产的A，B两种产品在国内市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2 060万元，总利润为1 020万元(利润＝售价－成本)．每件产品的成本和售价信息如下表：
问该公司今年第一季度A，B两种产品的销售件数分别是多少？
【例6】张明沿公路匀速前进，每隔4 min 就迎面开来一辆公共汽车，每隔6 min 就有一辆公共汽车从背后超过他. 假定所有的公共汽车匀速行驶且速度相同，迎面开来的相邻两车的距离和从背后开来的相邻两车的距离都是1 200 m，求张明前进的速度和公共汽车的速度.
解：设张明前进的速度是x m/min，公共汽车的速度是y m/min.由题意，得 4x+4y=1 200，解这个方程组，得 x=50， 6y-6x=1 200.y=250.答：张明前进的速度是50 m/min，公共汽车的速度是250 m/min .
【方法总结】：1. “相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离.2. “同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离.3. 行程问题可以通过画线段示意图描述相等关系.
【例7】某人骑自行车从A 地出发去B 地，先以每小时12 km 的速度下坡，再以每小时9 km 的速度在平路上行驶至B 地，共用时55 min；回来时他以每小时8 km 的速度通过平路后，再以每小时4 km的速度上坡至A 地，共用时1.5 h. 求A、B 两地之间的路程是多少千米.
解：设从A地到B地的下坡路程为x km，平路路程为y km.由题意，得 + = ，解得 x=3， + =1.5. y=6.x+y=3+6=9.答：A、B 两地之间的路程是9 km.
【变式1】A、B 两码头相距140 km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7 h，逆水航行用了10 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流的速度.
列表描述相等关系：设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h，水流的速度为y km/h，列表如下：
解：设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流的速度为y km/h.由题意，得 7(x+y)=140，解得 x=17， 10(x-y)=140. y=3.答：这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流的速度为3 km/h.
【变式2】甲、乙两人都从 A 地到 B 地，甲步行，乙骑自行车，如果甲先走 6 千米乙再动身，那么乙走 小时后恰好与甲同时到达 B 地；如果甲先走 1 小时，那么乙用 小时可追上甲．求两人的速度．
解：设甲的速度为 x 千米/时，乙的速度为 y 千米/时，则
答：甲的速度为 4 千米/时，乙的速度为 12 千米/时.
【例8】在当地农业技术部门的指导下，李明家增加了种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收. 如图10.5-1 是李明和他的爸爸、妈妈的一段对话.
方法分析：在此类相等关系比较复杂的题目中，仅靠想象寻找相等关系、列方程组时，难免会出现顾此失彼的错误，如果能借助于表格分析，将会帮助我们理清解题思路，列出便于解题的方程组.
解：设李明家去年种植菠萝的收入为x 元，投资为y 元.由题意，得 x-y=8 000， (1+35%)x-(1+10%)y=11 800.解这个方程组，得 x=12 000， y=4 000.所以(1+35%)x=1.35×12 000=16 200.答：李明家今年种植菠萝收入了16 200 元.
【变式1】父亲给儿子出了一道题，要儿子算出答案：有一对母女，5 年前母亲的年龄是女儿年龄的15 倍，15 年后，母亲的年龄比女儿年龄的2 倍多6 岁，求现在这对母女的年龄分别是多少.
方法分析：解答年龄问题的关键是年龄差不变及增长岁数相同. 解答时要以列表作为建模策略，分析问题中所蕴涵的数量关系，具体如下表：
解：设现在这对母女的年龄分别是x 岁和y 岁.由题意，得 x-5=15(y-5)， 解得 x=35， x+15=2(y+15)+6. y=7.答：现在这对母女的年龄分别是35 岁和7 岁.
【变式2】一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我已经37岁了．”请问老师、学生今年分别多大了？
【例9】某食品厂要配制含蛋白质 15％ 的食品 100 kg，现在有含蛋白质分别为 20％、12％ 的两种配料. 用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的话，它们各需多少千克？
解：设需含蛋白质为 20%、12% 的配料分别为 x kg、y kg，根据题意列出方程组得
答：需含蛋白质为 20%、12% 的配料分别为 37.5 kg、62.5 kg.
【变式】某中学现有学生4 200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，这样全校在校学生将增加10%，该校现有初中在校学生多少人？高中在校学生多少人？
完成（同步系列）课时练习