初中数学苏科版（2024）七年级下册（2024）乘法公式课时练习

这是一份初中数学苏科版（2024）七年级下册（2024）乘法公式课时练习，共31页。试卷主要包含了乘法公式的实际应用等内容，欢迎下载使用。

题型一 利用乘法公式进行计算
1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算：
(1)x+3x−3−xx+2；
(2)2a−3b22a+3b2．
2．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）计算：
(1)2x+3y2−4x+yx−y；
(2)1+2x21−2x2．
3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）计算或化简：
(1)a+32+a+1a−1
(2)2a+b−32a−b+3
4．计算：
(1)x+3y−2x−3y−2．
(2)3x+12−3x+23x−2．
5．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算：
(1)m+2m−2−m−12
(2)a−3b2−22a+b−2a+b
6．（24-25七年级下·江苏南京·月考）计算：
(1)2a+ba−4b；
(2)2+3a3a−2；
(3)12x−3212x+32；
(4)2x−y+32x+y−3．
题型二 乘法公式的几何意义
1．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ）
A．a2−b2=a+ba−bB．aa−b=a2−ab
C．a−b2=a2−2ab+b2D．aa+b2=a2+ab
2．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
3．如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A．a2−b2=a−ba+bB．a2+2ab+b2=a+b2
C．a2−2ab+b2=a−b2D．a2−ab=aa−b
4．从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A．a−b2=a2−b2B．a−b2=a2−2ab+b2
C．a2−b2=a+ba−bD．a+b2=a2+2ab+b2
5．从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（ ）
A．a−b2=a2−2ab+b2B．a+b⋅a−b=a2−b2
C．a+b2=a2+2ab+b2D．a2+2ab+b2=a+b2
6．（25-26七年级下·全国·期中）如图1，将一个底边为a+b，高为a−b的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．a+b2=a2+2ab+b2B．a−b2=a2−2ab+b2
C．a2+b2=a+ba−bD．a+ba−b=a2−b2
题型三 利用乘法公式进行简便计算
1．计算：20252−2024×2026=（ ）
A．−1B．1C．4048D．4050
2．若A=231+1311+1321+134⋯1+131024−1，则A的值是（ ）
A．0B． −1 C．−131024D．−132048
3．计算：3+2×32+22×34+24×38+28=（ ）
A．1B．316−216C．−1D．332−232
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用完全平方公式计算：
(1)501502；
(2)19992．
5．简便运算：
(1)1992
(2)20222−2024×2020
6．利用简便方法计算：
(1)99.92；
(2)23.142−23.14×6.28+3.142；
(3)3.6722+6.3282+6.328×7.344．
题型四 利用乘法公式进行化简求值
1．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）先化简，再求值：x+1x−1+2x−12−2x2x−1，其中x=−1．
2．先化简，再求值：(2m+3n)2−(2m+n)(2m−n)，其中m=13,n=−12．
3．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值：2x+3y2−2x+y2x−y−2y3x+5y，其中x=−2，y=12．
4．（2025·江苏常州·模拟预测）先化简，再求值：x−2y2−2y−xx+y−y2y−3x，其中x，y满足2x+1+yy−2=−1．
5．（24-25七年级下·江苏南京·月考）先化简，再求值：(2m−n)2−4(m+2n)(m−2n)+n(m−5n)，其中m=13,n=−12．
6．先化简，再求值：(x﹣1)2+(x+2)(x﹣2)+(x﹣3)(x﹣1)，其中x2﹣2x﹣3＝0．
7．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）先化简，再求值：2x+1x−1+y−2xy−x−y2，其中x=−1，y=17．
8．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）先化简，再求值：(3a+b)2−(3a−b)(3a+b)−2b−aa+b，其中a=2，b=−1．
题型五 求完全平方公式的字母系数
1．已知9x2−ax+1是完全平方式，则a的值为（ ）
A．±3B．±6C．3D．6
2．已知多项式x2−2ax+4是某个整式的平方的展开式，则a的值为（ ）
A．2B．1C．±2D．±4
3．如果16x2+kx+25是一个完全平方式，那么k 的值是 （ ）
A．±16B．±25C．±40D．无法确定
4．已知代数式a2+2t−1ab+4b2是一个完全平方式，则t的值是（ ）
A．5B．−3C．5或−3D．52或−32
5．若多项式x2−x+k是一个多项式的平方，则k的值为（ ）
A．14B．−14C．12D．−12
6．若代数式x2−k+1x+25是完全平方式，则k的值为（ ）
A．9B．−11C．9或−11D．11或−9
题型六 利用完全平方公式的变形求值
1．已知a+b=7，ab=12，那么a2+b2=（ ）
A．19B．25C．31D．73
2．已知2x+y2=9,xy=1，则2x−y2的值为（ ）
A．3B．2C．1D．12
3．已知x+y2=25，xy=6，则x2+y2=______．
4．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知x+y2=25,x−y2=9，求xy和x2+y2的值．
（2）若a2+b2=15,(a−b)2=3，求ab和(a+b)2的值．
5．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知x+y=3，xy=1，求：
(1)x4+y4
(2)(x+1)(y+1)(x−1)(y−1)
6．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若x满足(60−x)(x−40)=20，求(60−x)2+(x−40)2的值．
解：设60−x=a，x−40=b，
则ab=20，a+b=60−x+x−40=20．
∴(60−x)2+(x−40)2
=a2+b2
=(a+b)2−2ab
=202−2×20
=360
类比探究：
(1)若x满足(70−x)(x−20)=−30，求(70−x)2+(x−20)2的值．
(2)若x满足(3−4x)(2x−5)=92，求(3−4x)2+4(2x−5)2的值．
(3)若x满足(2025−x)2+(2024−x)2=2061，求2025−x2024−x的值．
题型七 乘法公式的实际应用
1．晓静拿来甲、乙两张大小不同的正方形纸片．她将这两张正方形纸片并列放置后先构造新的长方形得到图1，然后又构造新的正方形得到图2，若图1和图2中阴影部分的面积分别为6和20，则乙正方形的面积为（ ）
A．4B．5C．6D．8
2．已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为16的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，空白部分的面积为65，则a+b的值为（ ）
A．12B．9C．7D．5
3．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：∵a+b=3，ab=1，
∴(a+b)2=9，2ab=2，
∴a2+b2+2ab=9，
∴a2+b2=7．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
(1)若m−n=4，mn=2，则m2+n2=________________；
(2)若(9−x)(6−x)=2，求(9−x)2+(6−x)2的值；
(3)如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向直线AB两侧作正方形ACDE和正方形BCFG，设AB=8，两正方形的面积和为40，则△AFC的面积为________．
4．（25-26八年级下·广东珠海·开学考试）问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和长、宽分别为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形（a>b>0）．
（1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：_______；图2：____________．（用字母a，b表示）
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题．
（2）在（1）的条件下若a2+b2=53，ab=14，分别求a+b，a2−b2的值．
（3）已知2027−x2026−x=2025，求2027−x2+x−20262的值．
拓展运用：
（4）如图3，点C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两侧作正方形ACDE和正方形CBGF，面积分别是S1和S2．若AB=m，S=S1+S2，求出Rt△ACF的面积（用S，m表示）．
5．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图（1）是一个大正方形被分割成了边长分别为a、b的两个正方形和长、宽分别为a、b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______；
利用上述公式解决下列问题：
【直接应用】
（2）若xy=2，x+y=6，则x2+y2=______；
【类比应用】
（3）若20−xx−30=10，求20−x2+x−302的值；
【知识迁移】
（4）如图（2），点D在线段CE上，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为11，△CDG的面积为7，求CE的长度．
6．观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为a+b2=a2+2ab+b2．
【探究】
（1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算：a2+b2=___________；
【应用】
（2）根据图②所得的公式，若a+b=7，ab=4，求a2+b2的值；
（3）若x满足2026−x2+x−20222=10，求2026−xx−2022的值；
【拓展】
如图3，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE=DE，BE=CE，该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，AC=18米，求种草区域的面积和．
题型八 运用乘法公式探究规律
1．【观察】
①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1：
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
【归纳】由此可得：（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）＝x n+1﹣1；
【应用】请运用上面的结论，计算：22023+22022+22011…+22+2+1＝（ ）
A．22023﹣1B．22024﹣1C．22024D．22025﹣1
2．探究与应用
我们学习过（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，那么（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）计算结果呢？
完成下面的探究：
（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；
（2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；……
（3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ ；
应用：计算2+22+23+24+……+22022．
3．观察下列计算：
（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4
（1）猜想：（a﹣1）（an﹣1+an﹣2+⋯+a+1）＝ （其中n为正整数，且n≥2）；
（2）利用（1）猜想的结论计算：210+29+28+27+⋯+23+22+2+1．
4．你能求（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+⋯+x2+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值．
①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
……
（1）由此我们可以得到：（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+⋯+x2+x+1）＝ ．
（2）请你利用上面的结论，再完成下面的计算：（﹣2）99+（﹣2）98+（﹣2）97+⋯+（﹣2）+1．
5．（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝ ．
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝ ．
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝ ．
（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝ .（其中n为正整数，且n≥2）
（3）利用（2）中猜想的结论计算：37+36+35+34+33+32+3+1．
6．阅读材料后解决问题．
小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
（2+1）（22+1）（24+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）
＝（24﹣1）（24+1）＝28﹣1
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）．
（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．
（3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．
1.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
2.应用平方差公式计算时，公式特征：
① 积为二次三项式；②积中两项为两数的平方和；③ 另一项是两数积的 2 倍，且与两数中间的符号相同；④公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式和多项式.
乘法公式的几何意义主要是利用“等积法”来表示出图形的面积，从而得出平方差公式.
1、通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.
2、运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
利用乘法公式进行化简求值时先按运算顺序把利用乘法公式把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
对于涉及字母系数的问题，通常需要根据完全平方公式的结构来确定未知系数的值．
利用完全平方公式的变形求值，主要是根据已知条件与待求式的特点，灵活选用恰当的变形公式进行化简计算，同时能逆用公式进行配方运算，从而挖掘隐含条件求解.
利用整式的乘法公式解决实际问题主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算即可，另外要注意结合图形来分析.
运用整式的乘法公式的规律探索问题主要是根据题中的等式探究出规律，然后再由规律解决问题.