初中数学苏科版（2024）七年级下册（2024）单项式乘单项式综合训练题

这是一份初中数学苏科版（2024）七年级下册（2024）单项式乘单项式综合训练题，共7页。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc224884303" 题型一、单项式乘单项式（常考点） PAGEREF _Tc224884303 \h 1
\l "_Tc224884304" 题型二、单项式乘多项式（重点） PAGEREF _Tc224884304 \h 1
\l "_Tc224884305" 题型三、多项式乘多项式（常考重点） PAGEREF _Tc224884305 \h 4
\l "_Tc224884306" 题型四、运用完全平方公式计算（常考重点） PAGEREF _Tc224884306 \h 5
\l "_Tc224884307" 题型五、利用完全平方公式简便计算（常考） PAGEREF _Tc224884307 \h 5
\l "_Tc224884308" 题型六、完全平方公式与几何图形面积（常考重点） PAGEREF _Tc224884308 \h 9
\l "_Tc224884309" 题型七、完全平方公式变形求值（必考重点） PAGEREF _Tc224884309 \h 9
\l "_Tc224884310" 题型八、完全平方式的字母问题（常考重点） PAGEREF _Tc224884310 \h 12
\l "_Tc224884311" 题型九、判断是否适用平方差公式（常考重点） PAGEREF _Tc224884311 \h 13
\l "_Tc224884312" 题型十、运用平方差公式计算（重点） PAGEREF _Tc224884312 \h 14
\l "_Tc224884313" 题型十一、利用平方差公式简便计算（重点） PAGEREF _Tc224884313 \h 14
\l "_Tc224884314" 题型十二、平方差公式与几何图形（常考重点） PAGEREF _Tc224884314 \h 16
\l "_Tc224884315" 题型十三、整式的化简及求值（必考重点） PAGEREF _Tc224884315 \h 18
B综合攻坚・能力跃升
题型一、单项式乘单项式（常考点）
1．计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据单项式乘单项式法则，分别计算系数乘积与同底数幂的乘积，保留原有单独字母即可得到结果．
【详解】解：
=
．
2．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查积的乘方与单项式乘单项式，先利用积的乘方法则计算各部分的乘方，再单项式乘单项式法则计算即可．
【详解】解：
故选：C．
3．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查单项式的乘法及积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
（1）直接根据单项式乘以单项式法则计算即可；
（2）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可；
（3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可；
（4）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
题型二、单项式乘多项式（重点）
4．计算：____________．
【答案】
【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘多项式，正确计算是解题的关键．
先计算积的乘方，然后利用单项式乘多项式法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为．
5．计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．
（）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可；
（）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
6．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了单项式乘多项式、整式的加减运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；
（1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算；
（2）先算单项式乘多项式，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
题型三、多项式乘多项式（常考重点）
7．计算的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，解题的关键是熟练运用法则展开并合并同类项．
根据多项式乘多项式法则将展开，再合并同类项，对比选项确定答案．
【详解】解：
故选：A．
8．若，则p、q的值是（ ）
A．3，10B．10，3C．，D．3，
【答案】C
【详解】解：∵
∴，
9．若一个三角形的一边长为，这边上的高为，则它的面积为_____．
【答案】
【分析】本题考查多项式的乘法运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则以及三角形面积公式．首先根据“三角形面积底高”列出面积表达式，再利用多项式乘多项式的法则展开括号，合并同类项后乘以，最终得到化简结果．
【详解】解：根据三角形面积公式，该三角形的面积为：
；
故答案为：．
题型四、运用完全平方公式计算（常考重点）
10．运用完全平方公式计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式：，熟记这两个公式是关键；两个小题直接利用完全平方公式展开即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
11．运用完全平方公式计算：
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式：熟练掌握应用完全平方公式是解决此类问题的关键（完全平方公式：．
（1）直接利用完全平方公式计算；
（2）直接利用完全平方公式计算；
（3）利用完全平方公式计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
12．运用完全平方公式计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）（2）（3）（4）直接运用完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
（3）解：原式．
（4）解：原式．
题型五、利用完全平方公式简便计算（常考）
13．运用完全平方公式计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式，．
（1）把转化成，再根据完全平方公式简便计算即可；
（2）把转化成，再根据完全平方公式简便计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．运用完全平方公式计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)3969
(2)9604
(3)
(4)
【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可；
（2）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可；
（3）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可；
（4）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
15．利用完全平方公式计算：____________．
【答案】1
【分析】利用完全平方公式将分母变形，再计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=1
故答案为：1．
题型六、完全平方公式与几何图形面积（常考重点）
16．如图所示，能根据图形中的面积说明的乘法公式是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义，熟练掌握完全平方公式的几何推导方法是解题的关键．通过计算大正方形的面积和分割后四个小区域的面积之和，利用面积相等的关系来推导对应的乘法公式，从而选出正确选项．
【详解】解：∵大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为
∵大正方形被分割为四个部分，面积分别为、、、，
∴四个部分的面积之和为
∵大正方形的面积等于四个部分的面积之和，
∴
故选：B．
17．在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用，解题关键是能根据图形准确列出整式，根据图形进行列式表示图形的面积即可得出答案．
【详解】解：A 中不存在等量关系，故A不符合题意；
由B可得，故B不符合题意；
由C可得，故C不符合题意；
由D可得，故D符合题意；
故选：D．
18．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________．
(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
①________；②________．
(3)观察图2你能写出三个代数式之间的等量关系________．
(4)已知，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)；
(3)
(4)
【分析】（1）根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答；
（2）①根据正方形面积公式求解，②用总面积减去四个相等的长方形面积即可．
（3）阴影部分的面积相等，结合（2）可得出答案．
（4）由（3）得：，再代入计算即可．
【详解】（1）解：由图可知，阴影部分小正方形的边长为：；
（2）解：①根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为，
②还可以用总面积减去四个相等的长方形的面积，即表示为；
（3）解：阴影部分的面积相等，结合（2）可得出；
（4）解：由（3）得：，
∵，，
∴，
∴．
题型七、完全平方公式变形求值（必考重点）
19．已知，求：
(1)；
(2)的值
【答案】(1)13
(2)1
【分析】（1）化为，代值计算即可；
（2）化为，代值计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．若，则等于______．
【答案】1
【分析】利用完全平方公式对已知条件变形，将和的值代入变形后的式子，即可求出的值．
【详解】根据完全平方公式，可得：，
对公式变形得：，
将，代入上式得：．
21．已知，，则______．
【答案】/
【分析】完全平方公式，则．
【详解】解：∵，，
∴．
题型八、完全平方式的字母问题（常考重点）
22．如果是一个完全平方式，那么的值是（ ）
A．B．C．D．以上选项都错
【答案】C
【分析】根据完全平方公式的结构特征，即可求出的值．
【详解】解：完全平方公式为，是一个完全平方式，，
，
即，
．
23．已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（ ）
A．5B．C．5或D．或
【答案】D
【分析】利用完全平方公式的结构特征求解．
【详解】解：∵代数式是完全平方式，
又∵，
∴，
∴，
当时，解得；
当时，解得；
∴t的值为或．
24．若是一个完全平方式，则常数a的值为_______．
【答案】
【详解】解：∵是完全平方式，
，
．
题型九、判断是否适用平方差公式（常考重点）
25．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】平方差公式结构为，需两个二项式乘积中，一项相同，另一项互为相反数才能使用该公式，据此判断选项即可．
【详解】解：A、，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意；
B、 ，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意；
C、 ，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意；
D、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算，符合题意．
26．下列公式中，适用平方差公式化简的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查平方差公式的适用条件，掌握好平方差公式的结构是关键．
平方差公式为，需满足两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可．
【详解】解：对于A选项：，其中是相同项，与互为相反数，符合平方差公式的形式，故A正确；
对于B选项：是完全平方公式的形式，不符合平方差公式，故B错误；
对于C选项：，是完全平方的形式，不符合平方差公式，故C错误；
对于D选项：中，与不是互为相反数，不符合平方差公式，故D错误．
故选：A．
27．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的形式．
根据平方差公式的结构特征，判断各选项是否符合“两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数”的条件．
【详解】解：A选项：中，含的项分别为和，既不相同也不互为相反数，不符合平方差公式结构；
B选项：=，两项均互为相反数，不符合平方差公式结构；
C选项：=，两项均互为相反数，不符合平方差公式结构；
D选项：=，其中相同项为，互为相反数的项为与，符合平方差公式结构，可计算为；
故选：D．
题型十、运用平方差公式计算（重点）
28．化简的结果是_____ ．
【答案】9
【分析】先利用平方差公式计算多项式乘法，再去括号合并同类项即可得到化简结果.
【详解】解：原式
29．运用平方差公式计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
（1）根据平方差公式可进行求解；
（2）根据平方差公式可进行求解．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
30．运用平方差公式计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查平方差公式．
（1）直接利用平方差公式计算即可．
（2）直接利用平方差公式计算即可．
（3）先提负号，再利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
题型十一、利用平方差公式简便计算（重点）
31．运用平方差公式计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)2499
(2)
【分析】本题主要考查了平方差公式的运用：
（1）将原式变形为，再利用平方差公式求解；
（2）将原式变形为，再利用平方差公式求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
32．运用平方差公式计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可；
（2）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可；
（3）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可；
（4）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，平方差公式，将各式进行正确地变形是解题的关键．
33．小丽在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似方法计算：．
【答案】2
【分析】本题考查了平方差公式的应用．
根据将原式化为，再根据平方差公式逐步计算即可．
【详解】解：
．
题型十二、平方差公式与几何图形（常考重点）
34．如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，由图1中大正方形的面积小正方形的面积图2长方形的面积，即可得出结果．
【详解】解：由题意，；
故选D．
35．如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】通过分析两个图形中阴影部分的面积，利用“面积相等”建立等式，从而推导出公式．
【详解】解：图①中，图②中，
∴．
36．如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．
(1)请用含a，b的代数式表示________，________；
(2)写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：________；
(3)利用这个公式说明既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除．
【答案】(1)，，
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查平方差公式和图形面积．
（1）将图1看成大正方形减去小正方形，将图2看成一个长方形，即可解答；
（2）根据即可解答；
（3）根据（2）中得出的公式，将化为含有因数3、5、17的式子即可证明．
【详解】（1）解：，，
（2）解：∵，
∴；
（3）解：
，
，
∴既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除．
题型十三、整式的化简及求值（必考重点）
37．先化简，再求值：，其中．
【答案】
，
【分析】本题考查了整式混合运算及求值，平方差公式及完全平方公式，先利用平方差公式和完全平方公式将括号打开，合并同类项完成化简，再将代入即可求出正确答案．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
38．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值、平方差公式、单项式乘以多项式，利用平方差公式和单项式乘以多项式的法则把多项式各项展开，再合并同类项，可得：原式，再把字母的值代入化简后的代数式计算求值．
【详解】解：
，
当，时，
原式．
39．先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【分析】本题主要考查整式的四则运算，要求的代数式根据完全平方公式和平方差公式将括号展开后，合并得最简结果，再把的值代入计算即可．
【详解】解：
当，时，原式．
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了合并同类项，单项式的乘法，同底数幂的除法，积的乘方．
根据合并同类项法则，单项式的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则逐一判断即可．
【详解】解：选项A：，A错误；
选项B：，B正确；
选项C：，C错误；
选项D：，D错误；
故选：B．
2．如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查整式运算的实际应用，利用分割法求出阴影部分的面积即可．
【详解】解：由题意，
；
故选A．
3．若计算的结果中不含项，则常数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查整式的运算，多项式的项及系数，先将展开，合并同类项得，继而得到，求解即可．解题的关键是掌握相应的运算法则．
【详解】解：
，
∵计算的结果中不含项，
∴，
解得：，
即常数的值为．
故选：A．
4．已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可知，，，再计算即可．
【详解】解：由题意可知，，，
则
，
故选：D．
5．的个位数是（ ）
A．6B．8C．4D．2
【答案】A
【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
原式中的3变形为，反复利用平方差公式计算得到结果为，再求出2的幂的个位数的规律，即可解答．
【详解】解：
…
，
∵，，，，，末尾是2，4，8，6四个一组循环，
，
∴的个位数是6，
即的个位数是6，
故选：A．
6．如图，从一个边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算甲、乙两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了平方差公式的几何证明，即通过图形的剪切与重组验证等式的正确性。解题的关键在于理解如何将一个大正方形中间挖去一个小正方形后剩余部分的面积转换成四个相同的等腰梯形并重新拼接成一个新的平行四边形．先表示出图甲的阴影部分面积，再表示出乙图平行四边形的面积，二者相等即可.
【详解】解：图甲阴影部分的面积是：，
图乙四个等腰梯形拼成的平行四边形，底边是，高是，面积为，
，
故答案为：D．
7．已知，则计算的结果是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题可通过换元法结合完全平方公式的变形进行求解，利用完全平方公式中平方和与乘积的关系转化计算．
【详解】解：设，
∵，且
又∵
∴
即
移项得
∴
即
故选：C．
8．如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】本题主要考查了完全平方公式．设，从而可得，，，再利用完全平方公式可得，然后利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：设，
由题意得：，，，
即，
，
，
所需防滑瓷砖的面积为，
故选：B．
9．若是一个完全平方式，则k的值为___________ ．
【答案】13或
【分析】利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可．
【详解】解：是一个完全平方式，
又，，
根据完全平方公式的结构特征可得：
，
即，
当时，解得，
当时，解得，
10.若，代数式的值是____________．
【答案】
【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，掌握整体代入的方法，通过已知方程变形直接代入代数式，避免了复杂的解方程过程，是解题的关键．
由已知方程 变形得到 ，代入代数式化简，利用 求值．
【详解】解：由 ，得 ．
代入代数式 ．
又∵ ，即 ，
∴ ．
故答案为：．
11．很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，容易机械记忆．为了帮助同学们直观理解公式的几何意义，老师设计了一节“拼图与公式”实验课：
【知识重现】
观察图①，用等式表示图中图形面积的运算：
【类比探究】
（1）观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积为__________．
【拓展应用】
（2）根据图②所得的公式，若，，则__________．
（3）若实数满足，求．
【学习致用】
（4）如图③，两块完全相同的直角三角板与按图示放置，点在同一直线上．连接，已知，且，求一块直角三角板的面积．
【答案】（1）；（2）108；（3）15；（4）58
【分析】考查了完全平方公式的几何背景及应用，熟练掌握完全平方公式的变形与几何意义是解题的关键．
（1）观察图②，用整体与部分的面积关系推导等式，即大正方形面积减去空白部分面积得到阴影部分面积，或者用各部分阴影小图形面积相加来表示．
（2）根据类比探究得出的公式，将与的值代入计算 ．
（3）把和看作整体，利用类比探究的公式，结合已知条件计算 ．
（4）设出直角三角板的两条直角边，根据线段和与面积和的条件，结合完全平方公式变形求解单块三角板面积 ．
【详解】解：（1）大正方形边长，面积，空白是两个长宽的长方形，两个小正方形的面积分别为，，
∴阴影面积；
（2）由，，，
∴；
（3）设，，则， ．
，
∴；
（4）设，，则 ．
，即 ．
∵，
∴，
解得 ．
∴一块直角三角板面积 ．
12．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式．
(1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式：
利用图1，可以得到等式：________________；
利用图2，可以得到等式：________________；
利用图3，可以得到等式：________________．
(2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________；
(3)结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值；
【答案】(1)；；
(2)
(3)3
【分析】本题考查了平方差公式、完全平方式的几何背景、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系．
（1）用两种不同的方式表示大正方形的面积，
（2）根据这两个面积相等列出等式即可；
（3）根据（2）得结论，可得，再代入已知计算，即可求解．
【详解】（1）解：利用图1，可以得到等式：；
利用图2，可以得到等式：；
利用图3，可以得到等式：；
（2）类比（1）可得：
（3），
，
即：
，
，
解得．