初中数学苏科版（2024）七年级下册（2024）乘法公式第3课时教案设计

这是一份初中数学苏科版（2024）七年级下册（2024）乘法公式第3课时教案设计，共8页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
第3课时 乘法公式的综合运用

一、教材分析
本节课是苏科版初中数学七年级下册第八章《整式的乘法》第四节第三课时，是本小节最后一项内容，也是本章的最后一项内容，在复习两个乘法公式的同时，帮助学生理解并灵活运用相关乘法运算．从知识体系上看，在七年级上册中已经学习在代数式范围内乘法交换律、结合律的运用及去括号的法则，本章节中已学习了单项式和单项式相乘、单项式和多项式相乘、多项式和多项式相乘的运算法则及平方差公式和完全平方公式这两个乘法公式，本课时在此基础上进行一些公式应用的区分及综合运用的训练，对后续学习因式分解、分式等具有举足轻重的作用.

二、学情分析
学生在学习本节课时，已具备一定的知识基础和学习能力．在学习本节内容前，学生在前两课时已经经历了平方差公式和完全平方公式的推导过程，以及运用这两种公式进行简单运算，对乘法公式有了基本的理解，可以使用及区分这两个公式并进行基本应用，但在灵活应用上还有些困难.从学生心理来看，初中阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师和同学的肯定，所以在教学中应抓住这些特点，创造条件，发挥学生学习的主动性.

三、教学目标
1.能正确地根据题目的要求选择不同的乘法公式进行运算；
2.能选择恰当运算律及数学思想方法，对可使用乘法公式的算式进行简便运算，提升计算能力；
3.通过对乘法公式综合运用的训练，提升学生分析、解决问题的能力，培养学生实事求是、科学严谨的学习态度.

四、教学重难点
重点：能正确地根据题目的要求选择不同的乘法公式进行运算.
难点：能选择恰当运算律及数学思想方法，对可使用乘法公式的算式进行简便运算，提升计算能力.

五、教学过程
复习导入
问题：回忆完全平方公式，完成下列填空.
完全平方公式：_________________________ ；
语言叙述为: _________________________ ；
公式的特点：_____________________________________________________________________.
答：完全平方公式：(a±b) 2=a2±2ab+b2；两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍;公式左边是一个二项式的完全平方，公式右边是二次三项式，其中首尾两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
问题2：回忆平方差公式，完成下列填空.
平方差公式：_________________________ ；
语言叙述为: _________________________ ；
公式的特点：_____________________________________________________________________.
答：平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2；两数和与这两数差的积等于这两数的平方差；公式左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，公式右边是左边两个二项式中相同项与相反数项的平方差．
师生活动：学生独立思考，分组讨论，各组代表发言．
设计意图：通过学生互助共同复习乘法公式及其语言叙述、特点等，为题目的训练提供理论基础，同时通过熟悉内容的回顾减轻学生对公式综合运用的恐惧心理．
探究新知
活动一：探究平方差公式的多次运用
问题：计算：
(1) (x－1)(x＋1) （2） (x2－1) (x2＋1).
答：(1)原式 = x2－1，(2)原式 =x4－1；
问题：观察两个算式，发现了什么？
答：两题都满足平方差公式的特征，可以直接运用平方差公式计算.(1)计算结果是(2)算式的一部分..
问题2：计算
；
(x＋1)(x－1)(x2＋1).
答：原式 = (x2－1)(x2＋1)=x4－1.
师生活动：学生独立思考，指定学生回答，然后全班集体交流.
设计意图：引导学生养成先观察算式的结构特点，只要算式满足平方差公式的特点就可以反复多次使用.
活动二：平方差与完全平方公式的综合运用
问题：计算:(x＋3)2(x－3)2.
答：方法1 原式 =(x2＋2·x·3＋32) (x2－2·x·3＋32)
=(x2＋6x＋9) (x2－6x＋9)
= x2·x2－x2·6x＋x2·9＋6x·x2－6x·6x＋6x·9＋9·x2－9·6x＋9×9
= x4－18 x2＋81.
方法2 原式 =[(x＋3)(x－3)]2
= (x2－9)2
= (x2)2－2·x2·9＋92
= x4－18 x2＋81
师追问：你认为哪种方法更简单？什么情况下可以这么做？
答：第二种更简单；通过观察，两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数，拥有构造平方差公式的条件，可以通过积的乘方运算的性质的逆用，使运算更简单.
师小结：观察算式发现，有的项相同，有的项互为相反数时，拥有构造平方差公式的条
件，可以通过适当的变形让其满足平方差公式的特征.
探究 如何用平方差公式计算(x＋y－3)(x－y＋3)？
师提问：观察算式有什么特点呢？
答： “x”为相同项，“y”和“－y”、“－3”和“3”为相反项.
问题：怎样变形才能满足平方差公式的特点呢？
答：原式 =[x＋(y－3) ] [x－(y－3 )] ，将“y－3”看做整体可以运用平方差公式，展开为 x2－（y－3) 2.
师小结：通过添括号，将其变形成平方差公式的形式.
答：原式 =[x＋(y－3) ] [x－(y－3 )]
=x2－(y－3) 2
=x2－(y2－6y+9) 2
=x2－y2+6y－9.
问题：方法1中出现(x2＋6x＋9) (x2－6x＋9)，观察两个多项式的项有什么特点？
答：每项绝对值对应相等,其中 “x2”、“9”为相同项，“＋6x”和“－6x” 为相反项.
问题： (x2＋6x＋9) (x2－6x＋9)可以使用乘法公式计算吗？
答：原式 = (x2＋9＋6x) (x2＋9－6x) ，将“x2＋9”看作整体可以运用平方差公式，展开为( x2＋9) 2－（6x) 2.
答：原式 = (x2＋9＋6x) (x2＋9－6x) =( x2＋9) 2－（6x) 2=x4－18x2＋81.
师小结：运算前，先观察算式特征，选择适当乘法公式进行运算,有时需要多次运用乘法公式进行计算.
师生活动：学生独立思考，举手回答，教师归纳总结．
设计意图：引导学生养成先观察算式，根据算式的结构特点选择适当的乘法公式是进行简便运算的关键，有些整式的乘法需要先适当变形，然后再用乘法公式进行计算，让学生意识到灵活变形的重要性.
应用新知
例1 计算：
(1)(x－3)(x＋3)(x2＋9) ； (2) (2x＋3)2(2x－3)2 .
答：解： (1)原式 = (x2－9)(x2＋9)
= x4－81；
(2)原式 =[(2x＋3)(2x－3)]2
= (4x2－9)2
= (4x2)2－2·4x2·9＋92
= 16x4－72 x2＋81.
变式1 计算:
(1) (x＋1)(x－1)(x2＋1)(x4＋1) ； (2) (m＋2n)2(m－2n)2 .
答： (1)原式 = (x2－1)(x2＋1) (x4＋1)
=（x4－1）(x4＋1)
= x8－1；
(2)原式 =[ (m＋2n)(m－2n)]2
= (m2－4n2)2
= (m2)2－2·m2·4n2＋(4n2)2
= m4－8m2n2＋16n4.
例2 计算:
(1) (2a＋b)(b－2a)－(a－3b) ; (2) (x＋y＋4)(x＋y－4).
答： (1)原式 = (b＋2a)(b－2a)－(a－3b)
= b2－4a2－(a2－6ab＋9b2)
= b2－4a2－a2＋6ab－9b2
= －5a2＋6ab－8b2 ;
(2)原式= [(x＋y)＋4 ][ (x＋y)－4]
= (x＋y)2－42
= x2＋2xy＋y2－16 .
师提示：把(x+y)看作整体，可运用平方差公式.
师生活动：学生先独立思考，然后师指定学生板演，全班集体交流.
设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯．创设应用情境，让学生结合探究结论对乘法公式进行综合运用，提升学生计算能力．
课堂练习
1. 计算：
(1)a2+(b－a)(b+a)；
(2)(a－1)(a+1)(a2－1)；
(3)(3x+1)2(3x－1)2；
(4)(x－y+z)(x－y－z)．
2. 计算:
（1） (2a－b)2－4(a+b)(a－b); （2）3(x+y)(－x－y)－(3x+y)(－3x+y).
3. 如图，4块完全相同的长方形围成一个正方形，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，由此，你能得到怎样的等式？试用乘法公式说明这个等式成立．
答：1. （1）原式＝a2+b2－a2＝b2；
（2）原式＝(a2－1)(a2－1)＝(a2－1)2＝a4－2a2+1；
（3）原式＝[(3x+1)(3x－1)]2＝(9x2－1)2＝81x4－18x2+1；
（4）原式＝(x－y)2－z2＝x2－2xy+y2－z2；
2. （1） 原式＝4a2 －4ab+ b2－4(a2－b2) ＝4a2 －4ab+ b2－4a2+4b2＝－4ab+5b2;
（2） 原式＝－3(x+y) 2－[y2－(3x) 2] ＝－3(x 2 +2xy +y 2) －(y2－9x2)
＝－3x 2－6xy－3y 2－y2+9x2＝6x2－6xy－4y 2；
表示方法1：4块小阴影部分的面积相等，每块面积为ab，则阴影部分的面积为4ab．表示方法2：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去里面空白小正方形的面积，即(a+b)2－(a－b)2．
等式：4ab＝(a+b)2－(a－b)2，
说明：(a+b)2－(a－b)2＝a2+2ab+b2－(a2－2ab+b2)＝4ab．
限时训练
1. 当x=1时，求(－x+2)(x－2)+(x+1)²的值.
2.若a4=3，b4=2，求(a－3b)2(a+3b)2+18a2b2的值.
3. 若(x+2y)(x－2y)＝bx2－ay2，求(2a+b+3)(2a+b－3)－(2a+b)(2a－b)的值．
4. 从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ．
A．a2－2ab+b2＝(a－b)2
B．a2－b2＝(a+b)(a－b)
C．a2－ab＝a(a－b)
（2）运用从（1）的等式，完成下列各题：
①已知：a－b＝3，a2－b2＝21，求a+b的值；
②计算：(1－122)×(1－132)×(1－142)×⋯×(1－120232)×(1－120242)．
答：1. (－x+2)(x－2)+(x+1)²
=－(x－2)²+(x+1)²
=－(x2－4x+4)+ x2+2x+1
=－x2+4x－4+ x2+2x+1
=6x－3.
当x=1时，原式=6×1－3=3.
2.(a－3b)2(a+3b)2+18a2b2
=[(a－3b)(a+3b)] 2+18a2b2
=(a2－9b2)2+18a2b2
= a4－18a2b2+81b4+18a2b2
= a4+81b4；
当a4=3，b4=2时，原式=3+81×2=165.
3. (2a+b+3)(2a+b－3)－(2a+b)(2a－b)
＝(2a+b)2－9－4a2+b2
＝4a2+4ab+b2－9－4a2+b2
＝4ab+2b2－9，
因为(x+2y)(x－2y)＝bx2－ay2，
所以x2－4y2＝bx2－ay2，
所以b＝1，a＝4，
当b＝1，a＝4时，原式＝4×4×1+2×12－9＝16+2－9＝9.
4. （1）图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2－b2，拼成的图2是长为a+b，宽为a－b的长方形，因此面积为(a+b)(a－b），
所以有a2－b2＝(a+b)(a－b），
故答案为B；
（2）①因为a－b＝3，a2－b2＝21，a2－b2＝(a+b)(a－b），
所以21＝(a+b）·3，
所以a+b＝7；
②原式=(1－12)×(1+12)×(1－13)×(1+13)×(1－14)×(1+14)×⋯×(1－12023)×(1+12023)×(1－12024)×(1+12024)
=12×32×23×43×34×54×⋯×20222023×20242023×20232024×20252024
=12×20252024
=20254048．
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结

设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

六、板书设计
（第3课时）


七、教学反思
本课的教学内容基于整式乘法、平方差公式、完全平方公式、有理数的四则混合运算、幂的运算性质、合并同类项、去括号以及整式的加减等知识，综合性较强，在教学过程中，需要确保学生已经牢固掌握这些基础知识，对薄弱部分及时进行补充及巩固.
由于本课有一定综合性，且相较前面课时难度有所上升，需要关注讲解是否清晰明了，学生是否能够跟上节奏并理解内容.课堂上，教师应鼓励学生积极参与讨论和提问，尤其如新知探究中两个活动及探究的环节，增加更多的互动环节来提高课堂效果，通过小组内讨论、组间补充等方式，激发学生的学习兴趣和主动性，减少部分学生独立思考未能有所收获的挫败感.
本课教材提供多样化的例题，包括多次利用平方差公式、同时利用两种乘法公式的综合运用类例题，以及加入混合运算、整体思想等乘法公式的拓展运用类例题，学生初次接触这些题型需要通过大量的练习来巩固.教师应适当补充包括基础题、提高题和综合应用题等，提供充足练习机会，满足不同层次学生的学习需求.同时，应加强巡视及时给予反馈，指出学生的错误并提供正确的解题方法.