苏科版（2024）七年级下册（2024）乘法公式第2课时教学设计

这是一份苏科版（2024）七年级下册（2024）乘法公式第2课时教学设计，共8页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
第2课时 平方差公式

一、教材分析
本节课是苏科版初中数学七年级下册第八章第四节第二课时．从知识体系上看,本节内容属于数与代数体系之下.上一课进行了完全平方公式的探索,提供乘法公式探索的经验和路径基础,而本节课所学平方差公式在教材后续因式分解、分式运算及其它代数式的变形相关内容中都有着举足轻重的地位,是构建学生代数知识结构,培养学生的化归的数学思想和换元的数学方法的重要载体,在教材中起着承上启下的作用.
在本课时中，教材主要分为探究活动、讨论环节、平方差公式的基础运用及简便运算中的运用四个部分，适合学生进行探究式学习，在探究及讨论中感受数形结合的思想，培养符号意识和运算能力.在教学中鼓励学生积极参与教材中的活动，自主进行代数证明、概括等活动.在例题教学中补充适量变式练习及小结概括.

二、学情分析
学生在学习本节课之前,已具备一定的知识基础和学习能力．学生已经掌握了单项式乘以单项式、单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式的运算法则，具备了一定的计算能力和数学思维能力,并在《完全平方公式》中进行过类似的探索,已掌握通过探索图形及代数推理猜想、证明乘法公式的能力.该年龄阶段学生个性活泼、思维活跃,已初步具有对熟悉问题进行合作探究的能力 .在思维能力方面,能较好地利用数形结合的思想解决一些数方面具有一定抽象思维的问题.
但同时，局限于抽象思维的发展尚未成熟，学生在学习过程中可能会出现对公式结构特征理解不透彻，导致在应用时出现错误的情况.因此，在教学过程中，要注重让学生通过实例来感受公式的合理性和实用性，加深对公式的理解和记忆.另外，对于公式的推导和应用，学生可能会存在一定的困难，需要教师引导学生通过观察、比较、归纳等方法来理解和掌握。

三、教学目标
1.能推导平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并能利用平方差公式进行简单计算.
2.经历探索平方差公式的过程，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性.
3.掌握公式的形式特征，会识别算式的结构，能灵活运用平方差公式解决较复杂的问题.

四、教学重难点
重点：能推导平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并能利用平方差公式进行简单计算.
难点：掌握平方差公式的形式特征，能灵活运用平方差公式解决较复杂的问题.

五、教学过程
情境导入
从前有一个地主,他把一块长为a米的正方形的土地租给张大爷种植,有一天,他对张大爷说：“我把这块地的一边减少5米,另一边增加5米,继续租给你,你也没有吃亏,你看如何?”
问题：同学们, 你们认为张大爷应该接受吗？
答：不应该,因为地主给张大爷地变少了.
问题：谁能向张大爷解释清楚原因？
答：方法1：张大爷原来地的面积是a2平方米,现在变成了(a+5)(a－5)平方米,
(a+5)(a－5)=a2－5a+5a－25=a2－25(平方米）.因为a2－25＜a2,所以现在的地比张大爷原来的地小.追问：还可以怎么解释呢？（课件出示演示动画）

答：现在的地没有原来的大.
师生活动：教师展示情境,学生齐答,独立思考,举手回答．
设计意图：在实际背景中创设情境,激发学生的学生兴趣,培养学生的数学表达能力．出现平方差公式的形式,引发学生思考,逆向使用新授中图形,帮助学生后续联想.
探究新知
活动一：探究平方差公式
问题：如图,在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b(b < a)的小正方形,计算剩余部分的面积.

答：剩余部分的面积为a2－b2.
问题：如图,将剩余部分剪开拼成一个长方形,计算这个长方形的面积.
答：这个长方形的面积(a+b)(a－b) .
问题：由上述操作,你能得到怎样的等式?
答：(a+b)(a－b)= a2－b2
问题：你还有其他方法计算剩余部分的面积吗?
答：如图,分成两个梯形,再进行拼合，
(2a+2b)(a－b)2=(a+b)(a－b)=a2－b2.
师生活动：学生独立思考,举手回答,教师板书．
设计意图：本环节通过等面积法得出平方差公式，并借助图形的直观，帮助学生感知、理解公式，为后续通过代数证明推导公式提供认识基础.同时，在教学过程中渗透数形结合的思想，为学生解决同类问题提供方法和路径.
活动二：证明平方差公式
问题：你能用代数的方式证明(a+b)(a－b)= a2－b2吗？
答：(a+b)(a－b)= a2－ab+ab－b2= a2－b2.
师追问：谁能用文字语言描述(a+b)(a－b)= a2－b2呢？
答：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．
师总结：平方差公式：(a+b)(a－b)= a2－b2.
用语言叙述为：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．
讨论：平方差公式有什么特点？
师小结：1.等号左边是两个二项式的积，且在两个二项式中有一项为相同项,另一项（b与－b）互为相反项；2.等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.
完全平方公式、平方差公式通常叫作乘法公式..
师生活动：学生独立思考,举手回答,教师归纳总结．
设计意图：本环节以问题为线索,让学生在动口、动手、动脑的活动中学习知识,让学生进一步理解“探索发现—归纳验证—应用拓展”这一学习与研究数学问题的方法.多鼓励学生用自己的语言大胆表达自己的意见,培养学生的表达能力和总结能力,让学生学会用数学思维思考,用数学的语言表达.
应用新知
例1 用平方差公式计算：
（1）(5x＋y)(5x－y)； （2）(2n＋m)(－m＋2n)； （3）(3y－x)(－x－3y).
答：（1）(5x＋y)(5x－y)
= (5x)2－y2
= 25x2－y2；
（2）(2n＋m)(－m＋2n)
= (2n＋m)(2n－m)
= (2n)2－m2
= 4n2－m2；
师提示：只要把5x看作平方差公式中的a,把y看作b,把（2）中的2n看作平方差公式中的a,m看作b,就都可以用平方差公式进行计算.
（3）(3y－x)(－x－3y)
= (－x＋3y)(－x－3y)
= (－x)2－(3y)2
= x2－9y2；
师总结：1.公式中的a与b可以是数也可以是单项式、多项式.
2.正确判断哪个数为a,哪个数为b（与位置、自身性质符号无关,两因式中的两对数是否有一个数完全相同,而另一个数是相反数）.（同平方—异平方）
师生活动：学生独立思考，然后指定学生板演示范．
设计意图：通过例题讲解,进一步观察式子两边的特点,帮助学生明确哪一个是公式中的“a”,哪一个是公式中的“b”,进一步体会平方差中a,b的含义,引导学生意识到应用公式的关键是找出相等的“项”和符号相反的“项”,帮助学生灵活掌握的转变．
例2 用平方差公式计算： 301×299.
变式 用简便方法计算: 2013×1923 .
答：例2 301×299
= (300＋1)×(300－1)
= 3002－12
= 90000－1
= 89999,
变式 2013×1923
= (20＋13)×(20－13)
= 202－(13)2
= 400－19
= 39989．
师生活动：教师板演示范,学生模仿．
设计意图：让学生感受平方差公式对减少运算量的帮助,提升学生计算能力及灵活运用平方差公式的能力,感受数学简洁之美．通过变式训练及讲解,及时练习巩固所学,培养学以致用、积极思考的习惯．
课堂练习
1.下面的计算是否正确? 如有错误,请改正.
(1)(x+2)(x－2)=x2－2;
(2)(x+y)(y－x)=x2－y2.
2. 计算:
（1）(1＋x)(1－x)； （2）(a＋4b)(a－4b)；
（3）(3＋a)(3－a)； （4）(12x－2y)(－12x－2y).
3.填空:
(1)(x+ )(x－ )=x2－25;
(2)(m+ )(m－ )=m2－36n2;
(3)(a+2b)( )=4b2－a2;
(4)( )(1－x2)=x4－1.
答：1. 错，(x+2)(x－2)=x2－4; 错，(x+y)(y－x)= (y+x)(y－x)=y2－x2.
2.（1）(1＋x)(1－x)
= 12－x2
= 1－x2；
（2）(a＋4b)(a－4b)
= a2－(4b)2
= a2－16b2；
（3）(3＋a)(3－a)
= 32－a2
= 9－a2；
（4）(12x－2y)(－12x－2y)
= (12x)2－(2y)2
= 14x2－4y2.
3. 5，5；6n，6n；2b－a；－1－x2.
限时训练
1. 用简便方法计算:
（1）852－152 ； （2）20242－2023×2025．
2.若x2－y2 = 8, y－x = 4,求 x＋y.
3.计算：(2－1)×(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)× ···×(21024＋1) .
答：1. （1）852－152
= (85+15)×(85－15 )
=100×70
=7000；
（2）20242－2023×2025
= 20242－(2024－1)×(2024+1)
= 20242－ (20242－12)
= 20242－20242+1
=1．
2.解：因为(x＋y)(x－y) = x2－y2,且x2－y2 = 8,y－x = 4,所以(x＋y) ×(－4) = 8,x＋y =－2.
3.解： (2－1)×(2＋1)×(22＋1)×(24＋1) × (28＋1)× ··· ×(21024＋1)
= (22－1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)× ··· × (21024＋1)
= (24－1)×(24＋1)×(28＋1)× ··· × (21024＋1)
=···
= (21024－1)×(21024＋1)
= (21024)2－12
= 22048－1.
师生活动：学生独立完成,指定学生回答.
设计意图：通过课堂练习巩固新知,加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
小区广场由两个正方形和一个三角形区域组成，为改善居住环境决定进行改造，新增如图四边形绿地,小明想知道绿地的面积.已知两个正方形区域面积差为120m2.请通过平方差公式帮助小明计算绿地的面积.

六、板书设计

七、教学反思
本节课通过学生的自主探究,加深对平方差公式的理解,对于平方差公式的教学要重视结果更要重视其发现过程,避免 “讲公式、用公式、练公式、背公式”学生被动学习的局面.
要鼓励学生研究和发现平方差公式的特点,理解平方差公式只是多项式乘以多项式的一类特例,并联想是否还有其他特例,为后继学习作准备.并在此基础上,让学生用代数推理的办法验证自己的猜想,引导学生意识到数学的严谨性,提升学生的科学精神.
在巩固运用中,要关注学生整式乘法的技能发展.得到平方差公式后,要尽可能的让学生用自己的方式表达平方差公式,用自然语言表达,用符号语言表达,用几何语言表达（给出几何解释），进一步体会数形结合思想.
运用平方差公式进行一些简便运算,是对学生掌握公式的一个很好的检验,要注意让学生自主探究,不要急于告诉结果.对于公式中的字母不必急于进行变式练习,但一开始就要引导学生站在代数式角度去理解公式中字母的广泛含义.