第7章微专题02 幂的运算的综合题型（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册练习+答案

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微专题02 幂的运算的重难点问题题型一 同底数幂的乘法的逆运算1．（25-26八年级上·山西临汾·期末）若am=2，a2=3，则am+2的值为（    ）A．9B．8C．5D．6【答案】D【分析】本题考查同底数幂的乘法运算．利用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则，将所求式子转化为已知式子的乘积形式，代入计算即可．【详解】解：am+2=am×a2，am=2，a2=3，原式=2×3=6，故选D．2．（25-26八年级上·河南许昌·期末）若3a=4，4b=5，5c=9，则abc的值是（    ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】利用幂的乘方运算法则，通过逐步代换变形，得到底数为3的幂，对比指数即可得到abc的值【详解】解：∵ 3a=4，4b=5，∴ 将4=3a代入4b=5，可得 (3a)b=5，由幂的乘方法则得 3ab=5，3．（25-26六年级下·全国·课后作业）若3a=2，3b=5，则3a+b+1的值为（     ）A．30B．10C．6D．38【答案】A【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法运算是解题的关键．需利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，将待求式转化为已知幂的乘积形式，再代入计算即可．【详解】解：∵3a=2，3b=5，31=3，∴3a+b+1=3a×3b×31 =2×5×3=30，故选A．∵ 5c=9，将5=3ab代入得 (3ab)c=9，∴ 3abc=9，又∵ 9=32，∴ 3abc=32，∴ abc=24．（25-26八年级上·福建福州·期末）计算2m+2m+2m+2m=4n，则m与n的关系是（    ）A．4m=nB．2m=nC．m+2=nD．m+2=2n【答案】D【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，先将等式左边的加法运算转化为乘法运算，再把等式左右两边的底数统一为2，进而推导m与n的关系．【详解】∵2m+2m+2m+2m=4×2m，4=22，∴4×2m=22×2m=2m+2，4n=22n=22n，∵2m+2m+2m+2m=4n∴2m+2=22n，∴m+2=2n，故选：D．5．（24-25九年级上·四川广元·期末）计算103n+1−103n−1103n+1+103n−1=__________（其中n为正整数）【答案】99101【分析】令 a=103n−1，将分子和分母化简，然后约分得到结果．本题考查了同底数幂乘法的逆运算，掌握运算公式是解题关键．【详解】令 a=103n−1，则 103n+1=103n−1×102=100a．分子为 103n+1−103n−1=100a−a=99a，分母为 103n+1+103n−1=100a+a=101a，所以原式 = 99a101a=99101．故答案为： 99101．6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若am=4，am+n=64，则an的值为________．【答案】16【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用，准确的计算是解决本题的关键．根据指数运算法则，将am+n分解为am⋅an，再代入已知数值求解即可．【详解】由题意得，am+n=am⋅an，∵am=4，am+n=64，∴64=4⋅an，解得an=16．故答案为：16．7．（25-26六年级下·全国·课后作业）已知：2a=5，2b=6，2c=30，写出a，b，c之间的一个等量关系．【答案】a+b=c【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，熟练掌握该法则是解题的关键．观察数据，可得出2a×2b=2c，即可通过同底数幂的乘法法则得出a+b=c．【详解】解：∵5×6=30，∴2a×2b=2c，∴a+b=c．8．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知am=2,an=3，求下列各式的值．(1)am+1；(2)a3+n；(3)am+n+3．【答案】(1)2a(2)3a3(3)6a3【分析】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法的逆用是解题的关键；（1）由am+1=a⋅am可代入进行求解即可；（2）由a3+n=a3⋅an可代入进行求解即可；（3）由am+n+3=am⋅an⋅a3可代入进行求解即可．【详解】（1）解：∵am=2，∴am+1=a⋅am=2a；（2）解：∵an=3，∴a3+n=a3⋅an=3a3；（3）解：∵am=2,an=3，∴am+n+3=am⋅an⋅a3=6a3．题型二 幂的乘法的逆运算1．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）已知2m=x,2n=y,m,n为正整数，则4m+2n=（    ）A．x2y2B．x2+y2C．2x+12yD．x2y4【答案】D【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用．熟练掌握同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，是解题的关键．逆用同底数幂的乘法和幂的乘方，进行计算即可．【详解】解：∵2m=x，2n=y，∴4m+2n=4m⋅42n=22m⋅222n=2m2⋅2n4=x2y4；故选：D．2．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）已知3m=6，3n=a，2n=b，且ab=27，则mn的值为(        )A．30B．27C．92D．3【答案】D【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方；由ab=27和a、b的定义推出6n=27，再结合3m=6，将6用3m表示，得到3mn=27，从而求出mn．【详解】解：∵3n=a，2n=b，ab=27，∴ab=3n×2n=3×2n=6n=27，又∵3m=6，∴6n=3mn=3mn=27，∵27=33，∴3mn=33，∴mn=3．故选：D．3．（25-26六年级下·全国·课后作业）已知3x+5y=3，则8x×32y的值为__________．【答案】8【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据幂的乘方运算将8x和32y化为以2为底的幂，然后根据同底数幂的乘法计算即可．【详解】解：8x×32y=23x×25y=23x×25y=23x+5y，∵3x+5y=3，∴23x+5y=23=8，故答案为：8．4．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）若22x+1+4x=48，则x的值是________【答案】2【分析】本题考查指数运算，幂的乘方，同底数幂相乘等．根据题意先将等式左边整理，再将等式右边整理即可得到本题答案．【详解】解：∵22x+1+4x=2×22x+22x=2×22x+22x=22x×3，48=16×3=24×3，∴22x×3=24×3，∴2x=4，∴x=2．故答案为：2．5．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）已知：4x⋅84⋅16x+1=32x+4，则x=______．【答案】4【分析】本题考查同底数幂相乘和幂的乘方的逆运算，解一元一次方程，掌握好相关的运算法则是关键．将方程中的所有幂转换为以2为底的幂，利用指数运算法则简化方程，再根据底数相同指数相等的原则求解．【详解】解：根据幂的乘方运算法则进行化简，得，4x=22x=22x，84=234=212，16x+1=24x+1=24x+4，32x+4=25x+4=25x+20，∴原方程化简为：22x⋅212⋅24x+4=25x+20，合并，得22x+12+4x+4=25x+20，∴2x+12+4x+4=5x+20，解得x=4．故答案为：4．6．已知2a=3，2b=43，则32a×9b＝　 ．【答案】81．【分析】根据2a=3，2b=43求出2a×2b＝3×43，根据同底数幂的乘法得出2a+b＝22，求出a+b＝2，再根据幂的乘方进行计算，根据同底数幂的乘法得出32a×9b＝32a+2b，再代入求出答案即可．【详解】解：∵2a=3，2b=43，∴2a×2b＝3×43，∴2a+b＝4＝22，∴a+b＝2，∴32a×9b＝32a×（32）b＝32a×32b＝32a+2b＝32×2＝34＝81．故答案为：81．【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，能熟记（am）n＝amn和am•an＝am+n是解此题的关键．7．（25-26六年级下·全国·课后作业）已知x2n=2，求3x3n2−4−x22n的值．【答案】56【分析】本题考查了求代数式的值，积的乘方，幂的乘方的逆用，根据积的乘方及幂的乘方的逆用将原式化为9x2n3−4x2n2，即可求解．【详解】解：原式=9x6n−4x4n=9x2n3−4x2n2=9×23−4×22=9×8−4×4=72−16=56．8．（25-26八年级上·四川南充·期末）如果xn=y，那么我们规定x,y=n．例如：因为23=8，所以2,8=3．(1)根据上述规定填空：−2,4=________  5,1=________  12,4=________．(2)已知，9,5=a，3,6=b，3,30=c，求证：2a+b=c．【答案】(1)2,0,−2(2)见详解【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，掌握其运算法则是关键．（1）根据题意的计算方法求解即可；（2）根据题意得到9a=5，3b=6，3c=30，结合题意，运用幂的乘方，同底数幂的计算求解即可．【详解】（1）解：∵−22=4，∴−2,4=2，∵50=1，∴5,1=0，∵12−2=4，∴12,4=−2，故答案为：2,0,−2；（2）证明：∵(9,5)=a，(3,6)=b，(3,30)=c∴9a=5，3b=6，3c=30，∵9a=32a=32a，∴32a=5，∴32a×3b=32a+b=5×6=30，即32a+b=30，又∵3c=30，∴32a+b=3c，∴2a+b=c．题型三 积的乘法的逆运算1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）计算−232025×1.52026的结果为（   ）A．1B．−1C．1.5D．−1.5【答案】D【分析】本题考查了积的乘方的逆运算．先将小数转化为分数，再利用积的乘方的逆运算简化计算，最后结合有理数的乘方性质得出结果．【详解】解：原式= −232025×322026= −232025×322025×32= −23×322025×32= −12025×32= −1×32=−1.5故选：D．2．（25-26六年级下·全国·课后作业）若5n=a，4n=b，则20n=（　　）A．5aB．4bC．abD．5ab【答案】C【分析】本题考查积的乘方的逆运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；将20n转化为(4×5)n，再利用积的乘方公式变形，代入已知条件即可求解．【详解】∵20=4×5，∴20n=(4×5)n，∵4n=b，5n=a，∴20n=ab，故选：C．3．（2026七年级下·全国·专题练习）计算232023×−1.52024×−12025的结果是（    ）A．23B．32C．−23D．−32【答案】D【分析】本题考查了有理数的乘方运算，乘法运算律，先把原式变形为232023×−322023×−32×−1，再运用乘法运算律进行简便运算，即可作答．【详解】解：232023×−1.52024×−12025=232023×−322023×−32×−1=23×−322023×−32×−1=−12023×−32×−1=−1×−32×−1=−32．故选：D4．（25-26七年级下·全国·周测）若a=−25，b=52，则a2024⋅b2025=____________．【答案】52【分析】利用 a⋅b=−1 的关系，将原式化为 (a⋅b)2024⋅b，再根据指数运算规则求解．【详解】由 a=−25，b=52，得 a⋅b=−25×52=−1．则 a2024⋅b2025=a2024⋅b2024⋅b=(a⋅b)2024⋅b．由于 a⋅b=−1，且2024为偶数，故 (a⋅b)2024=(−1)2024=1．所以 a2024⋅b2025=1⋅b=b=52．【点睛】这类指数运算题的关键是观察指数的特点，通过拆分指数构造积的乘方形式，利用积的乘方简化计算．5．（25-26七年级上·江苏·假期作业）（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算：(1)314×−197；(2)0.1255×218．【答案】(1)−1(2)8【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．（1）先逆用幂的乘方运算法则，再逆用积的乘方运算法则进行计算；（2）先将218变形，再综合运用幂的乘方与积的乘方运算法则的逆用进行计算．【详解】（1）解：314×−197=327×−197=97×−197=9×−197=−17=−1．（2）解：0.1255×218=0.1255×85×8=0.125×85×8=15×8=8．6．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：(1)59×0.28；(2)−239×329；(3)22×42×56．【答案】(1)5(2)−1(3)1000000【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用、同底数幂乘法、积的乘方的逆用、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．（1）先逆用同底数幂乘法法则可得5×58×0.28，再运用乘法运算律以及逆用积的乘方运算法则求解即可；（2）直接逆用积的乘方运算法则求解即可；（3）先运用用幂的乘方可得22×24×56，即26×56，再逆用积的乘方运算法则求解即可．【详解】（1）解：59×0.28=5×58×0.28=5×5×0.28=5×18=5×1=5．（2）解：−239×329=−23×329=−19=−1．（3）解：22×42×56=22×222×56=22×24×56=26×56=2×56=106=1000000．7．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题：(1)3×1033；(2)0.24×0.44×1254；(3)22510×−5610×1211；(4)−0.12512×−1237×−813×−359【答案】(1)2.7×1010(2)10000(3)12(4)−7225【分析】本题考查了积的乘方及其逆向应用，关键是熟练应用运算法则计算；（1）根据积的乘方运算法则计算即可；（2）逆向应用积的乘方的公式进行运算即可；（3）逆向应用积的乘方的公式进行运算即可；（4）逆向应用积的乘方的公式及运算律进行运算即可；【详解】（1）解：3×1033=33×103×3=27×109=2.7×1010；（2）解：0.24×0.44×1254=0.2×0.4×1254=104=10000；（3）解：22510×−5610×1211=125×−56×1210×12=12；（4）解：−0.12512×−1237×−813×−359 =−0.12512×−812×−8×−1237×−357×−352=−0.125×−812×−8×−53×−357×925=−8×925=−7225．8．（24-25八年级上·河南周口·月考）阅读下列各式：xy2=x2y2，xy3=x3y3，xy4=x4y4 ⋯⋯(1)根据积的乘方得出规律：（xy)m=_____，xyzn=_____；(2)应用规律：①填空：5100×0.2100=_____，137×57×357=_____；②计算：82023×−0.252024×0.52025【答案】(1)xmym，xnynzn(2)①1，1②116【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．（1）运用积的乘方法则计算求解即可；（2）①利用积的乘方的逆运算求解即可；②把原式变形为0.25×0.52×(0.25×0.5×8)2023，进而求解．【详解】（1）解：根据题意得，(xy)m=xmym，(xyz)n=xnynzn，故答案为：xmym，xnynzn；（2）解：①5100×0.2100=(5×0.2)100=1，(13)7×57×(35)7=(13×5×35)7=1，故答案为：1，1；②82023×−0.252024×0.52025=82023×0.252023×0.25×0.52023×0.52=0.25×0.52×(0.25×0.5×8)2023=14×14×1=116．题型四 同底数幂的除法的逆运算1．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）已知2a=3，8b=4，则2a−3b的值为（   ）A．12B．34C．7D．−1【答案】B【分析】本题考查幂的运算性质，需将8b转化为以2为底的幂，再利用同底数幂的除法性质计算2a−3b即可求解．【详解】解：∵8b=4，又∵8=23，∴23b=4，即23b=4，∵2a−3b=2a÷23b（同底数幂除法性质：am−n=am÷an），又∵2a=3，∴原式=3÷4=34．故选：B．2．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知xm=3，xn=2，则x2m−n的值（   ）A．18B．9C．92D．274【答案】C【分析】本题考查了同底数幂相除和幂的乘方法则，逆用同底数幂相除和幂的乘方法则将x2m−n变形为xm2÷xn，然后把已知整体代入计算即可．【详解】解：∵xm=3，xn=2，∴x2m−n=x2m÷xn=xm2÷xn=32÷2=92，故选：C．3．（25-26八年级上·山东临沂·期末）xm=64，xn=8，则xm−n=______．【答案】8【详解】解：∵xm=64，xn=8，∴xm−n=xm÷xn=64÷8=8．4．（25-26八年级上·河北沧州·期末）已知10x=15，10y=5，则102x−y=______．【答案】45【分析】利用幂的乘方运算法则求出102x的值，结合102x−y=102x÷10y求值即可．【详解】解：∵10x=15，∴10x2=152，即102x=225，∴102x−y=102x÷10y=225÷5=45．5．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若5m=3，25n=4，则52m−4n的值为______．【答案】916【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆用．利用指数运算法则，将所求表达式分解为已知条件的组合，然后代入数值计算．【详解】解：由已知5m=3，根据幂的乘方法则，得52m=5m2=32=9．由25n=4，且25=52，得25n=52n=52n=4，再根据幂的乘方法则，得54n=52n2=42=16．因此，52m−4n=52m54n=916．故答案为：916．6．（2025七年级下·全国·专题练习）解方程：(1)2x+4−2⋅2x=112；(2)32x+2−32x+1=486【答案】(1)x=3(2)x=2【分析】本题考查解方程，幂的相关运算：（1）逆用同底数幂的乘法，将等号左边式子变形为24⋅2x−2⋅2x，再提取公因式后得2x×24−2=112，即可求解；（2）逆用同底数幂的乘法，将等号左边式子变形为32x⋅9−32x⋅3，合并同类项后得6⋅32x=486，即可求解．【详解】（1）解：原方程可化为24⋅2x−2⋅2x=112，即2x×24−2=112，∴2x=8，即2x=23，解得：x=3；（2）解：原方程可化为32x⋅9−32x⋅3=486，即6⋅32x=486，∴32x=81，即32x=34，∴ 2x=4，∴ x=2．7．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）已知5m=4，5n=6，25p=9．(1)求5m+n−2p的值；(2)写出m，n，p之间的数量关系．【答案】(1)83(2)m+2p=2n【分析】本题主要考查同底数幂乘法及除法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法及除法的逆用是解题的关键；（1）根据同底数幂乘法及除法的逆用可进行求解；（2）根据同底数幂乘法的逆用可进行求解．【详解】（1）解：∵5m=4，5n=6，又∵25p=52p=52p=9，∴5m+n−2p=5m⋅5n÷52p=4×6÷9=83．（2）解：∵5m⋅25p=5m⋅52p=4×9=36=62，又5n=6，∴5m⋅52p=5n2，∴m+2p=2n．8．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）（1）试说明216+215−214能被5整除；（2）若5a+b能被8整除，试说明5a+2+b一定也能被8整除．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】本题考查了同底数幂的乘法，（1）根据216+215−214=214×5即可判断；（2）先逆用乘法分配律将5a+2+b变形为24⋅5a+5a+b，进而可说明结论成立．【详解】解：（1）216+215−214=214×22+2−1=214×5∵214为整数∴216+215−214能被5整除（2）5a+2+b=5a⋅52+b=25⋅5a+b=24⋅5a+5a+b∵5a+b能被8整除，24⋅5a能被8整除∴5a+2+b能被8整除题型五 利用幂的运算性质求值1．（2026七年级下·江苏·专题练习）若am=an（a>0且a≠1），则m=n．(1)如果2×8x×162=215，求x的值；(2)已知x满足22x+3−22x+1=48，求x的值．【答案】(1)2(2)32【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．（1）根据幂的乘方的逆用、同底数幂相乘法则，列出关于x的方程求解；（2）利用同底数幂乘法的逆用和分配律的逆用，列出关于x的方程求解．【详解】（1）解：∵2×8x×162=215，∴2×23x242=215，∴2×23x28=215，∴21+3x+8=215，∴1+3x+8=15，解得：x=2；（2）解：∵22x+3−22x+1=48，∴22x×23−22x×2=48，∴22x×8−22x×2=48，∴22x×8−2=48，∴22x×6=48，∴22x=8，∴22x=23，∴2x=3，解得：x=32．2．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题：(1)已知10a=3，10b=5，求103a−2b的值；(2)已知47a=27，423b=81，求3b−4aab的值．【答案】(1)2725(2)−2【分析】本题主要考查同底数幂的除法；（1）根据同底数幂的除法法则计算即可；（2）根据同底数幂的除法法则计算即可．【详解】（1）解：103a−2b=10a3÷10b2=33÷52=2725．（2）解：47a=27=33，423b=81=34，∴47ab=33b，423ab=34a，423ab÷47ab=34a−3b，423ab÷47ab=423÷47ab=9ab，∴34a−3b=9ab=32ab，∴4a−3b=2ab，∴3b−4aab=−2abab=−2．3．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）已知xm=5，xn=7，求x2m+n的值．（2）若ax=5，ax+y=30，求ax+ay的值．（3）若xa=3，xb=4，xc=5，求2xa+b+c的值．【答案】（1）175（2）11（3）120【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则：底数不变，指数相加是解题的关键．（1）逆用同底数幂的乘法运算法则变形，然后代入运算即可；（2）先逆用同底数幂的乘法运算法则求出ay，然后代入运算即可；（3）逆用同底数幂的乘法运算法则进行代值求解即可．【详解】解：（1）∵xm=5，xn=7，∴x2m+n=xm+m+n=xm⋅xm⋅xn=5×5×7=175；（2）∵ax=5，ax+y=ax⋅ay=30，∴5ay=30，则ay=6，∴ax+ay=5+6=11；（3）∵xa=3，xb=4，xc=5，∴2xa+b+c=2xa⋅xb⋅xc=2×3×4×5=120．4．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知5m=4，5n=6，25p=9．(1)求5m+n的值；(2)求5m−2p的值；(3)写出m，n，p之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)24(2)49(3)m+2p=2n【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．（1）根据5m+n=5m×5n，代入计算即可；（2）根据5m−2p=5m÷52p，结合25p=52p=9代入计算即可；（3）根据5m⋅25p=5m⋅52p=4×9=36=62，结合5n=6变形即可解答．【详解】（1）解：∵5m=4，5n=6，∴5m+n=5m⋅5n=4×6=24．（2）解：∵25p=52p=52p=9，∴5m−2p=5m÷52p=4÷9=49．（3）解：∵5m⋅25p=5m⋅52p=4×9=36=62，又5n=6，∴5m⋅52p=5n2，∴m+2p=2n．5．（2026七年级上·江苏泰州·专题练习）（1）已知2m=a,2n=b，m，n为正整数，用含a，b的代数式表示22m+3n；（2）已知n为正整数，且x2n=4，求 x3n2−2x22n的值；（3）若 x=2m,y=1+4m+1用含x的代数式表示y．【答案】（1）a2b3（2）32（3）y=4x2+1【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法逆运算、幂的乘方以及幂的乘方逆运算法则是解题的关键．（1）利用同底数幂的乘法逆运算以及幂的乘方逆运算求解即可；（2）通过幂的乘方运算以及幂的乘方逆运算将原式变形为x2n3−2x2n2，即可代入求解；（3）通过同底数幂的乘法逆运算以及幂的乘方逆运算将y=1+4m+1变形为y=1+2m2×4，即可求解．【详解】（1）解：∵2m=a,2n=b，∴22m+3n=22m×23n=2m2×2n3=a2b3；（2）解：∵x2n=4，∴x3n2−2x22n=x6n−2x4n=x2n3−2x2n2=43−2×42=64−32=32；（3）解：∵x=2m，∴y=1+4m+1=1+4m×4=1+22m×4=1+22m×4=1+2m2×4=1+4x2，即y=4x2+1．6．（2025八年级上·全国·专题练习）下图是小李同学完成的一道作业题，请你参考小李的方法解答下列问题． (1)计算：①82023×−0.1252023；②12511×5613×1212；(2)若3×9n×81n=319，请求出n的值．【答案】(1)①−1；②2572；(2)n=3【分析】本题主要考查幂的运算，掌握其运算法则是解题的关键．（1）①根据积的乘方的逆运算进行计算；②将代数式变形为指数相同，再根据积的乘方的逆运算即可求解；（2）将代数式变形为底数相同，再根据同底数幂的运算即可求解．【详解】（1）①解：82023×−0.1252023=−8×0.1252023=−12023=−1；②解：12511×5613×1212=12511×5611×562×1211×12=125×56×1211×2536×12=111×2572=1×2572=2572；（2）解：∵3×9n×81n=319，∴3×32n×34n=319，∴3×32n×34n=319，∴31+2n+4n=319，∴1+2n+4n=19，∴n=3．7．（2025七年级上·全国·专题练习）已知am=2，an=4，ak=32（a≠0）．(1)求am+k−2n的值；(2)求ak−3m−n的值；(3)求k−3m−n的值．【答案】(1)4(2)1(3)0【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法及幂的乘方逆运算，零指数幂等知识点，能灵活运用知识点进行变形是解此题的关键．（1）先根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方逆运算法则进行变形，再代入求出即可；（2）先根据同底数幂的除法，幂的乘方逆运算法则进行变形，再代入求出即可；（3）由（2）知ak−3m−n=1，根据任何数（除0外）的零次幂等于1，即可求解．【详解】（1）解：∵am=2，an=4，ak=32(a≠0)，∴am+k−2n=am·ak÷a2n=am·ak÷an2=2×32÷42=2×32÷16=4；（2）解：∵am=2，an=4，ak=32(a≠0)，∴ak−3m−n=ak÷a3m÷an=ak÷am3÷an=32÷23÷4=32÷8÷4=1；（3）解：由（2）知ak−3m−n=1，∵a0=1a≠0，∴k−3m−n=0．8．（25-26八年级上·四川内江·月考）在等式的运算中规定：若ax=ay（a>0且a≠1，x,y是正整数），则x=y，利用上面结论解答下列问题：(1)已知：3×2x+1×4x−1=96，求x的值(2)已知2x+3⋅3x+3=36x−2，求x的值．(3)若2×3x+2−3x+1=45，求x的值；【答案】(1)x=2(2)x=7(3)x=1【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．（1）逆用幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则得到23x−1=25，据此可得方程3x−1=5，解方程即可得到答案；（2）逆用积的乘方和幂的乘方运算法则得出6x+3=62x−4，据此得出方程x+3=2x−4，解方程即可得到答案；（3）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到2×3×3x+1−3x+1=45，进一步可得3x+1=32，则x+1=2，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：∵3×2x+1×4x−1=96，∴2x+1×4x−1=32，∴2x+1×22x−1=25，∴2x+1×22x−2=25，∴23x−1=25，∴3x−1=5，解得：x=2；（2）解：∵2x+3⋅3x+3=36x−2，∴2×3x+3=62x−2，∴6x+3=62x−4，∴x+3=2x−4，解得：x=7；（3）解：∵2×3x+2−3x+1=45，∴2×3×3x+1−3x+1=45，∴6×3x+1−3x+1=5×9，∴6−13x+1=5×32，∴5×3x+1=5×32，∴3x+1=32，∴x+1=2，∴x=1．题型六 利用幂的乘方的性质比较大小1．阅读和学习下面的材料：某同学在比较355，444，533的大小时，发现55，44，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小．解：∵355＝（35）11＝24311，444＝（44）11＝25611，533＝（53）11＝12511，∴533＜355＜444，请根据上述解题思路完成下题：比较大小：若a＝2505，b＝3404，c＝5303，则a，b，c的大小关系是什么？【答案】a＜b＜c．【分析】按照例题的解题方法，进行计算即可解答．【详解】解：∵a＝2505＝（25）101＝32101，b＝3404＝（34）101＝81101，c＝5303＝（53）101＝125101，∴32101＜81101＜125101，∴a＜b＜c．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，有理数大小比较，理解例题的解题方法是解题的关键．2．（25-26八年级上·山东滨州·月考）比较下列各题中幂的大小：(1)比较344，533，622这3个数的大小关系；(2)已知a=8131，b=2741，c=961，比较a、b、c的大小关系．【答案】(1)622