数学必修 第二册空间直线、平面的垂直第2课时课后练习题

这是一份数学必修 第二册空间直线、平面的垂直第2课时课后练习题，共4页。
课后·训练提升
1.(多选题)直线a和b在正方体ABCD-A1B1C1D1的两个不同平面内,使a∥b成立的条件是( )
A.a和b垂直于正方体的同一个面
B.a和b在正方体两个相对的面内,且共面
C.a和b平行于同一条棱
D.a和b在正方体的两个面内,且与正方体的同一条棱垂直
答案:ABC
解析:由直线与平面垂直的性质定理知A正确;由面面平行的性质定理知B正确;由基本事实4知C正确;D不正确.故选ABC.
2.已知直线l与平面α相交于点O,A∈l,B∈l,A∉α,B∉α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足为C,BD⊥平面α,垂足为D,AC=1,则BD=( )
A.2B.1
C.32D.12
答案:A
解析:如图,因为AC⊥平面α,BD⊥平面α,所以AC∥BD.
连接OD,
所以OAOB=ACBD.
因为OA=AB,所以OAOB=12.
因为AC=1,所以BD=2.
3.(多选题)如图,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,沿AD把三角形ABC折起来,则( )
A.在折起的过程中始终有AD⊥平面DB'C
B.三棱锥A-DB'C的体积的最大值为348
C.当∠B'DC=60°时,点A到B'C的距离为32
D.当∠B'DC=90°时,点C到平面ADB'的距离为12
答案:ABD
解析:因为AD⊥DC,AD⊥DB',且DC∩DB'=D,DC,DB'⊂平面DB'C,所以AD⊥平面DB'C,故A正确;当DB'⊥DC时,△DB'C的面积最大,此时三棱锥A-DB'C的体积也最大,最大值为13×32×12×12×12=348,故B正确;当∠B'DC=60°时,△DB'C是等边三角形,设B'C的中点为E,连接AE,DE,则AE⊥B'C,即AE为点A到B'C的距离,AE=(32) 2+(34) 2=154,故C不正确;当∠B'DC=90°时,CD⊥DB',CD⊥AD,故CD⊥平面ADB',则CD就是点C到平面ADB'的距离,则CD=12,故D正确.故选ABD.
4.已知地面上有两根相距a m的竖直的旗杆,它们的高度分别是b m和c m(b>c),则它们顶端之间的距离为 m.
答案:a2+(b-c)2
解析:如图,根据题意可知AD=b m,BC=c m,AB=a m.
由线面垂直的性质定理可得AD∥BC.过点C向AD作垂线,设垂足为E,
则在Rt△CDE中,CE=a m,DE=(b-c)m,所以CD=a2+(b-c)2(m).
5.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过点D作平面ABC的垂线DE,其中D∉PC,则DE与平面PAC的位置关系是 .
答案:平行
解析:因为DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,所以DE∥PA.
又DE⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,
所以DE∥平面PAC.
6.一条与平面α相交的线段,其长度为10 cm,两端点到平面的距离分别是2 cm,3 cm,则这条线段与平面α所成的角是 .
答案:30°
解析:如图,AB是一条与平面α相交的线段,过点A作AC⊥α,垂足为C,过点B作BD⊥α,垂足为D,则AC∥BD,AC,BD确定的平面与平面α交于CD,且CD与AB相交于点O,AB=10,AC=3,BD=2,则AO=6,BO=4,可得∠AOC=∠BOD=30°.
7.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求证:A1C⊥B1D1;
(2)若M,N分别为B1D1与C1D上的点,且MN⊥B1D1,MN⊥C1D,求证:MN∥A1C.
证明:(1)如图,连接A1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1.
因为四边形A1B1C1D1为正方形,
所以A1C1⊥B1D1.
又CC1∩A1C1=C1,
所以B1D1⊥平面A1C1C.
又A1C⊂平面A1C1C,所以A1C⊥B1D1.
(2)如图,连接AB1,AD1.
因为B1C1AD,
所以四边形ADC1B1为平行四边形,
所以C1D∥AB1.
因为MN⊥C1D,所以MN⊥AB1.
又MN⊥B1D1,AB1∩B1D1=B1,
所以MN⊥平面AB1D1.
由(1)知A1C⊥B1D1,同理可得A1C⊥AB1.
因为AB1∩B1D1=B1,
所以A1C⊥平面AB1D1.
所以MN∥A1C.