数学必修 第二册空间直线、平面的垂直第2课时巩固练习

这是一份数学必修 第二册空间直线、平面的垂直第2课时巩固练习，文件包含人教A版必修第二册高一数学下学期同步精讲精练862直线与平面垂直的性质定理第2课时精练原卷版docx、人教A版必修第二册高一数学下学期同步精讲精练862直线与平面垂直的性质定理第2课时精练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
1．已知平面，直线、，若，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为，所以由，可推出，而由推不出，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.
2．在正方体中，直线l（与直线不重合）平面，则有（ ）
A．B．C．与l异面D．与l相交
【答案】B
【详解】解：因为平面，且平面，直线l与直线不重合，所以．
故选：B.
3．在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，点E为棱PC的中点，则点E到PB的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】平面，平面，∴，是直角梯形，，，，，则，，所以，，
，平面，所以平面，又平面，所以，即到直线的距离是，是中点，所以到的距离等于到直线的距离的一半，即为．故选：B．
4．如图，是底面为正六边形的直棱柱，则下列直线与直线不垂直的是（ ）
A．AEB．C．D．
【答案】D
【详解】如图，连接，则，因为，且，所以平面，且平面平面，所以，所以，又，所以.若，则，且，则平面，显然不成立，所以不垂直于.
故选：D
5．如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为平面，平面，平面， 平面，
所以，，，又底面是边长为a的正方形，
所以，又平面，平面，
所以平面， 平面，所以，
设到平面的距离为，直线与平面所成的角，则，
所以，，所以，
所以，又，所以.故选：A.
6．已知在四棱锥中，底面于点，且，和均是边长为2的等边三角形，则底面的面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图所示，设分别为的中点，连接，
因为底面，面，所以，
又因和均是边长为2的等边三角形，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以，同理，在中，，
则，同理，，在中，因为为的中点，且，
所以为等腰直角三角形，且，同理为等腰直角三角形，且，
设，则，
则，
故，
所以底面的面积为.故选：A.
7．已知四面体的棱平面，且，其余的棱长均为2，有一束平行光线垂直于平面，若四面体绕所在直线旋转，且始终在平面的上方，则它在平面内影子面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：取的中点，连接，因为，
所以，且，又平面，
所以平面，又平面，所以，设点到的距离为，点到的距离为，点到的距离为，则，由，得，
因为，所以影子面积的最小值为.
故选：C.
8．已知菱形中，，AC与BD相交于点E，将沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，对于下面两个命题：
①存在一个位置，使为等边三角形；
②DM与BC不可能垂直，成立的是（ ）
A．①为假命题，②为真命题；B．①为真命题，②为假命题；
C．①②均为真命题；D．①②均为假命题
【答案】B
【详解】由题意知，，当四面体为正四面体时，此时为等边三角形，故①为真命题；
当三棱锥是正四面体时，设顶点在底面上的投影为，连接延长交于，如图，
由正四面体性质可知，是三角形中心，是中点，所以，又, 平面，所以平面，又平面，所以，所以②为假命题.
故选：B
二、多选题
9．如图，在直三棱柱中，，若，则D可能为（ ）
A．的中点B．AC的中点
C．的中点D．的重心
【答案】BCD
【详解】设E，F分别为AC和的中点，因为是直三棱柱，所以平面ABC，平面ABC，所以，又因为，E为AC的中点，所以，因为，平面，所以平面，而平面，则，又因为，是正方形，与正方形的对角线平行，所以，又，平面BEF，所以平面BEF，因为，所以点D在平面BEF内．故选：BCD.
10．如图，在边长为2的正方形中，点分别是的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．点在平面的投影是的内心
D．设与平面所成角分别为，则
【答案】ABD
【详解】联系翻折前后的位置关系可得，翻折后,平面,
所以平面,又因为平面,所以，故A正确；
由上述过程可知平面，且,
所以,故B正确；
因为两两互相垂直，,平面,
所以平面,又因为平面,所以，设为点在平面上的投影，
连接,则平面，平面，所以,平面，
所以平面，平面,所以,同理可证,即点为三角形高线的交点，所以点在平面的投影是的垂心，故C错误，由上述过程可知，
与平面所成角分别为，,
由上述过程可知，所以，
所以,故D正确；故选:ABD.
三、填空题
11．如图，在长方体中，，与所成的角为，则与平面所成角的正弦值为________
【答案】
【详解】因为在长方体中，，∴上下底面为正方形，
连接，则，与所成的角为，∴与所形成的角为，即，
∴为正方形，为正方体，设，则，
因为平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面，连接，则为直线与平面所成角，
由题可知中，，，∴，即与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
12．如图，已知、是球的球面上两点，，过作互相垂直的两个平面截球得到圆和圆，若，则球的表面积为______.
【答案】
【详解】取线段的中点，连接、、、，如下图所示：
由球的几何性质可知平面，平面，
因为，，则是边长为的等边三角形，
因为为的中点，则，且，同理可知，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，，同理，
因为平面，，所以，四边形为正方形，故，
所以，球的半径为，因此，球的表面积为.故答案为：.
四、解答题
13．如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动.
(1)求三棱锥的体积；
(2)证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）平面，四边形为矩形，
，.
（2）证明：平面，，
又，且点是的中点，，
又，，，平面，
又平面，，
由，，，平面，平面，
.
14．如图，在四棱锥中，是正方形，平面，， 分别是的中点．
(1)求证：；
(2)求证：平面平面．
【详解】（1）由平面，得，又(是正方形)，，所以平面，所以.
（2）由分别是线段的中点，所以，又为正方形，，所以，又平面，所以平面.因为分别是线段的中点，所以，又平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.
15．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，分别是，的中点.
(1)若，求四棱锥的体积；
(2)求证：平面.
【答案】(1)(2)证明详见解析
【详解】（1）解：∵在底面是矩形的四棱锥中，底面，，
∴；
（2）证明：∵四边形为矩形，∴，
∵底面，面，∴，
又，∴面，又，分别是，的中点，
∴，∴平面.
B能力提升
16．如图，已知三棱柱的高为2，底面ABC是边长为2的正三角形．
(1)求四棱锥的体积；
(2)若，求证：侧面为矩形．
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）三棱柱可分割成三棱锥和四棱锥两部分，
三棱柱的体积，
三棱锥的体积，
∴四棱锥的体积.
（2）
取中点，连接，，
∵是等边三角形，是边上的中线，
∴也是边上的高，即，
又∵，∴是等腰三角形，
∴是边上的中线，也是边上的高，即，
又∵，平面，平面，∴平面，
∵平面，∴，由棱柱定义知，，，
∴，四边形为平行四边形，∴侧面四边形为矩形.
17．如图，四棱锥中，，平面平面．
(1)求证：；
(2)设，点N在棱上， ，求多面体的体积．
【答案】(1)见详解(2)
【详解】（1）因为
所以为等腰三角形，为的中点，所以,
由平面平面，且平面平面=
又平面，所以平面，所以.
（2）因为所以
由，所以平面所以,
因为所以
过作的延长线交于点，连接，在过作交于点，如图所示，
则由平面，平面所以且
所以平面，所以为四面体的高
又由，所以四边形为正方形，四边形为矩形，
所以,，，所以在直角中，
所以
在中，， 所以
在中，由，所以
将，代入计算得： 所以
在直角中， ，
所以 即多面体的体积为.
C综合素养
18．如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动．
(1)求三棱锥的体积；
(2)证明：无论点在边的何处，都有．
【答案】(1)(2)证明见解析
（1）解：∵四棱锥中，底面是矩形，底面，，，点是的中点，点在边上移动，
∴到平面的距离为，，
∴三棱锥的体积；
（2）证明：∵底面，平面，∴平面平面，
∵平面平面，平面，，
∴平面，而平面，
∴，又，点是的中点，
∴，∵，∴平面，
∵无论点在边的何处，都有平面，则．
19．如图平面，是矩形，，，点是的中点，点是边上的任意一点.
(1)当是的中点时，线段上是否存在点，使得平面平面，若存在指出点位置并证明，若不存在说明理由；
(2)证明：.
【答案】(1)存在为中点使面面，理由见解析；(2)证明见解析.
(1)存在为中点，使得平面平面，理由如下：
若为中点，连接，又是的中点，是的中点，
所以，，而面，面，则面，同理可证面，
又，即面面，综上，为中点时面面.
(2)由，是的中点，故在等腰△中，
由平面，平面，则，
又是矩形，即，而且面，
所以面，面，故，
由且面，则面，
而面，故.