【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题4.5直角三角形的性质与判定（全国通用版）练习（解析版）

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专题5 直角三角形的性质与判定
知识梳理
【考点一】直角三角形的性质
1.性质1：在直角三角形中，两个锐角互余．
2.性质2：两个锐角互余的三角形是直角三角形.
3.性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
4.性质4：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
5.易错点：
混淆斜边中线定理与角平分线定理
忽略30°角所对直角边等于斜边一半的前提条件
错误应用"直角边等于斜边一半"的逆命题
【考点二】直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
判定两个直角三角形全等的方法:判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用,因此我们可以根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”(一般方法)以及上面刚学的直角三角形的判定定理这五种方法来判定两个直角三角形全等。
A
B
C
A′
B′
C′
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC≌ Rt△ A′B′C′(HL).
易错点：
HL定理中错误认定直角边（必须是一直角边一斜边）
混淆HL与SSA的区别（SSA在非直角情况下不成立）
证明过程缺少"Rt△"的直角标注
【考点三】角平分线
1.角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2.注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；
②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；
③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：
如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

3.角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上.
4.易错点：
混淆"角平分线上的点"与"点到角两边距离"的因果关系
证明时未完整写出"垂直距离"的构造过程
与线段垂直平分线性质混用
忽略外角平分线的特殊情况
【考点四】勾股定理
1. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
数学表达式：如图3.1-1 ，在Rt△ABC中，
∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，
则.
2. 勾股定理的变形公式：a²=c²-b² b²=c²-a²
3. 基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范.
4.运用勾股定理求解线段长度问题的“三步法”
(1)找直角:找出图中的直角三角形,或作辅助线构造直角三角形.
(2)定关系:找出所求线段与直角三角形三边的关系.
(3)求值:根据勾股定理计算相关线段的长度.
5.如果三角形的三条边长a,b.c满足关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,
6.易错点：
忽视勾股定理仅适用于直角三角形
使用逆定理时未验证三角形是否为直角
实际问题中漏解（如梯子滑动问题需考虑两种情况）
计算时混淆平方与开方运算顺序
【考点五】勾股定理的证明
1. 常用证法：验证勾股定理的方法很多，有测量法，有几何证明法. 但最常用的是通过拼图，利用求面积来验证，这种方法是以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据来进行验证的.
2. 著名证法举例
例题讲解
【题型一】直角三角形的性质
◇典例1：
如图，，E为的中点，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵，E为的中点，
∴和均为直角三角形，且点E是公共斜边的中点，
∴，
∴，
故选：A．
◆变式训练
1.在中，，，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：在中，，因此，
又，
将两式相加，得：，
即，
所以，
故答案为：．
2.如图，在中，是边上的中线，，．将沿所在直线翻折，点落在平面上的点处，连接，若面积为12，那么的面积为 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查折叠的性质，中线的性质以及等边三角形的性质，设，则，过点作于点，求出，，根据面积为12求出，由是中线得，证明是等边三角形，得，根据可得结论．
【详解】解：过点作于点，
设，则，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∵是边上的中线，
∴，，
∵，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
过点作于点，则，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴．
故答案为：9．
【题型二】直角三角形全等的判定
◇典例2：
如图，已知在和中，，，，如果，那么的大小为 ．

【答案】
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，由，，，根据证明，则，，所以，，所以，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
◆变式训练
1.如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：．（本题要写依据）
【详解】证明：，，（已知）
在和中，
，
，
，（全等三角形的性质）
，（已知）
，即，（线段的和差）
在和中，
，
，
，（全等三角形的性质）
．（内错角相等，两直线平行）
2.如图，已知在中，，点是内部的一点，，，垂足分别为点，且．求证：．

【详解】证明：连接，

∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【题型三】角平分线性质定理
◇典例3：
如图，已知中，是的平分线，是边上的高，与交于点F，过点D作交于点G，联结．交于点H，则下列结论中，不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，由是边上的高，，推导出，而是的平分线，，所以，可判断A不符合题意；假设一定成立，则，所以，推导出，显然与已知条件不符，所以不一定成立，可判断B符合题意；由，证明，得，可判断C不符合题意；再证明，则，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵是边上的高，，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∵，
∴，故A不符合题意；
假设一定成立，则，
∴，
∴，显然与已知条件不符，
∴不一定成立，故B符合题意；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故C不符合题意；
∵，
∴，
∴，
故D不符合题意，
故选：B．
◆变式训练
1.如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．

【答案】/
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性质可得，则可证明，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，

∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴，
故答案为；．
2.如图，已知，是的中点，平分．求证：
(1)平分；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的判定和性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质找边和角之间的关系．
（1）过点作，根据角平分线的性质可证，根据中点的定义可知，所以可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证结论成立；
（2）根据可知，根据两直线平行同旁内角互补可得，根据角平分线的定义可知，根据三角形的内角和定理可证，从而可证结论成立．
【详解】（1）证明：如下图所示，过点作，
平分，，
，
，
是的中点，
，
，
平分；
（2）证明：由可知平分，
，
又平分，
，
，
，
∴，
，
，
在中，，
．
【题型四】 角平分线性质定理的逆定理
◇典例4：
已知，点P是边上一点，且到的距离相等，则线段一定是（ ）
A．的角平分线
B．的中线
C．的高
D．所在直线是的中垂线
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质作答．
【详解】解：∵点P是边上一点，且到的距离相等，，
∴线段一定是的平分线，即线段一定是的角平分线．
故选：A．
◆变式训练
1.如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ．
【答案】/29度
【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和定理，求出的度数，证明平分，进而求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴；
∵，，，
∴平分，
∴；
故答案为：．
2.若点O到的三边的距离相等，则点O为（ ）
A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三边上高的交点
C．三角形三个内角平分线的交点D．三角形三条边的垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】此题主要考查三角形的内角的角平分线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质．
根据三角形的内角角平分线的性质即可判断．
【详解】解：到三角形三边距离相等的点应是这个三角形的三个内角的平分线的交点，
故选：C．
【题型五】判断三边能否构成直角三角形
◇典例5：
下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．
利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：∵，
∴三角形不是直角三角形，故A选项不符合题意；
∵，
∴三角形不是直角三角形，故B选项不符合题意；
∵，
∴三角形不是直角三角形，故C选项不符合题意；
∵，
∴三角形是直角三角形，故D选项符合题意；
故选：D．
◆变式训练
1.已知：如图，在中，，，点是边中点，延长至点，使得．连接，当时，求的度数．
【答案】
【分析】根据题意可得是直角三角形，，在中，由勾股定理可得，在中，可得，则是等边三角形，所以，由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：在中，，，点是边中点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，即，
∴是直角三角形，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
2.如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连结．
(1)如果 ，求证：；
(2)如果，平分求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）先根据垂直平分线的性质，再根据勾股逆定理的判定即可解决问题；
（2）先根据垂直平分线的性质得到再根据角平分线的定义可得进而求出再根据直角三角形中角所对的边式斜边的一半即可求解；
【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
（2）解：∵是的垂直平分线，
∴
∴
∵平分
∴
∴
∵
∴
∴
∴．
【题型六】以直角三角形三边为边长的图形面积
◇典例6：
如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是，，，则它们之间的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理和等边三角形的面积公式．根据等边三角形的性质，知等边三角形的面积等于其边长的平方的倍，结合勾股定理可知，以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积．
【详解】解：设直角三角形的三边从小到大是
∴
如图，过A作于H，
，
则；
同理 ，
又
则．
故选：B．
◆变式训练
1.如图所示的三角形为直角三角形，那么字母所表示的正方形面积等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出正方形的边长即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得，字母所表示的正方形的边长为，
∴字母所表示的正方形面积等于
故答案为：．
【题型七】勾股定理的应用
◇典例7：
如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子梛动位置，使其倾斜角变为．如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号）
【答案】行走的通道拓宽了米
【分析】此题主要考查勾股定理解三角形，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；也考查了含30度角直角三角形的性质，在直角三角形中，30度角所对的直角边长度为斜边的一半；根据勾股定理分别求出两次梯子距墙根的距离，求差得解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
则．
答：行走的通道拓宽了米．
◆变式训练
1.一架长的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端将向左滑动 米．

【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，在中，由勾股定理得，则，则在中，由勾股定理得，则，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴梯子底端将向左滑动米，
故答案为：．
2.《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：有一根长为10尺的竹子，中间折断后竹梢触底，如图，离开根部为3尺（），那么折断后的竹子（）的高度为 ．
【答案】4.55尺．
【分析】设AB=x，则BC=10-x，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】∵∠ABC=90°，AB+AC=10，
设AB=x，则BC=10-x，
在直角三角形ABC中，
根据勾股定理，得
，
∴，
解得x=4.55
∴折断后的竹子（）的高度为4.55尺，
故答案为：4.55尺．
【点睛】本题考查了直角三角形的勾股定理，熟练掌握定理，并灵活列式求解是解题的关键．
【题型八】用勾股定理解三角形
◇典例8：
如图：已知，在四边形中，于点，，，，，求四边形的面积．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理逆定理是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，且，再分别求和的面积即可．
【详解】解：∵，，，
∴在中，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴，
，
∴四边形的面积
◆变式训练
1.已知，如图：是等腰直角三角形，动点P在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题：
(1)如图①，若点P在线段上，且，，则：
①线段__________，__________；
②猜想：，，三者之间的数量关系为__________；
(2)如图②，若点P在的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程；
(3)若动点满足，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)见解析
(3)的值为或
【分析】（1）①在中，利用勾股定理可求得，由可求得的长；②过作于点，则可求得，把和都用和表示出来，在中，由勾股定理得到和的关系，从而可得到三者之间的数量关系；
（2）过作于点，把和都用和表示出来，在中，由勾股定理得到和的关系，从而可证得结论；
（3）分点在线段上和线段的延长线上，分别利用得到和的关系，从而可得到和的关系，在和中，利用勾股定理可分别得到和的关系，从而可求得的值．
【详解】（1）解：①∵是等腰直角三角形，，
，
，
；
②，
证明：如图1，过作于点，
∵为等腰直角三角形，，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理可得，
，
∵为等腰直角三角形，且，
，
，
故答案为：；
（2）证明：如图 2，过作于点，
∵为等腰直角三角形，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理可得，
，
∵为等腰直角三角形，且，
，
．
（3）解：过点作于点，
，
∴点只能在线段上或在线段的延长线上，
如图3，当点在线段上时，
，
，
在 中，由勾股定理可得，
在 中，由勾股定理可得，
；
如图4，当点 P 在线段 的延长线上时，
，
，
在 中，由勾股定理可得，
在 中，由勾股定理可得，
，
综上，的值为或．
2.在中，点D是边的中点，点分别在边上，且，连结．
(1)如图1，是等腰直角三角形，，求证：；
(2)如图2，是等边三角形，，求证：；
(3)如图3，，请直接写出的长度：_______（无需写出过程）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线可知，根据三线合一可知，易得，即可得到是等腰直角三角形，求出答案即可；
（2）过点D作于G，作于H，连接AD，先根据三线合一得到，再根据角平分线的性质可得，易得，进而可得到答案；
（3）如图，延长至G，使，连接，过点G作于H，先判定是的垂直平分线，再运用勾股定理解决即可；
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵点D是边BC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）证明：如图2，过点D作于G，作于H，连接AD，则，
∵是等边三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
即，
∴，
即；
（3）解：如图3，延长至G，使，连接，过点G作于H，
∵
∴是的垂直平分线，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则
由勾股定理得：，
∴，
解得：（舍），，
∴，
∴．
【题型九】直勾股定理与网格及折叠问题
◇典例9：
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的判定及性质，掌握勾股定理求出线段的长，垂直平分线的判定及性质是解题的关键．
连接，，，，，，，，结合网格的特点，根据勾股定理求出各线段的长，得到，，根据线段的垂直平分线的判定及性质即可解答．
【详解】解：连接，，，，，，，，
∵每个小正方形的边长都为1，
∴，，，，
，，，，
∴，，
∴直线是的垂直平分线，
∴和线段两个端点距离相等的点的轨迹是直线．
故选：C
◆变式训练
1.在中，，，在内部，且，分别将，向对折，使得，都与重合，折痕，分别交于点，．若，则的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的知识，解题的关键是过点作交于点，根据勾股定理，求出，再根据等腰三角形三线合一，可，设，则，由折叠可得：，，根据勾股定理，可得，解出，分类讨论；，根据勾股定理，进行计算，即可．
【详解】解：过点作交于点，
∵中，，，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
由折叠可得：，，
在中，，
∴，
解得：或，
当时，即，
∴，
∴；
当时，即，
∴，
∴；
故答案为：或．
2.我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，且点D也在格点上，那么边的长为 ．
【答案】或1
【分析】本题考查了新定义，网格与勾股定理，正确理解新定义是解题的关键．
根据直邻四边形的定义结合网格作出图形，再根据勾股定理与网格求出的长即可．
【详解】解：若，如图1所示；
则；
若，如图2所示，
则．
故答案为：或1．
【题型十】勾股定理的证明及证明线段平方关系
◇典例10：
本学期，我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的周朝，当时商高提出了“勾三股四弦五”的特例．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．目前已知的勾股定理的证明方法约有500多种．
(1)请写出勾股定理的内容_____．
(2)请写出一种勾股定理的证明方法．
【答案】(1)一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
(2)见解析
【分析】本题考查勾股定理及其证明：
（1）直接写出勾股定理即可；
（2）利用赵爽弦图进行证明即可．
【详解】（1）解：勾股定理内容为：一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；
（2）如图，大正方形由4个全等的直角三角形（直角边为，斜边为）和一个小正方形组成，则：大正方形的面积的等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，
∴，
∴．
◆变式训练
1.已知：在中，，．点、在线段上．

(1)如图1，如果，求证：．
(2)如图2，如果，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明；
（2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得．
【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F，
∵，，
∴，
∴，
∴；

（2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，
∵，
∴，
由旋转得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．

2.如图，直角三角形，直角顶点C在直线上，分别过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E．
(1)求证：；
(2)如果，
①求证：；
②若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．
【答案】(1)见解析
(2)见解析；见解析
【分析】（1）根据已知得到，，证得，，推出；
（2）证明即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到，根据四边形的面积即可推出．
【详解】（1）证明：∵三角形是直角三角形，直角顶点C在直线上，
∴，
∵过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E．
∴，
∴，，
∴；
（2）在和中
∴，
∴；
∵，
∴，
∵四边形的面积
∴，
∴．
真题在线
一、单选题
1．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵为边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴图中与互余的角是，共有4个，
故选：C．
2．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，，点E在直线上，点F、G在直线上，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余．先利用直角三角形两锐角互余求得的度数，再根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
3．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（ ）
A．B．6C．D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ．
【详解】解：∵在中，，，
．
是中点，
∴设，则．
∵，
是直角三角形，且，
，
∵，则．在中，根据勾股定理，
∴，
，
，
解得（）．
，
．
故选：．
4．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（ ）
A．3B．2C．1D．
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，得，由平移得到，根据平移对应线段相等，可知，进而得．
【详解】在中，，是中点，
∴，
∵，
∴，
∵沿方向向右平移至，
∴，
故选：B．
5．（2024·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理与折叠，直角三角形的性质，由折叠可得，，即可得到，再分别在和利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵将沿折叠，使点A落在边上的点F处，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得，利用斜边中线的性质求得，求得，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，P为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（ ）
A．B．4C．D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得；再由旋转的性质得，从而得，故可得，从而可求出结论．
【详解】解：在中，，
∴；
由旋转可知，
∴，
由旋转得：，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
8．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，等角的正弦值相等，得到，求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：∵，，
∴，
设，则：，
∵平分，，
∴点到的距离相等均为的长，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
故选：A．
二、填空题
9．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ．
【答案】1.2
【分析】本题考查了含角的直角三角形，根据含角的直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵E是斜梁的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：1.2．
10．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为 ．
【答案】/0.375
【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解．
【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
∵，垂足为F，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线．
作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可．
【详解】解：如图，作于点，
∵平分，
作点关于的对称点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
12．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到，根据平行四边形的性质，推出是的中位线，进而得到，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵点F为的中点，
∴；
故答案为：4．
三、解答题
13．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点．
(1)求证：是菱形；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）垂直平分，根据线段垂直平分线得到，即可证明其为菱形；
（2）先由等腰三角形可设，求出，由角直角三角形得到，可得为等边三角形，再由等腰三角形的性质证明，则，由勾股定理得，最后由即可求解．
【详解】（1）证明：∵为对角线上的中点，且，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形；
（2）解：如图：
∵，
∴，
设
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
14．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在中，，，点在上，过点作交于点，延长到点，使，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，进而证明得，再证明，然后由平行四边形的判定定理即可证明结论；
（2）由平行四边形的性质得，设，则，再由含角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明：，，
（等边对等角）．
，
，（两直线平行，同位角相等）．
，
（等角对等边）．
，
．
又，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
（2）解：设，
，
在中，，
（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．
（勾股定理），
，解得，（舍去），
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
15．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．
（1）当点D在线段上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，，则______．
【答案】（1）见解析；（2）图②：，图③：；（3）10或18
【分析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可；
（2）图②：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可；
图③：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可；
（3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可．
【详解】（1）证明：在边上截取，连接．
在中，．
，
．
又，
．
又，，
．
又，
．
．
．
．
，
．
是等边三角形．
，
，
；
（2）图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下：
如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶
如图所示，在上取点H使，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）如图所示，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，与矛盾，
∴不符合题意；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，，
∴，
由（2）可知，，
∵，
∴．
综上所述，或18．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
专项练习
一、单选题
1．如图，在中，，，，垂足为D，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半等知识，推导出，进而证明是解题的关键．
由，，得，，由于点D，得，则，所以，而，求得，则，即可得答案．
【详解】解：在中，，，
，，
于点，，
，
，
，
，
，
故选：D．
2．在中，，，是边上的中线，是边上的高，，．那么的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，解直角三角形，
在中，利用勾股定理求斜边，中线等于斜边一半，高利用面积法求得，点E位置通过三角函数确定，进而求，最后求周长．
【详解】解：∵，
∴
解得．
∵是边上的中线，
∴
∵是边上的高，
∴，
∴
解得．
在中，，
∴即，
解得．
∵点D是中点，，
∴．
∴.
∴的周长．
故选：A．
3．已知中，，D为上的任意一点，于E，于F，，，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和性质，利用等腰三角形底角相等的性质和角所对的直角边等于斜边一半的性质，推导与的关系，以及与的关系，从而求出的值，即可作答．
【详解】解：依题意，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴ 在中，，
在中，，
∴，
故选：C．
4．某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为（ ）
A．2.5B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可计算．
【详解】解：∵，
，
∵是的中点，
，
故选：B．
5．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D．若，则的长为（ ）
A．2B．3C．D．6
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的特征；由线段垂直平分线的性质得，由三角形外角的性质得，再由直角三角形的特征即可求解；掌握性质是解题的关键．
【详解】解：连接，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
；
故选：B．
6．如图，在中，，，平分交于点，过点作交于点，且平分，若，则的长为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，含角的直角三角形的性质和角平分线的定义等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
根据三角形的内角和定理求出，根据平行线的性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出、，推出，最后根据含角的直角三角形的性质求出即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵平分，，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴．
故选：C．
7．如图，在与中，，点D在直线上运动，则的最小值（ ）．
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，配方法处理二次函数最值问题，得到的表达式是解题的关键．
过作交于，可证，得到，再设，利用勾股定理得到，结合二次函数最值及二次根式开方即可求解．
【详解】过作交于，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
根据题意，易知在右侧时，取得最小值，设，
则，，
，
，
当时，取得最小值，最小值为．
故选：B．
8．如图，是一张顶角为的三角形纸片，，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ）
A．2B．4C．6D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查图形折叠的性质和含有角的直角三角形的特征，可求得，，，，据此即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴．
根据图形折叠的性质可知，，
∴．
∴．
∴．
故选：D
9．如图，在中，，是边上的中线．若，，则是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，由直角三角形斜边中线的性质推出等边再推出等角是解题关键．
先利用直角三角形斜边中线性质得斜边，再用勾股定理算出，接着由 推出，最后用锐角余弦函数定义得．
【详解】解：，是边上的中线，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
10．图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”，图6－1为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米，，则点C到水平线l的距离为（ ）
A．4分米B．分米C．分米D．分米
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，对顶角的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
过点C作于点M，交于点N，证明四边形是矩形，利用勾股定理，含角的直角三角形的性质，解答即可．
【详解】解：过点C作于点M，交于点N，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵分米，
∴分米，分米，
∵分米，
∴分米，
∴分米，
故选D．
二、填空题
11．如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，的长为，则点，之间的距离是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线及勾股定理，先根据勾股定理求出的长，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵公路与互相垂直，的长为，的长为，
∴，
∵点M是线段的中点，
∴．
故答案为：．
12．在中，，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质；过点B作，求出，，，分当点D在上和的延长线上两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①如图，过点B作，垂足为点D，当点D在线段上时，
∵，，
∴，
由勾股定理得，
在中，，
∴；
②如图，过点B作，垂足为点D，当点D在线段延长线上时，
同理可求，，
∴，
综上，的值为，
故答案为：．
13．如图，在中，，，的平分线交于点，若，则的长是 ．
【答案】6
【分析】本题考查含角的直角三角形，等角对等边，直角三角形两锐角互余，首先求出，然后结合角平分线得到，根据角所对直角边是斜边的一半和等角对等边得到．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：6．
14．如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，是对角线上的动点，当时， ．
【答案】
【分析】本题考查直角三角形斜边中线定理、勾股定理、等腰三角形三线合一性质．熟悉直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形三线合一性质：等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线三线合一，勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键．
连接辅助线，，根据直角三角形斜边中线定理得到是等腰三角形，过点作于点，根据等腰三角形三线合一性质得到，继而根据勾股定理得到此时的长度．
【详解】解：连接，，如图所示，
∵，是对角线的中点，
∴，，
∵，，
∴，
如图，过点作于点，
∴点是线段的中点，
∴，
∴在中，，
∴此时线段．
故答案为：．
15．如图，在中，为斜边的中点，．
（1）线段的长为 ；
（2）过点作的垂线，与相交于点，若，则边的长为 ．
【答案】
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质求解；
（2）通过延长中线，再证明四边形是矩形，接着说明垂直平分，然后用勾股定理得到关于的方程求解，再利用勾股定理求得．
【详解】（1）解：∵在中，，D为斜边的中点，，
∴​．
故答案为：；
（2）解：延长到点F，使，连接、、，如图．
∵D为斜边的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是矩形．
∴，，，．
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去）或，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的判定，斜边的中线等于斜边的一半，用勾股定理解三角形，根据矩形的性质与判定求线段长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
16．如图，已知，点…，在射线上，点…，在射线上，若，，…，依此规律作图至点，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角所对的直角边是斜边的一半等知识，探究规律，然后利用规律解决问题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
∴，
在中，
∴，
∴，
同理，，，，
在中，，
∴，
，
……
以此类推，.
故答案为：．
三、解答题
17．如图，在和中，，，相交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
（1）根据证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得，则，进而可得，再根据含30度的直角三角形的性质求出可得结论．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．如图，小明利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法如下：在路灯前选一点，使，并测得的度数，然后把竖直的竿子在的延长线上来回移动，使与互余，此时测得．（竿子与路灯垂直于地面），请根据这些数据，计算出路灯的高度．
【答案】路灯的高度为．
【分析】本题考查同角的余角相等，直角三角形的两个锐角互余，三角形全等的判定和性质．
由已知可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合同角的余角相等，可得，证明，可得，即可得路灯的高度．
【详解】解：∵竿子与路灯垂直于地面，
∴，
∴与互余，
又∵与互余，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴路灯的高度为．
19．如图，四边形中，，，E、F分别是和的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见详解；
(2)6
【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质可以证明结论成立；
（2）利用直角三角形的斜边上的中线的性质和等边三角形的判定与性质得到，，是等边三角形，可得出结论．
【详解】（1）证明：连接、，如图所示：
，，E、F分别是和的中点，
在中，在中，
，
是的中点，
；
（2）解：，，E、F分别是和的中点，
在中，
，
，
是等边三角形，
20．已知线段，以为斜边作和，连接，M、N分别是线段、的中点，连接、．
(1)如图1，和在线段的两侧．
①求证：；
②若，；请求出的度数；
(2)如图2，和在线段的同侧，若，，则的度数为 （用含α、β的代数式表示）
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质．
（1）①根据直角三角形斜边中线的性质得出，再根据等腰三角形“三线合一”即可证明；②易证，则，，即可得出，的度数，则，最后根据等腰三角形的性质即可解答；
（2）易证，则，即可得出，的度数，则，最后根据等腰三角形的性质即可解答；
【详解】（1）解：①证明：连接，
∵M是线段的中点，，
∴，
∴，
又∵N是的中点，
∴；
②解：∵M是线段的中点，，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵M是线段的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，N是的中点，
∴．
故答案为：．
21．已知，在中，，点是射线上任意一点，连接，过点作，垂足为点，交于点，过点作交的延长线于点．
(1)如图1，当点在线段上，且时，求的长；
(2)如图2，当点在的延长线上时，用等式表示线段、和的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键；
（1）证明，得出；
（2）证明得出，则可得出结论．
【详解】（1）解：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：线段、和的数量关系为，
证明：，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
方法
图形
证明
“赵爽
弦图”
因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为. 又因为大正方形的面积＝4×＋＝，所以＝
刘徽“青朱出入图”
设大正方形的面积为S，则S＝. 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝，所以＝
加菲尔德总统拼图
设梯形的面积为S，则S＝. 又因为S＝，所以＝
毕达哥拉斯拼图
由图①得大正方形的面积＝，由图②得大正方形的面积＝，比较两式易得＝