【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题4.4等腰三角形的性质与判定（全国通用版）练习（解析版）

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专题4 等腰三角形的性质与判定
知识梳理
【考点一】 等腰三角形的性质
1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰．
2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
4. 拓展：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．
【考点二】等腰三角形的判定
1.判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
2.拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
【考点三】 等边三角形及其性质
1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
3.拓展：
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
【考点四】 等边三角形的判定
1.判定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
例题讲解
【题型一】等腰三角形的定义
◇典例1：
已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为3和4，斜边长为5．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16B．18C．16或18D．14或16
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，将两个全等的直角三角形拼成等腰三角形时，有两种可能的拼接方式：沿直角边3或4拼接，形成底边为6或8的等腰三角形，两腰均为斜边5；或者沿斜边5拼接，但此时无法形成三角形．根据分析求出周长即可．
【详解】解：①沿直角边3拼接：将两个直角边3重合，形成底边为4+4=8，两腰为斜边5的等腰三角形．周长=5+5+8=18．
②沿直角边4拼接：将两个直角边4重合，形成底边为3+3=6，两腰为斜边5的等腰三角形．周长=5+5+6=16．
③沿斜边5拼接，但此时无法形成三角形．
综上，等腰三角形的周长为16或18，
故选：C．
◆变式训练
1.若方程组2x−y=6x+3y=10的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题关键是正确求解方程组．
先求出二元一次方程组的解，再根据腰的取值不同，分两种情况讨论求解，求得等腰三角形的周长．
【详解】解：方程组2x−y=6x+3y=10，解得：x=4y=2，
∵方程组2x−y=6x+3y=10的解恰为等腰三角形的两边长，
∴当腰长为2时，
三边长为2，2，4，2+2=4，不能构成三角形；
当腰长为4时，
三边长为4，4，2，4+2=6>4，能构成三角形，
此时等腰三角形的周长为4+4+2=10，
故答案为：10．
2.已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a−b−cb−a=0，则△ABC的形状是 ．
【答案】等腰三角形
【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将a−b−cb−a=0变形为a−b1+c=0，根据三角形的边长为正数，得出a−b=0，即可得出a=b，可得答案．
【详解】解：∵ a−b−cb−a=0，
∴a−b+ca−b=0，
∴a−b1+c=0，
∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴1+c>0，
∴a−b=0，
∴a=b，
∴ △ABC的形状为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【题型二】等边对等角
◇典例2：
如图，点E, F在BC上，BE=CF, ∠BED=∠AFC, ∠B=∠C．
(1)求证：△ABF ≌ △DCE；
(2)若∠AFB=42°, ∠D=58°, AB=AE，求∠AED的度数．
【答案】(1)见解析
(2)58°
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边对等角等知识．
（1）利用AAS证明三角形全等即可．
（2）由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出∠DEC=∠AFB=42°，∠B=∠C=80°，再根据等边对等角得出∠AEB=∠B=80°，最后根据平角的定义求解即可．
【详解】（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE．
∵∠BED=∠AFC，∠BED=∠C+∠D，∠AFC=∠B+∠BAF，∠B=∠C，
∴∠BAF=∠D，
∴△ABF≌△DCEAAS．
（2）解：∵△ABF≌△DCE，
∴∠DEC=∠AFB=42°，
又∠D=58°，
∴∠B=∠C=180°−∠D−∠DEC=80°
又∵AB=AE，
∴∠AEB=∠B=80°，
∴∠AED=180°−∠AEB−∠DEC=58°．
◆变式训练
1.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转42°得到△ADE，点C恰好落在DE上，则∠BCD的度数为 ．
【答案】42°/42度
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据旋转的性质可得∠CAE=42°，AC=AE，∠ACB=∠E，再根据等腰三角形的性质可得∠ACE=∠E，由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：由旋转得∠CAE=42°，AC=AE，∠ACB=∠E，
∴ ∠ACE=∠E=12180°−∠CAE=12×180°−42°=69°，
∴ ∠ACB=∠E=69°，
∴ ∠BCD=180°−∠ACB−∠ACE=180°−69°−69°=42°，
故答案为：42°．
2.如图，钢架中，∠A=α，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…来加固钢架．若P1A=P1P2，且恰好用了4根钢条，则α的取值范围是 ．

【答案】18°≤α