专题4 图形的性质 -第05讲直角三角形-练习题-2026年中考数学一轮复习（含答案+解析）

这是一份专题4 图形的性质 -第05讲直角三角形-练习题-2026年中考数学一轮复习（含答案+解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.图中直角三角形的个数有( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
2.如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A=60∘,∠C=90∘,AC=2km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于( )
A. 2kmB. 3kmC. 2 3kmD. 4km
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE= 3，则AC的长是( )
A. 4 3B. 6C. 2 3D. 3
5.在Rt△ABC中，∠B=50°，CD平分∠ACB，则∠1等于( )
A. 10°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
6.如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是( )
A. 3B. 6C. 3D. 3 3
7.如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，点D在AB的延长线上，且CD=AB，则BD的长是( )
A. 10− 2B. 6− 2C. 2 2−2D. 2 2− 6
8.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为边BC上的中线，若∠CAD=20°，则∠B的度数为( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
9.已知△ABC的内角分别为∠A，∠B，∠C，下列不能判定△ABC是直角三角形的条件是( )
A. ∠A=2∠B=3∠CB. ∠A=12∠B=13∠C
C. ∠A+∠B=∠CD. ∠A:∠B:∠C=3:4:7
10.如图，在▵ABC中，∠A=45∘，∠B=30∘，CD⊥AB，垂足为D，CD=3，则AB的长为( )
A. 3+1B. 3 3+3C. 6D. 6 3
11.如图，在Rt△ABC中，∠A=35∘，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E.若AB=2，则DE的长为( )
A. 19πB. 29πC. 1136πD. 718π
12.将一个含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若∠1=40°，则∠2的度数是( )
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
13.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点P，则cs∠APC的值为( )
A. 35B. 25 5C. 25D. 15 5
14.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为( )
A. 18
B. 9 2
C. 9
D. 6 2
15.如图，AB//CD，AE交CD于点C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为 ( )
A. 17°B. 34°C. 56°D. 124°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
16.如图，Rt▵ABC中，∠ABC=90 ∘，BD⊥AC于D，则图中共有 个直角三角形．
17.在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 度．
18.如图所示的是某超市入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°，当双翼收起时，则点C与点D之间的距离为_________cm．
19.如图，在△ABC中，AB=6，∠BAC=30°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．
20.如图，点A，D在BC同侧，AB=BC=CA=2，BD=CD= 2，则AD= ．
21.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8.若点D在直线AB上(不与点A、B重合)，且∠BCD=30°，则AD的长为 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，且∠CAD=∠CBD.求证：△ABD是直角三角形．
23.(本小题8分)
用一副直角三角板按图(1)的位置摆放，抽象成如图(2)的示意图，已知DC=6cm，求四边形ABCD的面积(结果保留根号)．
24.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=2∠C.请用尺规作图的方法在BC边上求作一点D，连接AD，使得△ABD是等边三角形.(保留作图痕迹，不写作法)
25.(本小题8分)
综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD=6m ，∠DCE=30 ∘ ，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
(1)求DE 的长；
(2)求塔AB的高度．(tan27 ∘取0.5， 3取1.7，结果取整数)
26.(本小题8分)
如图，∠ACB=90°，AC=BC，AB为水平边，D为AB边上一点．
(1)只用圆规在B的正上方作一点E，使BE=AD(说明作法，不需要证明)；
(2)在(1)的条件下，连接DE，若AB=8，AD=3，求DE的长度．
27.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=8，tanA=34，CD是中线，作BE⊥CD，交边AC于点E．
(1)求CE的长;
(2)求∠EBA的正切值．
28.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，AB=AC,∠BAC为锐角，作AD⊥AB交BC的延长线于点D．
(1)若∠D=20 ∘，则∠BAC的度数为 ．
(2)求证：∠BAC=2∠D．
(3)已知∠D=22.5 ∘,AC= 2，求BC2的值．
29.(本小题8分)
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE//AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
(1)求∠F的度数；
(2)若CD=2，求DF的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：△ADE、△ABE、△AEF、△AEC是直角三角形，共有4个直角三角形，
故选：C．
有一个角是90度的三角形叫直角三角形，由此即可得到答案．
本题考查直角三角形，关键是掌握直角三角形的定义．
2.【答案】D
【解析】解直角三角形，已知一条直角边和一个锐角，求斜边的长．
【详解】∵∠A=60∘,∠C=90∘,AC=2km
∴csA=ACAB，cs60∘=12
∴AB=ACcsA=212=4km．
故选D．
3.【答案】A
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵E是AB的中点，AB=4，
∴CE=BE=12AB=12×4=2，
∴△BCE为等边三角形，
∵CD⊥AB，
∴DE=BD=12BE=12×2=1，
故选：A．
利用三角形的内角和定理可得∠B=60°，由直角三角形斜边的中线性质定理可得CE=BE=2，利用等边三角形的性质可得结果．
本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握定理是解答此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120∘，
∴∠C=180∘−120∘2=30∘．
∵D是AC中点，
∴设AC=2x，则CD=x．
∵ED⊥AC，
∴△EDC是直角三角形，且∠C=30∘，
∴EC=2DE，
∵DE= 3，则EC=2 3．
在Rt△EDC中，根据勾股定理EC2=DE2+CD2，
∴(2 3)2=( 3)2+x2，12=3+x2，x2=9，
解得x=3(x>0)．
∴AC=2x=6
故选：B．
5.【答案】B
【解析】解：∵∠A=90°，∠B=50°，
∴∠ACB=90°−∠B=40°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠1=12∠ACB=12×40°=20°．
故选：B．
先根据直角三角形两锐角互余求出∠ACB的度数，再利用角平分线的性质求出∠1的度数．
本题主要考查的是直角三角形的性质，熟知在直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵点D是Rt△ABC斜边AC的中点，AC=6，
∴BD=CD=AD=12AC=3，
∵∠BDC=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BC=BD=3．
故选：A．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BD=CD=AD=3，再根据∠BDC=60°得△BCD为等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得出BC的长．
此题主要考查了等边三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
7.【答案】B
【解析】解析：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
∵AC=BC=2，∠ACB=90°，CH⊥AB，
∴AB=2 2，AH=BH=CH= 2．
∵CD=AB=2 2，∴DH= CD2−CH2= 8−2= 6，
∴DB= 6− 2.故选B．
8.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，
∴∠CAD=∠BAD=12∠CAB，∠B=∠C，
∴∠CAB=40°，
∴∠B=180°−∠CAB2=70°，
故选：D．
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】B
12.【答案】C
【解析】解：如图所示，∠B=90°，
根据题意，∠1=∠BED=40°(对顶角相等)，
在△BDE中，∠BDE=90°−∠BED=90°−40°=50°，
∴∠2=∠BDE=50°，
所以∠2的度数是50°，
故选：C．
根据题意，∠1=∠BED=40°，△BDE中，∠BDE=90°−40°=50°，根据对顶角相等即可求解．
本题考查了直角三角形的性质，对顶角、邻补角，理解图示，掌握角的和差计算是解题的关键．
13.【答案】B
14.【答案】C
【解析】解：如图，连接AD，
∵∠BAC=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，
∴AD=BD=CD，∠BAD=∠C=45°，S△ABC=12×6×6=18，
在△ADE和△CDF中，
AD=CD∠BAD=∠CAE=CF ，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴S△ADE=S△CDF，
∴四边形AEDF的面积=S△ADC=12S△ABC=9，
故选：C．
由等腰直角三角形的性质可得AD=BD=CD，∠BAD=∠C=45°，S△ABC=12×6×6=18，由“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得S△ADE=S△CDF，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
15.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理，熟记平行线的性质是解题的关键．
根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠A，再根据三角形内角和定理即可求得∠D的度数．
【解答】
解：∵AB/​/CD，
∴∠DCE=∠A=34°(两直线平行，同位角相等)，
∴∠D=180°−∠DEC−∠DCE=180°−90°−34°=56°．
16.【答案】3
【解析】此题考查直角三角形的性质，解题关键在于掌握判定定理．
根据直角三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：∵BD⊥AC，
∴∠ADB=∠CDB=90 ∘，
又∵∠ABC=90 ∘，
∴直角三角形有▵ABC,▵ADB,▵CDB，共3个直角三角形．
故答案为：3．
17.【答案】60或10
【解析】【分析】
本题考查三角形的内角和定理和直角三角形的性质，解决本题的关键是分情况讨论△ACD中哪个角是90∘，不要漏解．
【解答】
在△ABC中，∠A=50∘，∠B=30∘，
∴∠ACB=180∘−∠A−∠B=180∘−50∘−30∘=100∘
∵△ACD是直角三角形
当∠ACD=90∘时，∠BCD=∠ACB−∠ACD=100∘−90∘=10∘，
当∠ADC=90∘时，∠BCD=90∘−∠B=90∘−30∘=60∘，
综上，∠BCD=60∘或10∘
18.【答案】64
【解析】解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，如图②，
∵AC=BD=54cm，∠PCA=∠BDQ=30°，
∴AE=12AC=27cm，
由对称性可知：BF=AE，
∴点C与点D之间的距离为2AE+AB=54+10=64cm，
故答案为：64．
19.【答案】3
【解析】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．

由条件可知M′H=M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离(垂线段最短)，
由条件可知BH=12AB=3.
∴BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=3，
故答案为：3．
作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是轴对称—最短路线问题，直角三角形的性质，角平分线的性质，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
20.【答案】 3−1
21.【答案】6或12
22.【答案】证明：在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD. 又∵∠CAD=∠CBD，∴∠ABD=∠CAD.∴∠BAD+∠ABD=90°.∴△ABD是直角三角形．
23.【答案】(27+18 3)cm2．
【解析】∵DC=6cm，∠DBC=30°，∠BDC=90°，
∴BC=2DC=2×6=12(cm)，
在Rt△BDC中利用勾股定理，得BD= BC2−DC2= 122−62=6 3，
∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD(设为x cm)，
在Rt△ABD中利用勾股定理，得AB2+AD2=BD2，即2x2=(6 3)2，
解得x1=3 6，x2=−3 6(舍去)，
∴AB=AD=3 6cm，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=12AB⋅AD+12BD⋅DC=12×3 6×3 6+12×6 3×6=(27+18 3)(cm2).
根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”求出BC，在Rt△BDC中利用勾股定理求出BD，根据等腰三角形的判定与性质、在Rt△ABD中利用勾股定理求出AB、AD，再利用三角形面积公式，根据四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BDC的面积计算即可．
本题考查三角形的面积、含30度角的直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形，掌握“在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形面积计算公式是解题的关键．
【解析】解：∵∠A=90°，∠B=2∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴90°+2∠C+∠C=180°，
解得：∠C=30°，∠B=2∠C=60°，
若△ABD是等边三角形，则只需BD=BA，
∴作图方法为：以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于D点，再连接AD．
如图：
根据等边三角形的判定解题即可．
本题考查了尺规作图、等边三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
25.【答案】【小题1】
解：在Rt▵DCE 中，∠DCE=30 ∘,CD=6 ，
∴DE=12CD=3 ．
即DE 的长为3m ．
【小题2】
设AB=h，
在Rt▵DCE中，cs∠DCE=ECCD，
∴EC=CD⋅cs∠DCE=6×cs30 ∘=3 3．
在Rt▵BCA中，由tan∠BCA=ABCA，AB=h，∠BCA=45 ∘，
则CA=ABtan45 ∘=h．
∴EA=CA+EC=h+3 3．
即EA的长为h+3 3m．
如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F．

根据题意，∠AED=∠FAE=∠DFA=90 ∘，
∴四边形DEAF是矩形．
∴DF=EA=h+3 3m，FA=DE=3m．
可得BF=AB−FA=h−3m．
在Rt▵BDF中，tan∠BDF=BFDF，∠BDF=27 ∘，
∴BF=DF⋅tan∠BDF.即h−3=h+3 3⋅tan27 ∘．
∴h=3+3 3×tan27 ∘1−tan27 ∘≈3+3×1.7×0.51−0.5≈11m．
答：塔AB的高度约为11m．

【解析】1. 根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；
2.
设AB=h，分别在Rt▵DCE和Rt▵BCA中，利用锐角三角函数定义求得EC=3 3，CA=h，过点D作DF⊥AB，垂足为F.可证明四边形DEAF是矩形，得到DF=EA=h+3 3m，FA=DE=3m.在Rt▵BDF中，利用锐角三角函数定义得到BF=DF⋅tan∠BDF，然后求解即可．
26.【答案】如图，点E即为所求； 34
【解析】解：(1)如图，点E即为所求；
(2)如图，连接BE，CE，DE，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠A=∠CBA=45°．
由作图可得：AD=BE，CD=CE，
又∵AC=BC，
∴△ACD≌△BCE(SSS)．
∴∠CBE=∠A=45°，AD=BE=3．
∴∠DBE=90°．
∵BD=AB−AD=8−3=5，
∴若AB=8，AD=3，则DE= BD2+BE2= 52+32= 34．
(1)分别以B，C为圆心，AD，CD为半径作弧，两弧交于点E，点E即为所求．
(2)利用勾股定理求出AB，再利用勾股定理求出DE即可．
本题考查作图——基本作图，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握五种基本作图．
27.【答案】【小题1】
解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是中线，
∴CD=BD=AD，∴∠BCD=∠CBD．
可得∠CBE=∠A.
∴tanA=tan∠CBE=34
∵Rt△ABC中，AC=8，tanA=34，
∴BC=6，AB=10，
∴CE=92．
【小题2】
由(1)可得AE=72．
过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
在Rt△AEF中，∠AFE=90∘，AE=72，tanA=34，
∴EF=2110，AF=145．
∴BF=365，
∴tan∠EBA=724．

【解析】1. 略
2. 略
28.【答案】【小题1】
40°
【小题2】
证明：设∠D=x，
∵AD⊥AB，
∴∠ABD=90 ∘−∠D=90 ∘−x，
又∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=90 ∘−x，
∴∠BAC=180 ∘−∠ABC−∠ACB=180 ∘−90 ∘−x−90 ∘−x=2x，
∴∠BAC=2∠D；
【小题3】
解：如图所示，过C作CE⊥AB于E，
∵∠D=22.5 ∘，
∴由(2)得∠BAC=2∠D=45 ∘，
∴▵AEC为等腰直角三角形，
∴AE=CE，
∴AC= AE2+CE2= 2AE，
又∵AC= 2，
∴AE=EC=1，
又∵AB=AC= 2，
∴BE= 2−1，
∴BC2=BE2+CE2= 2−12+12=4−2 2．

【解析】1.
本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
根据题意求出∠ABD的度数，再根据AB=AC，得出∠ACB=∠B=70 ∘即可求出；
解：∵AD⊥AB,∠D=20 ∘，
∴∠ABD=90 ∘−∠D=90 ∘−20 ∘=70 ∘，
又∵AB=AC ，
∴∠ACB=∠ABD=70 ∘，
∴∠BAC=180 ∘−∠ABC−∠ACB=180 ∘−70 ∘−70 ∘=40 ∘；
2.
设∠D=x，根据题意表示出∠ABD的度数，再根据AB=AC，表示出∠ACB，即可求出；
3.
过C作CE⊥AB于E，可证明▵AEC为等腰直角三角形，则可求出AE=EC=1和BE= 2−1，再利用勾股定理计算即可．
29.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°−∠EDC=30°；
(2)∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形，
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
【解析】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
(1)根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
(2)易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．