【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题5.5 正方形的性质与判定（全国通用版）练习（原卷版）

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专题5 正方形的性质与判定
知识梳理
【考点一】正方形的定义及性质
1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
【注意】
（1）正方形必须具备三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角.这三个条件缺一不可.
（2）正方形的四条边都相等，说明正方形时特殊的菱形；正方形的各个角都是直角，说明正方形时特殊的矩形.即正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形.
2.正方形的性质
正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质.
【注意】
（1）矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图所示.
（2）正方形的面积=边长的平方=两条对角线长乘积的一半.
（3）正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形，因此，在正方形中解决问题时常用到等腰三角形和直角三角形的性质.
【考点二】正方形的判定
1.先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形.
2.先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形.
【注意】
由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行四边形，再判定该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形.
【考点三】中点四边形
1. 定义：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH就是中点四边形．
2. 常见的中点四边形形状归纳
【考点四】菱形、矩形、正方形与平行四边形的关系
正方形既是菱形，又是矩形．
菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且都是特殊的平行四边形．常见关系使用举例：
【易错点辨析】
1.性质混淆：误将正方形的对角线性质单独归为矩形或菱形，忽略 “既相等又垂直” 的双重特征；
2.判定定理误用：
用 “对角线相等且垂直的四边形是正方形”（缺少 “平行四边形” 前提，错误，反例：筝形对角线垂直但不一定相等，等腰梯形对角线相等但不垂直）；
用 “有一个角是直角或一组邻边相等的平行四边形是正方形”（需同时满足，而非 “或”）；
3.对称性误区：认为正方形只有 2 条对称轴，或漏算对角线所在的对称轴；
4.面积 / 对角线计算错误：已知对角线求面积时忘记除以 2，或已知边长求对角线时漏乘2​；
5.与矩形、菱形混淆：忽略 “正方形是特殊的矩形和菱形”，判定时额外添加无关条件（如 “有一个角是直角且对角线相等的菱形是正方形”，对角线相等为多余条件）。
例题讲解
【题型一】利用正方形的性质求角度
◇典例1：
如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AFE的度数为（ ）
A．100°B．125°C．105°D．95°
◆变式训练
1.如图，在正方形ABCD中，BE=1，EF=2，DF=3，则∠BAE+∠DCF为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
2.如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【题型二】利用正方形的性质求线段长度
◇典例2：
如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE:PF=1:2时，则PC=（ ）
A．3B．2C．5D．52
◆变式训练
1.如图，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．则GH的长为（ ）
A．4B．5C．3D．4.5
2.如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME，DE交AB于点F，G，若点M是BC边的中点，则AF长（ ）
A．34B．43C．53D．65
【题型三】利用正方形的性质求面积、周长
◇典例3：
如图，面积为1的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形HEFG的面积是（ ）
A．1B．12C．22D．14
◆变式训练
1.如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=6,HG=2，则四边形ABDF的面积是（ ）
A．20B．40C．64D．16
2.如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，O1，O2是其中左侧两个正方形的对角线交点，同时O1，O2也是右侧两个正方形的顶点，则阴影部分的面积是 ．
【题型四】利求正方形在平面直角坐标系中的坐标
◇典例4：
已知正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B4,0，则点A的坐标为（ ）
A．−2,2B．2,−2C．−22,22D．22,−22
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形OA2025B2025C2025，如果点A的坐标为A1,0，那么点B2025的坐标为（ ）
A．2,2B．0,2C．1,1D．−1,1
2.在平面直角坐标系中，放置了一个面积为5的正方形，如图所示，点D在y轴上，且坐标是0,2，点A在x轴上，则点B的坐标为 ．
【题型五】正方形的判定证明
◇典例5：
如图，已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD四边的中点，当对角线AC、BD满足条件 时，四边形EFGH是正方形．
◆变式训练
1.已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点，设AB:AD=a．
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)当a为何值时，四边形MENF是正方形？
2.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE=AF，DE⊥AF于点G．求证：四边形ABCD是正方形．
【题型六】正方形的性质与判定综合
◇典例6：
如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上两点，BE交AF于点G，且DE=CF．
(1)判断BE与AF之间的数量关系与位置关系，并说明理由：
(2)当点E是AD的中点时，连接GD，求∠DGF的度数．
◆变式训练
1.如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.
(1)求证：CE=CF；
(2)在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
(3)运用12解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BCBC>AD，∠B=90∘，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．
2.如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系中，点B与原点重合，点A,C分别在y轴和x轴上，顶点D(a,b)的坐标a,b满足a−4+(b−4)2=0．
(1)求证：四边形ABCD为正方形；
(2)若点E为线段BC边上的动点，连接AE，过E点作EF⊥AE，且AE=EF，连接CF,∠DCF的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由；
(3)连接AF，当AF=8时，直接写出BE的长．
【题型七】求正方形形中最值问题
◇典例7：
如图，正三角形ABC与正方形CDEF中，B、C、D三点共线，且AC=5，CF=4．若有一动点P沿着CA由C往A移动，则FP的长度最小是（ ）
A．2B．52C．23D．523
◆变式训练
1.如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点.连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF．当GF最小是（ ）
A．55−5B．55−10C．55D．5
2.如图，正方形ABCD的面积为S，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
【题型八】正方形中“十字架”模型
◇典例8：
【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：
如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？
（1）直接判断：AE______BF（填“=”或“≠”）；
在“问题情境”的基础上，继续探索：
【问题探究】：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论：
【问题拓展】：
（3）如图3，将边长为40cm的正方形ABCD折叠，使得点D落在BC上的点E处．若折痕FG的长为41cm，则CE=______cm．
◆变式训练
1.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，AE与BF交于点P．

(1)【特例感知】如图（a），若四边形ABCD是正方形，当∠APB=∠D时，则线段AE与BF的数量关系是
(2)【深入探究】如图（b），若四边形ABCD是菱形，且∠APB=∠D，则线段AE与BF满足怎样的数量关系？请证明你的猜想；
关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题．
(3)【类比迁移】如图（c），若四边形ABCD是菱形，E为BC的中点，∠APB=∠C=60°，请求出AEBF的值；
2.（1）如图1，点E、F分别在边BC、CD上，AE⊥BF．求证：AE=BF．
（2）如图2，点E、F、G、H分别在边BC、CD、AD、AB上，GE⊥HF，求证：GE=HF．
（3）如图3，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，若正方形ABCD的边长为5，△AOB与四边形OECF的面积之和与正方形ABCD的面积之比为1:5，求△AOB的周长．
【题型九】正方形中“对角互补”模型
◇典例9：
阅读材料，解决问题
在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”．
(1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
(2)性质探究：已知四边形ABCD是“等补四边形”，AB=AD，∠B+∠D=180°，如图1，连接AC，试探究AC是否平分∠BCD，并说明理由．
(3)应用拓展：在“等补四边形”ABCD中，AB=AD=2，∠B=90°，∠BCD=120°，如图2，求AC的长．
◆变式训练
1.【课本再现】
（1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边A1O与边AB相交于点E，边C1O与边CB相交于点F．在实验与探究中，小新发现无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，AE，CF，EF之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明△AOE≌△BOF（无需证明）即可推导出来．连结EF，则AE，CF，EF之间的数量关系是________．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连结EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并进行证明．
【拓展应用】
（3）如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE=4时，请直接写出线段CF的长度．

2.问题解决：
如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB,BC边上，DE=AF，且DE与AF相交于点G．
（1）DE与AF的位置关系为 ；
（2）延长CB到点H，使得BH=AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：
（3）如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB,BC边上，DE与AF相交于点G，DE=AF，∠AED=60°，AE=7，BF=2，求DE的长．
真题在线
一、单选题
1．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ）
A．10B．8C．5D．4
3．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（ ）
A．1B．2C．5D．10
5．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点G是上的一点，且，于点E，，且交于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ）
A．B．2C．D．
8．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（ ）
A．6B．6C．3D．4
二、填空题
9．（2025·江苏南京·中考真题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为 ．
10．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ．
11．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则 ．
12．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为 ．
三、解答题
13．（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
14．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点．
(1)求证：．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明）
(2)求证：．
(3)若，直接写出的值（用含的式子表示）．
15．（2024·内蒙古·中考真题）已知正方形，是对角线上一点．

(1)如图1，连接，．求证：；
(2)如图2，是延长线上一点，交于点，．判断的形状并说明理由；
(3)在第（2）题的条件下，．求的值．
专项练习
一、单选题
1．如图，由边长相同的9个小正方形组成的图形，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．若四边形的对角线互相垂直平分且相等，则它一定是（ ）．
A．菱形B．正方形C．等腰梯形D．以上说法均不正确
3．如图，在中，，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在矩形中，平分，平分，与交于点．点是矩形外一点，连接，，，添加下列条件后，可判定四边形为正方形的是（ ）
A．，B．，
C．D．，
5．如图，在正方形中，对角线与相交于点，E为上一点，为的中点．若2，，则正方形边长为（ ）
A．2B．3C．6D．2
6．如图，四边形和四边形均为正方形，且点、分别在边、上，，．连接并延长，交边于点，则的长为（ ）
A．B．3C．4D．
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点是边上的一点，坐标为，将沿折叠，点落在点处．若的延长线交于，且，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在正方形中，以对角线为一边向右侧作菱形，点E在的延长线上，连接交于点G，则的值为（ ）
A．B．2C．D．1
10．如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分；④．其中正确的结论有（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①③④
二、填空题
11．如图，正方形的对角线，相交于点，，．若，则点到边的距离为 ．
12．如图，四边形是正方形，将绕点A顺时针旋转得，连接，则的角度为 ．
13．如图，在正方形中，点在边上，连接，取的中点，连接，若，，则的长为 ．
14．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（、、、）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则的值为 ．
15．如图，在正方形中，为对角线，点、分别为边和上的点，且，连接，过点作交于点，点为边上的点，连接，若，，则的度数为 ．
16．如图，在边长为的正方形中，若分别是边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为 ．
三、解答题
17．如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形．
18．如图，，，平分，平分，，，.
(1)求证：四边形是正方形．
(2)连接，若，求线段的长度．
19．如图，，，，分别是正方形四条边上的点，且．
(1)求证：四边形是正方形．
(2)若，，求四边形的周长．
20．在学校成长课程活动中，同学们将对学校“空中花园”中一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点E，F处是花园的两个门，在边上，在边上，且，要修建两条直路与相交于点（两个门E，F的大小忽略不计）．
(1)请问这两条路有什么数量关系和位置关系？请说明理由；
(2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形上再修条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在直路上，请问能否修建成这样的直路？请说明理由．
21．【问题呈现】已知正方形中，点F为对角线上一点，点E在的延长线上，连接．
（1）如图1，连接，若，求的最小值；
【类比探究】
（2）如图2，在正方形中，点F为对角线上一点，点G在边上，，若，，求四边形的面积；
【拓展运用】
（3）如图3，将绕点F逆时针旋转得到，连接交于点H，试探索、满足怎样的数量关系时，点H恰为的中点；
元素
性质
边
对边平行，四条边都相等
角
四个角都是直角
对角线
两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
对称性
中心对称图形：对称中心为对角线交点 O；
轴对称图形：有 4 条对称轴（2 条为对边中点连线，2 条为对角线所在直线，区别于矩形、菱形的 2 条对称轴）。
原四边形
中点四边形
任意四边形（包括平行四边形）
平行四边形
两条对角线相等的四边形（包括矩形和等腰梯形)
菱形
两条对角线互相垂直的四边形（包括菱形）
矩形
两条对角线相等且互相垂直的四边形（包括正方形）
正方形
思路一
思路二
如图，在BC边上取一点M使AM=AB,……
如图，在CB的延长线上取一点N，使AN=AE，……