【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题4.5直角三角形的性质与判定（全国通用版）练习（原卷版）

这是一份【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题4.5直角三角形的性质与判定（全国通用版）练习（原卷版），文件包含《珠峰脚下乐声扬》课件pptx、《珠峰脚下乐声扬》教案doc、亚吉查姆mp4、比汪介绍mp4、珠穆朗玛峰介绍mp4、金刚山岩上的雄鹰多吉扎啦mp3、阿里拉姆mp3、青藏高原歌曲mp3、青藏高原歌曲视频mp4、鹰笛介绍mp4等10份课件配套教学资源，其中PPT共25页， 欢迎下载使用。
专题5 直角三角形的性质与判定
知识梳理
【考点一】直角三角形的性质
1.性质1：在直角三角形中，两个锐角互余．
2.性质2：两个锐角互余的三角形是直角三角形.
3.性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
4.性质4：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
5.易错点：
混淆斜边中线定理与角平分线定理
忽略30°角所对直角边等于斜边一半的前提条件
错误应用"直角边等于斜边一半"的逆命题
【考点二】直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
判定两个直角三角形全等的方法:判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用,因此我们可以根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”(一般方法)以及上面刚学的直角三角形的判定定理这五种方法来判定两个直角三角形全等。
A
B
C
A′
B′
C′
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC≌ Rt△ A′B′C′(HL).
易错点：
HL定理中错误认定直角边（必须是一直角边一斜边）
混淆HL与SSA的区别（SSA在非直角情况下不成立）
证明过程缺少"Rt△"的直角标注
【考点三】角平分线
1.角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2.注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；
②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；
③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：
如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

3.角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上.
4.易错点：
混淆"角平分线上的点"与"点到角两边距离"的因果关系
证明时未完整写出"垂直距离"的构造过程
与线段垂直平分线性质混用
忽略外角平分线的特殊情况
【考点四】勾股定理
1. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
数学表达式：如图3.1-1 ，在Rt△ABC中，
∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，
则.
2. 勾股定理的变形公式：a²=c²-b² b²=c²-a²
3. 基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范.
4.运用勾股定理求解线段长度问题的“三步法”
(1)找直角:找出图中的直角三角形,或作辅助线构造直角三角形.
(2)定关系:找出所求线段与直角三角形三边的关系.
(3)求值:根据勾股定理计算相关线段的长度.
5.如果三角形的三条边长a,b.c满足关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,
6.易错点：
忽视勾股定理仅适用于直角三角形
使用逆定理时未验证三角形是否为直角
实际问题中漏解（如梯子滑动问题需考虑两种情况）
计算时混淆平方与开方运算顺序
【考点五】勾股定理的证明
1. 常用证法：验证勾股定理的方法很多，有测量法，有几何证明法. 但最常用的是通过拼图，利用求面积来验证，这种方法是以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据来进行验证的.
2. 著名证法举例
例题讲解
【题型一】直角三角形的性质
◇典例1：
如图，，E为的中点，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
◆变式训练
1.在中，，，则的度数为 ．
2.如图，在中，是边上的中线，，．将沿所在直线翻折，点落在平面上的点处，连接，若面积为12，那么的面积为 ．
【题型二】直角三角形全等的判定
◇典例2：
如图，已知在和中，，，，如果，那么的大小为 ．

◆变式训练
1.如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：．（本题要写依据）
2.如图，已知在中，，点是内部的一点，，，垂足分别为点，且．求证：．

【题型三】角平分线性质定理
◇典例3：
如图，已知中，是的平分线，是边上的高，与交于点F，过点D作交于点G，联结．交于点H，则下列结论中，不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．

2.如图，已知，是的中点，平分．求证：
(1)平分；
(2)．
【题型四】 角平分线性质定理的逆定理
◇典例4：
已知，点P是边上一点，且到的距离相等，则线段一定是（ ）
A．的角平分线
B．的中线
C．的高
D．所在直线是的中垂线
◆变式训练
1.如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ．
2.若点O到的三边的距离相等，则点O为（ ）
A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三边上高的交点
C．三角形三个内角平分线的交点D．三角形三条边的垂直平分线的交点
【题型五】判断三边能否构成直角三角形
◇典例5：
下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
◆变式训练
1.已知：如图，在中，，，点是边中点，延长至点，使得．连接，当时，求的度数．
2.如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连结．
(1)如果 ，求证：；
(2)如果，平分求的长．
【题型六】以直角三角形三边为边长的图形面积
◇典例6：
如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是，，，则它们之间的关系是（ ）
A．B．C．D．
◆变式训练
1.如图所示的三角形为直角三角形，那么字母所表示的正方形面积等于 ．
【题型七】勾股定理的应用
◇典例7：
如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子梛动位置，使其倾斜角变为．如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号）
◆变式训练
1.一架长的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端将向左滑动 米．

2.《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：有一根长为10尺的竹子，中间折断后竹梢触底，如图，离开根部为3尺（），那么折断后的竹子（）的高度为 ．
【题型八】用勾股定理解三角形
◇典例8：
如图：已知，在四边形中，于点，，，，，求四边形的面积．
◆变式训练
1.已知，如图：是等腰直角三角形，动点P在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题：
(1)如图①，若点P在线段上，且，，则：
①线段__________，__________；
②猜想：，，三者之间的数量关系为__________；
(2)如图②，若点P在的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程；
(3)若动点满足，求的值．
2.在中，点D是边的中点，点分别在边上，且，连结．
(1)如图1，是等腰直角三角形，，求证：；
(2)如图2，是等边三角形，，求证：；
(3)如图3，，请直接写出的长度：_______（无需写出过程）．
【题型九】直勾股定理与网格及折叠问题
◇典例9：
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
◆变式训练
1.在中，，，在内部，且，分别将，向对折，使得，都与重合，折痕，分别交于点，．若，则的长为 ．
2.我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，且点D也在格点上，那么边的长为 ．
【题型十】勾股定理的证明及证明线段平方关系
◇典例10：
本学期，我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的周朝，当时商高提出了“勾三股四弦五”的特例．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．目前已知的勾股定理的证明方法约有500多种．
(1)请写出勾股定理的内容_____．
(2)请写出一种勾股定理的证明方法．
◆变式训练
1.已知：在中，，．点、在线段上．

(1)如图1，如果，求证：．
(2)如图2，如果，求证：．
2.如图，直角三角形，直角顶点C在直线上，分别过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E．
(1)求证：；
(2)如果，
①求证：；
②若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．
真题在线
一、单选题
1．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，，点E在直线上，点F、G在直线上，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（ ）
A．B．6C．D．3
4．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（ ）
A．3B．2C．1D．
5．（2024·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（ ）
A．B．4C．D．6
8．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ．
10．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为 ．
11．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ．
12．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则 ．
三、解答题
13．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点．
(1)求证：是菱形；
(2)若，求的面积．
14．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在中，，，点在上，过点作交于点，延长到点，使，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，求的长．
15．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．
（1）当点D在线段上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，，则______．
专项练习
一、单选题
1．如图，在中，，，，垂足为D，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．在中，，，是边上的中线，是边上的高，，．那么的周长为（ ）
A．B．C．D．
3．已知中，，D为上的任意一点，于E，于F，，，则（ ）
A．2B．C．3D．
4．某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为（ ）
A．2.5B．3C．4D．5
5．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D．若，则的长为（ ）
A．2B．3C．D．6
6．如图，在中，，，平分交于点，过点作交于点，且平分，若，则的长为（ ）．
A．B．C．D．
7．如图，在与中，，点D在直线上运动，则的最小值（ ）．
A．B．C．2D．
8．如图，是一张顶角为的三角形纸片，，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ）
A．2B．4C．6D．3
9．如图，在中，，是边上的中线．若，，则是（ ）
A．B．C．D．
10．图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”，图6－1为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米，，则点C到水平线l的距离为（ ）
A．4分米B．分米C．分米D．分米
二、填空题
11．如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，的长为，则点，之间的距离是 ．
12．在中，，，，则 ．
13．如图，在中，，，的平分线交于点，若，则的长是 ．
14．如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，是对角线上的动点，当时， ．
15．如图，在中，为斜边的中点，．
（1）线段的长为 ；
（2）过点作的垂线，与相交于点，若，则边的长为 ．
16．如图，已知，点…，在射线上，点…，在射线上，若，，…，依此规律作图至点，则的长为 ．
三、解答题
17．如图，在和中，，，相交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
18．如图，小明利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法如下：在路灯前选一点，使，并测得的度数，然后把竖直的竿子在的延长线上来回移动，使与互余，此时测得．（竿子与路灯垂直于地面），请根据这些数据，计算出路灯的高度．
19．如图，四边形中，，，E、F分别是和的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．已知线段，以为斜边作和，连接，M、N分别是线段、的中点，连接、．
(1)如图1，和在线段的两侧．
①求证：；
②若，；请求出的度数；
(2)如图2，和在线段的同侧，若，，则的度数为 （用含α、β的代数式表示）
21．已知，在中，，点是射线上任意一点，连接，过点作，垂足为点，交于点，过点作交的延长线于点．
(1)如图1，当点在线段上，且时，求的长；
(2)如图2，当点在的延长线上时，用等式表示线段、和的数量关系，并证明．
方法
图形
证明
“赵爽
弦图”
因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为. 又因为大正方形的面积＝4×＋＝，所以＝
刘徽“青朱出入图”
设大正方形的面积为S，则S＝. 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝，所以＝
加菲尔德总统拼图
设梯形的面积为S，则S＝. 又因为S＝，所以＝
毕达哥拉斯拼图
由图①得大正方形的面积＝，由图②得大正方形的面积＝，比较两式易得＝