【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题4.3定义、命题与定理（全国通用版）练习（解析版）

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专题3 定义、命题与定理
知识梳理
【考点一】 命题
1.命题 表示判断的语句叫做命题特别解读:(1)命题只是对事情进行判断，判断的结果可能是正确的，也可能是错误的，(2)命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语(3)命题必须具有“判断”作用，要对事情进行肯定或否定的判断，故命题不能是祈使句或疑问句
2.命题的结构 命题由条件和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项
3.命题的种类 (1)真命题:如果条件成立，那么结论一定成立.像这样的命题，叫做真命题(2)假命题:当条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立.像这样的命题，叫做假命题
4.举反例 要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子,说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了.在数学中，这种方法称为“举反例”
5.注意：
（1）命题常可以写成“如果...那么…”的形式，其中“如果”后接的部分是条件，“那么”后接的部分是结论。
（2）有些命题的条件和结论不明显，可将它经过适那么”的形式。当变形，改写成“如果.…，
【考点二】 定义与定理
1.定义 用不同的语句说明名词各自所包含的确切意义，这样的语句叫做这些名词的定义
2.基本事实 经过长期实践后公认为正确的命题,并作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实.例如(1)两点确定一条直线;(2)两点之间线段最短(3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行(5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
3.定理 有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理
4.命题、基本事实、定理之间的联系与区别:
（1）联系:基本事实和定理都是命题
（2）区别:基本事实、定理都是真命题，都可以作为判断其他命题真假的依据，只不过基本事实是最原始的依据:而命题不一定是真命题，因而不一定能作为判断其他命题真假的依据
【考点三】命题证明的一般步骤
1.证明 根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演经推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明
2.命题证明的一般步骤
第一步:分清命题的条件和结论，若命题与图形有关则根据题意,画出图形，并在图形上标出相关的字母和符号；第二步:根据条件、结论，结合图形,写出已知、求证；第三步:观察图形，分析证明思路，找出证明方法；第四步:写出证明的过程，并注明依据
3.推论 由一个定理直接推出的正确结论叫做这个定理的推论.例如“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”是定理“两条平行线被第三条直线所截同位角相等”的推论.推论和定理一样，可以作为进一步证明的依据
4.注意：
要证明一个命题是真命题，就要证明符合条件的所有情况，得出的结论都成立;要证明一个命题是假命题，只需要举出一个反例说明命题不成立即可
例题讲解
【题型一】判断是否是命题
◇典例1：
下列语句是命题的有（ ）个．
①你喜欢数学吗？②熊猫没有翅膀；③任何一个三角形一定有直角；④作线段AB=CD；⑤无论n是怎样的自然数，式子n2−n+11的值都是质数；⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】本题考查命题，判断事件的语句叫命题．掌握对事件是否作出了判断是解题的关键。根据命题的定义逐一分析是否对事件作出了判断，即可得出答案．
【分析】①是疑问句，没有对事件作出判断，不是命题；
②对事件作出了判断（熊猫确实无翅膀），是命题；
③对事件作出了判断（三角形一定有直角），是命题；
④没有对事件作出判断，只是描述了事件，不是命题；
⑤对事件作出了判断（式子n2−n+11的值都是质数），是命题；
⑥对事件作出了判断（这两条直线也互相平行），是命题．
综上，②、③、⑤、⑥为命题，共4个，
故选B．
◆变式训练
1.下列语句是命题的是（ ）
A．作AB∥CDB．若∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3
C．两条直线被第三条直线所截D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗
【答案】B
【分析】本题考查了命题．熟练掌握命题的定义是解题的关键．判断一件事情的语句叫做命题．命题必须具有判断性，即对一件事情作出“肯定”或“否定”的判断，不论其判断的结果是否正确．
根据命题的定义判断即可，注意命题必须具有判断性．
【详解】A. 作AB∥CD，不是命题，因为它不是判断性语句， 是叙述一个过程的语句；
B. 若∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3，是命题，因为它是一个具有判断性的语句；
C. 两条直线被第三条直线所截，不是命题，因为它不是判断性语句；
D. 一条铁路的两根铁轨是平行的吗，不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句．
故选：B．
2.下列选项中不是命题的是（ ）
A．正数大于负数B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形的任意两边之和大于第三边D．如果a=b,a=c，那么b=c
【答案】B
【分析】本题考查了命题的定义：判断一件事情的语句叫命题．命题必须是一个完整的句子，它必须对某一件事情作出肯定或否定的判断，命题一般为陈述句，疑问句与作图语句（祈使句）、感叹句等都不是命题．判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．
【详解】解：A．正数大于负数，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意；
B．过直线外一点作直线的平行线是作图语言，不是可以判断真假的陈述句，不是命题，符合题意；
C．三角形的任意两边之和大于第三边，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意；
D．如果a=b,a=c，那么b=c，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意；
故选：B．
【题型二】 写出命题的题设与结论
◇典例2：
“垂线段最短”的题设是 ，结论是 ．
【答案】 连接直线外一点与直线上一点的所有线段 垂线段最短
【分析】本题考查了命题的组成（题设和结论），解题的关键是理解命题的结构，准确分离出题设和结论部分．
将“垂线段最短”改写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论．
【详解】解：命题“垂线段最短”可以改写为：如果从直线外一点到这条直线的所有线段中存在垂线段，那么垂线段最短．
所以题设是从直线外一点到这条直线的所有线段中存在垂线段；结论是垂线段最短．
故答案为：连接直线外一点与直线上一点的所有线段；垂线段最短．
◆变式训练
1.命题“度数之和为90°的两个角互为余角”的条件是（ ）
A．90°B．两个角C．度数之和为90°D．度数之和为90°的两个角
【答案】D
【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面．
命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设．
【详解】解：命题“度数之和为90°的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于90°，那么这两个角互为余角，
∴命题“度数之和为90°的两个角互为余角”的条件是度数之和为90°的两个角．
故选：D．
2.如果∠A>∠B,∠B>∠C，那么∠A>∠C，这个命题的条件是 ，结论是 ．
【答案】 ∠A>∠B,∠B>∠C ∠A>∠C
【分析】本题考查了命题的结果，掌握命题是由题设（条件）和结论组成是关键，根据命题的结果判定即可求解．
【详解】解：如果∠A>∠B,∠B>∠C，那么∠A>∠C，
∴这个命题的条件是∠A>∠B,∠B>∠C，结论是∠A>∠C，
故答案为：①∠A>∠B,∠B>∠C，② ∠A>∠C．
【题型三】判断命题真假
◇典例3：
如图，线段AC,BD相交于点O，连接AD,BC，并延长AD至点E，∠BCA的平分线与∠BDE的平分线相交于点M．①若∠A=2∠BCM，则AE∥BC；②若∠M=2∠BDM，则AE∥MC；③若∠A=∠B，则∠EDM+∠BCM=90°；④若∠ADO=∠BCO，则∠M−∠B=90°．以上命题中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义得到∠ACB=2∠BCM，由∠A=2∠BCM可得∠A=∠ACB，利用平行线的判定得到AE∥BC，可判断①；根据角平分线的定义得到∠BDE=2∠BDM，由∠M=2∠BDM可得∠M=∠BDE，再根据平行线的判定可判断②；利用三角形内角和定理推出∠ADB=∠ACB，再利用角平分线的定义求出∠EDM+∠BCM=90°，可判定③；延长CM交BD于点F，利用角平分线的定义求出∠BDM+∠BCM=90°，利用三角形外角的性质得到∠CMD=∠CFD+∠BDM，∠CFD=∠B+∠BCM，进而得到∠CMD=∠B+∠BDM+∠BCM=∠B+90°，可判断④，即可得出结论．
【详解】解：∵CM平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠BCM，
∵∠A=2∠BCM，
∴∠A=∠ACB，
∴AE∥BC，故①是真命题；
∵DM平分∠BDE，
∴∠BDE=2∠BDM，
∵∠M=2∠BDM，
∴∠M=∠BDE，
由∠M=∠BDE无法证明AE∥MC，故②是假命题；
∵∠A=∠B，∠AOD=∠BOC，
∴∠ADB=∠ACB，
∵∠BDE+∠ADB=180°，
∴∠BDE+∠ACB=180°，
∵CM平分∠ACB，DM平分∠BDE，
∴∠EDM+∠BCM
=12∠BDE+12∠ACB
=12×180°
=90°，
∴∠EDM+∠BCM=90°，故③是真命题；
如图，延长CM交BD于点F，
∵∠ADO=∠BCO，∠BDE+∠ADO=180°，
∴∠BDE+∠BCO=180°，
∵CM平分∠ACB，DM平分∠BDE，
∴∠BDM+∠BCM
=12∠BDE+12∠BCO
=12×180°
=90°，
∵∠CMD=∠CFD+∠BDM，∠CFD=∠B+∠BCM，
∴∠CMD=∠B+∠BDM+∠BCM=∠B+90°，
∴∠CMD−∠B=90°，故④是真命题；
∴真命题的个数是3．
故选：C．
【点睛】本题考查了判断命题真假、平行线的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
◆变式训练
1.命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”是 命题（真/假）．
【答案】真
【分析】本题主要考查了命题，掌握相反数的性质是解题的关键．
根据判断一件事情的语句，叫做命题．正确的命题是真命题进行分析即可．
【详解】解：命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”的条件是两个数互为相反数，结论是这两个数绝对值相等，这是一个真命题．
故答案为：真．
2.命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线平行．其中是真命题的有 ．（请填写序号）
【答案】①④/④①
【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的判定等知识，根据对顶角的性质、平行线的判定判断即可．
【详解】解：①对顶角相等，是真命题；
②相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
③在同一平面上，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题；
④平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；
其中是真命题的有①④；
故答案为：①④．
【题型四】举反例
◇典例4：
能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（ ）
A．∠1=82°，∠2=40°B．∠1=89°，∠2=2°
C．∠1=65°，∠2=30°D．∠1=30°，∠2=20°
【答案】D
【分析】本题考查命题与定理，要说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，需找到两个锐角的和不是钝角的例子，即可判断．
【详解】解：A、82°+40°=122°，是钝角，不符合题意；
B、89°+2°=91°，是钝角，不符合题意；
C、65°+30°=95°，是钝角，不符合题意；
D、30°+20°=50°，是锐角，说明两锐角的和可能不是钝角，符合题意．
故选：D．
◆变式训练
1.为说明命题“如果a=b，那么a=b”是假命题，你举出的一个反例是 ．
【答案】a=1，b=−1（答案不唯一）
【分析】根据绝对值的性质可得当a=b，得出a=b或a=−b，举例只要两个数互为相反数即可得．
【详解】解：∵a=b，
∴a=b或a=−b，
例如：a=1，b=−1时，a=b，
∴命题“如果|a|=|b|，那么a=b”是假命题，
故答案为：a=1，b=−1（答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查绝对值的性质，深刻理解绝对值的性质是解题关键．
2.对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1=45°,∠2=45°B．∠1=30°,∠2=60°
C．∠1=60°,∠2=60°D．∠1=30°,∠2=40°
【答案】A
【分析】本题考查举反例，要说明命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”是假命题，需找到满足∠1+∠2=90°但∠1=∠2的反例．
【详解】解：A、∠1=45°,∠2=45°，和为90°，且∠1=∠2，满足反例条件．
B、∠1=30°,∠2=60°，和为90°，但∠1≠∠2，支持原命题．
C、∠1=60°,∠2=60°，和为120°，不满足条件．
D、∠1=30°,∠2=40°，和为70°，不满足条件．
故选A．
【题型五】定理与证明
◇典例5：
请举出一个关于角相等的定理： ．
【答案】两直线平行，同位角相等
【分析】任意写出一个角相等的定理即可．
【详解】解：关于角相等的定理：两直线平行，同位角相等
故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）．
【点睛】本题考查角相等的定理，如同位角、内错角或对顶角，写出相应的定理即可．
◆变式训练
1.下列语句中，是定义的是（ ）
A．若两角之和为90°，则这两个角互余B．相等的角是对顶角
C．同角的余角相等D．延长BC至D使CD=BC
【答案】B
【分析】本题考查了全是与定理的知识，利用定义的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A. 若两角之和为90°，则这两个角互余，不是定义，不符合题意；
B.相等的角是对顶角，是定义，符合题意；
C.同角的余角相等，不是定义，不符合题意；
D. 延长BC至D使CD=BC，不是定义，不符合题意；
故选：B
2.定理可以作为证明后续命题的 ，根据 ，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的 的和．
【答案】 依据 三角形内角和定理及平角的定义 两个内角
【分析】本题考查定理和命题，根据三角形的内角和定理以及平角的定义推出三角形的外角的性质，作答即可．
【详解】解：定理可以作为证明后续命题的依据，根据三角形内角和定理及平角的定义，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
故答案为：依据，三角形内角和定理及平角的定义，两个内角
【题型六】写出一个命题的已知、求证及证明
◇典例6：
命题：直角三角形的两锐角互余．

(1)将此命题写成“如果…，那么…”：________________________；
(2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程．
【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
(2)该命题是真命题，详见解析
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念：
（1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题；
（2）根据三角形内角和定理计算，即可证明．
【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；
故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
（2）解：该命题是真命题
已知：如图，在△ABC中，∠B=90°
求证：∠A+∠C=90°
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A+∠C=180°−∠B
∵∠B=90°
∴∠A+∠C=180°−90°=90°．
◆变式训练
1.请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明．
定理：三角形的外角等于_____________________的和．
已知：
求证：
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可．
【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和．
已知：∠ACD是△ABC的一个外角．
求证：∠ACD=∠A+∠B．
证明：如图所示，在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ACD=∠A+∠B．
2.证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
已知：____________．
求证：____________．
证明：
【答案】见解析
【分析】写出已知，求证，利用平行线的判定定理证明即可．
【详解】已知：如图，直线a、b、c中，a∥b，b∥c，

求证：a∥c．
证明：作直线a、b、c的截线DF，交点分别为D，E，F．

∵a∥b,
∴∠1=∠2，
∵b∥c,
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴a∥c．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【题型七】已知证明过程填写理论依据
◇典例7：
【教材呈现】下面是华师版七年级下册数学教材习题8.1第6题部分内容．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠A的度数，即可求∠D的度数．
①当∠A=60°时，∠D=___________度；当∠A=120°时，∠D=___________度；
②于是小明猜想∠D与∠A之间的数量关系为___________；
（2）以下是小明完成猜想证明的部分过程：
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=12∠ABC．
∵CD平分∠ACE，
∴∠DCE=∠ACD=12∠ACE．
请你补全缺失的证明过程．
【结论应用】（3）如图，在四边形ABCD中，BF平分∠ABC,CG平分外角∠DCE，连结FG．若∠A=140°，∠D=90°，则∠F+∠G=___________度．
【答案】（1）①30；60；②∠D=12∠A；（2）见解析；（3）205
【分析】本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线定义，关键是灵活应用三角形的外角性质．
（1）①当∠A分别是60度和120度时，得到∠D的度数；
②猜想得到∠D=12∠A；
（2）由角平分线定义得到∠DBC=12∠ABC，∠DCE=12∠ACE，由三角形的外角性质推出12∠A+12∠ABC=∠D+12∠ABC，即可证明∠D=12∠A；
（3）延长BA和CD交于M，延长BE和CG交于N，由三角形的外角性质求出∠M=50°，由（2）的结论即可求出∠N=12×50°=25°，由三角形的外角性质即可求出∠BFG+∠CGF=205°．
【详解】（1）解：①当∠A=60°时，设∠ABC=2α，则∠ACE=2α+60°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠DBC=∠ABD=12∠ABC=α，∠DCE=∠ACD=12∠ACE=α+30°，
∴∠D=∠DCE−∠DBC=α+30°−α=30°；
当∠A=120°时，设∠ABC=2β，则∠ACE=2β+120°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠DBC=∠ABD=12∠ABC=β，∠DCE=∠ACD=12∠ACE=β+60°，
∴∠D=∠DCE−∠DBC=β+60°−β=60°；
故答案为：30，60；
②于是小明猜想∠D与∠A之间的数量关系为∠D=12∠A，
故答案为：∠D=12∠A；
（2）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=12∠ABC，
∵CD平分∠ACE，
∴∠DCE=∠ACD=12∠ACE，
∵∠DCE=∠D+∠DBC，
∴12∠ACE=∠D+12∠ABC，
∵∠ACE=∠A+∠ABC，
∴12∠A+12∠ABC=∠D+12∠ABC，
∴∠D=12∠A；
（3）如图，延长BA和CD交于M，延长BE和CG交于N，
∵BF平分∠ABC，CG平分外角∠DCE，
∴∠N=12∠M，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADM=180°−90°=90°，
∴∠M=∠BAD−∠ADM=140°=90°=50°，
∴∠N=12×50°=25°，
∵∠BFG=∠N+∠FGN，∠CGF=∠N+∠NFG，
∴∠BFG+∠CGF=∠N+∠FGN+∠N+∠NFG=180°+25°=205°，
故答案为：205．
◆变式训练
1.补全下列推理过程：
如图，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，试说明DG∥BA．
解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知），
∴∠BFE=∠BDA=90°（垂直的定义），
∴EF∥AD（____________）．
∴∠2=∠3（____________）．
∵∠1=∠2（已知），
∴____________（等量代换）．
∴DG∥AB（____________）．
【答案】答案见详解；
【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案；
【详解】解：∵EF⊥BC，AD⊥BC（已知），
∴∠BFE=∠BDA=90°（垂直的定义），
∴EF∥AD（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠2=∠3 （ 两直线平行，同位角相等 ），
∵∠1=∠2 （已知），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴DG∥AB（ 内错角相等，两直线平行 ）．
2.如图，D是△ABC边BC上的一点，∠B=∠BAD，∠ADC=70°．
(1)求∠B的度数：请在解答过程的空白处填上适当的内容．（理由或数学式）
解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=70°（已知），
∴∠B+______=∠ADC=70°（______）．
又∵∠B=∠BAD（已知），
∴∠B=______°．（等量代换）
(2)若AD平分∠BAC，求∠C的度数．（请写出完整的解答过程）
【答案】(1)答案见解析
(2)75°
【分析】本题考查三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识．熟记三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，并灵活运用是解决问题的关键．
（1）由∠ADC是△ABD的外角，利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，可求出∠B的度数；
（2）利用角平分线的定义和“三角形的内角和等于180°”，可求出∠C的度数．
【详解】（1）解：∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=70°（已知），
∴∠B+∠BAD=∠ADC=70°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
又∵∠B=∠BAD（已知），
∴∠B=35°．（等量代换）；
（2）解：∵AD平分∠BAC，∠BAD=35°（已知），
∴∠BAC=2×35°=70°（角平分线的定义）．
∵在△ABD中，∠B=35°，∠BAC=70°（已证），
∴∠C=180°−35°−70°=75°（三角形的内角和定理）．
【题型八】根据给出的论断组命题并证明
◇典例8：
如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题：
①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③m∥n．
从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由．
【答案】见解析
【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可．
【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题，
①②⇒③，
∵∠AFE=∠FED，
∴b∥c，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴m∥n；
②③⇒①，
∵∠AFE=∠FED，
∴b∥c，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵m∥n，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴∠BAC=∠BDC；
①③⇒②，
∵m∥n，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠BAC+∠ABD=180°，
∴b∥c，
∴∠AFE=∠FED．
◆变式训练
1.如图，现有以下3个论断：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．

(1)请写出所有的真命题；
(2)请选择其中一个命题加以证明．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题；
（2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可．
【详解】（1）解：命题1：由①②得到③；
命题2：由①③得到②；
命题3：由②③得到①；
（2）命题1证明如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠CDF，
∵∠B＝∠C，
∴∠C＝∠CDF，
∴CE∥BF，
∴∠E＝∠F；
命题2证明如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠CDF，
∵∠E＝∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C＝∠CDF，
∴∠B＝∠C；
命题3证明如下：
∵∠E＝∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C＝∠CDF，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠CDF，
∴AB∥CD．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键．
2.【阅读】在证明命题“如果a>b>0，cab+ac”时，小明的证明方法如下：
证明：∵a>b>0，
∴a2> ． ∴a2+bc> ．
∵a>b，c ． ∴ab+bc> ．
∴a2+bc>ab+ac．
【问题解决】
(1)请将上面的证明过程填写完整；
(2)有以下几个条件：①a>b，②a0，可得a2> ab．从而得到a2+bc> ab+bc ．再由a>b，cac．从而得到ab+bc> ab+ac ．即可求证；
（2）选择②④ ．理由：根据a0，
∴a2> ab．
∴a2+bc> ab+bc ．
∵a>b，cac．
∴ab+bc> ab+ac ．
∴a2+bc>ab+ac ．
（2）解∶选择②④ ．
证明如下： ∵a