【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题5.2 平行四边形的性质与判定（全国通用版）练习（解析版）

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专题2 平行四边形的性质与判定
知识梳理
【考点一】平行四边形的定义
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2.表示方法：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作：“□ABCD”，
读作:“平行四边形ABCD”.
【注意】表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序．
3. 平行四边形的基本元素（边、角、对角线）
【考点二】平行四边形的性质
1. 性质定理：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分．
2. 平行四边形的性质可从边、角、对角线、对称性等几个方面来探究，归纳如下表：
【考点三】 两条平行线间的距离
1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
2.两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
3.如果有两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
如图（1），a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，即AB=CD；如图（2）线段AB（或CD）的长即为两条平行线之间的距离.
4.三种距离之间的区别与联系
5.“两条平行线间的距离处处相等”，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.(常常用来解决三角形同底等高问题.)
【考点四】平行四边形的判定
★1、平行四边形的判定方法
2. 灵活选择平行四边形的判定方法
（1）若已知一组对边平行，可证明该组对边相等或证明另一组对边平行；
（2）若已知一组对边相等，可证明该组对边平行或证明另一组对边相等；
（3）若已知条件与对角线有关，可证明对角线互相平分；
（4）若已知条件与角有关，可证明两组对角分别相等．
3.平行四边形性质与判定的联系与区别
区别 ：由平行四边形这一条件得到边、角、对角线的关系是性质.由边、角、对角线的关系得到平行四边形是判定.
联系：平行四边形的性质题设和结论正好与判定的题设和结论相反，它们构成互逆的关系.
例题讲解
【题型一】利用平行四边形的性质求角度
◇典例1：
如图，在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=280°，则∠D的度数是（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【答案】C
【分析】本题主要查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键．
根据平行四边形对角相等，可得∠B=∠D，再结合∠B+∠D=280°，即可求出∠D度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠B+∠D=280°，
∴∠D=12×280°=140°．
故选：C．
◆变式训练
1.如图，直线m∥n，四边形ABCD为平行四边形，顶点B恰好落
在直线n上，若∠1=18°，∠2=13°，则∠D等于（ ）
A．148°B．151°C．149°D．150°
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．过点A作AE∥m，得出∠DAE=∠1=18°，∠BAE=∠2=13°，进而得到∠BAD=31°，再根据平行四边形对边平行求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AE∥m，
∵m∥n，
∴m∥n∥AE，
∴∠DAE=∠1=18°，∠BAE=∠2=13°，
∴∠BAD=∠DAE+∠BAE=31°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠D=180°−∠BAD=149°，
故选：C．
2.如图，在△ABC中，∠E=65°，AB=AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠A的度数为（ ）
A．45°B．50°C．65°D．70°
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质和三角形的内角和定理等知识，属于基础题型，熟练掌握等腰三角形和平行四边形的性质是解题关键．
根据平行四边形的性质可求∠C，根据等腰三角形的性质可求∠ABC，再根据三角形内角和求得答案．
【详解】解：∵四边形BCDE是平行四边形，∠E=65°，
∴∠E=∠C=65°，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C=65°，
∴ ∠A=180°−∠ABC−∠C=180°−65°−65°=50°，
故选：B．
【题型二】利用平行四边形的性质求线段长
◇典例2：
如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=5，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和点F，则EF的值为（ ）
A．3B．2C．2.5D．1
【答案】D
【分析】此题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、等角对等边等知识．由平行四边形的两组对边互相平行，又BE平分∠ABC，由此可以推出∠ABE=∠AEB，则AE=AB=3；同理可得，DF=DC=3，而EF=DF+AE−AD，由此可以求出EF长．
【详解】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵▱ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
同理可得，DF=DC=3，
∴EF=DF+AE−AD=3+3−5=1，
故选：D．
◆变式训练
1.如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，以适当的长度为半径作弧，分别交边AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于12EF长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若GD=5，BC=9，则AB的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图、平行四边形的性质，掌握角平分线基本作图是解题的关键．
根据角平分线的定义得到∠ABH=∠CBH，根据平行线的性质得到∠AGB=∠CBG，求得∠ABG=∠AGB，得到AB=AG，于是得到结论．
【详解】解：由作图过程可知BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥BC，AD=BC=9，
∴∠AGB=∠CBG，
∴∠ABG=∠AGB，
∴AB=AG，
∵DG=5，
∴AG=4，
∴AB=4．
故选：B．
2.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE=4，DE=3，AB=5，则AC的长为（ ）

A．32B．42C．52D．522
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明△EDC是直角三角形是解题的关键．连接EC，根据已知条件证明△EDC是直角三角形，进而可得△AEC是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接EC，
∵平行四边形ABCD中，OE⊥AC，
∴EO垂直平分AC，
∵AE=4，DE=3，AB=5，
∴EC=AE=4，CD=AB=5，
∵EC2+DE2=32+42=25，CD2=25，
∴EC2+DE2=CD2，
∴△EDC是直角三角形，△AEC是等腰直角三角形，
∴ AC=AE2+EC2=16+16=32=42．
故选B．
【题型三】利用平行四边形的性质求周长
◇典例3：
如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则▱ABCD的周长是（ ）
A．16B．14C．20D．24
【答案】C
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的等角对等边是解答的关键．根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得∠CDE=∠CED，等腰三角形的判定求得CD=CE=4即可．
【详解】解：∵在▱ABCD中，AD=6，
∴BC=AD=6，AD∥BC，
∴CE=BC−BE=6−2=4，∠ADE=∠CED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE=4，
∴▱ABCD的周长是2AD+CD=2×6+4=20．
故选：C．
◆变式训练
1.如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD相交于点 O，AC=8cm,BD=12cm,AB=5cm，则△OCD的周长为（ ）
A．13cmB．15cmC．16cmD．17cm
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求解．
【详解】解：∵▱ABCD的对角线相交于点O，AC=8cm,BD=12cm,AB=5cm，
∴OC=12AC=4cm,OD=12BD=6cm，AB=CD=5cm，
∴△OCD的周长为4+5+6=15cm
故选：B．
2.如图，▱ABCD的周长为16cm，且AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，属于常考题型，熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质和已知条件可得OE垂直平分AC，然后根据线段垂直平分线的性质可知AE=CE，再结合平行四边形的性质即可求出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵EO⊥AC，
∴EO为AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∵▱ABCD的周长为16cm，
∴AD+CD=12×16=8cm．
∴△DCE的周长=DE+CE+CD=DE+AE+CD=CD+AD=8cm．
故选：C．
【题型四】利用平行四边形的性质求面积
◇典例4：
如图，在平行四边形ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE．已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线，若AE=4，BE=3，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．6B．8C．12D．24
【答案】C
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．利用角平分线的定义结合平行四边形的性质得出∠EAB+∠EBA=90°，进而利用直角三角形的性质求出答案．
【详解】解：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴ ∠DAB+∠CBA=180°，
∵ AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线，
∴ ∠EAB=12∠DAB，∠EBA=12∠CBA，
∴ ∠EAB+∠EBA=12∠DAB+∠CBA=90°，
∴ △AEB是直角三角形，
∵ AE=4，BE=3，
∴ S△AEB=12AE⋅BE=12×4×3=6，
∴平行四边形ABCD的面积=2S△AEB=12，
故选：C．
◆变式训练
1.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（ ）
A．24B．36C．40D．48
【答案】D．
【分析】设BC＝x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行四边形的面积公式列式进而求出x＝12，即可得出结论．
【详解】解：设BC＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵▱ABCD的周长为40，
∴BC+CD＝20，
∴CD＝20﹣x，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∵▱ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF，
∴4x＝6（20﹣x），
解得：x＝12，
∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×4＝48．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
2.如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，AF与BE
相交于点P，DF与CE相交于点Q，若S△ABP=13cm2，S△CDQ=14cm2则阴影部分四边形EPFQ的面积
为 cm2．
【答案】27．
【分析】连接EF，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC＝S△DCF，S△BFE＝S△BFA所以S△EFQ＝S△DCQ，S△EFP＝S△ABP，因此可以推出阴影部分的面积就是S四边形EPFQ＝S△ABP+S△DCQ，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．
【详解】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△DCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC＝S△DCF，
∴S△EFQ＝S△DCQ，
同理S△BFE＝S△BFA，
∴S△EFP＝S△ABP，
∵S△ABP=13cm2，S△CDQ=14cm2，
∴S四边形EPFQ=S△EFP+S△EFQ=S△ABP+S△DCQ=13+14=27cm2，
故答案为：27．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【题型五】利利用平行四边形的性质证明
◇典例5：
如图，在▱ABCD中，E、F分别是BC、AD边上的一点（不与端点重合），AE∥CF．求证：△ABE≌△CDF．
【分析】由AE∥CF，得∠AEB＝∠FCB，由平行四边形的性质得AB＝CD，∠B＝∠D，BC∥AD，则∠FCB＝∠CFD，所以∠AEB＝∠CFD，即可根据“AAS“证明△ABE≌△CDF．
【解答】证明：∵AE∥CF，
∴∠AEB＝∠FCB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，BC∥AD，
∴∠FCB＝∠CFD，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠B=∠DAB=CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出∠AEB＝∠CFD，进而证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
◆变式训练
1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、CB的延长线于点E，F．求证：OE＝OF．
【分析】根据平行四边形的性质可得AO＝CO，AD∥BC，进而可得∠EAO＝∠FCO，再根据对顶角相等可得∠AOE＝∠COF从而证明△AOE≌△COF，证得结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴得AO＝CO，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质．
2.如图，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OB、OD上的中点．连接AE、CF．求证：∠DAE＝∠BCF．
【分析】证△ADE≌△CBF（SAS），即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，OD＝OB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵点E、F分别是OB、OD上的中点，
∵BE=12OB，DF=12OD，
∴BE＝DF，
∴DE＝BF，
在△ADE和△CBF中，
AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠DAE＝∠BCF．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
【题型六】两条平行线间的距离及其应用
◇典例6：
如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AB与CD之间的距离是（ ）
A．AE的长B．MN的长C．AB的长D．AC的长
【答案】B．
【分析】由平行四边形的性质和平行线之间的距离可直接求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵MN⊥CD，
∴平行线AB与CD之间的距离是MN的长，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线之间的距离，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
◆变式训练
1.如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直线MN交AB于点M，CD于点N，EF于点O．若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（ ）
A．MNB．OEC．EFD．OF
【答案】C．
【分析】夹在两条平行线间的垂线段的长度即为两平行线的距离．
【详解】解：因为直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F，所以直线EF也垂直于直线CD，则直线AB和CD之间的距离是线段EF的长．
故选：C．
【点睛】本题主要考查垂直于同一条直线的两条直线平行，也就是说，垂直于一条直线，必定也垂直于平行于这条直线的直线．
2.在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b之间的距离为7cm，
直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（ ）
A．4cm或10cmB．4cmC．10cmD．不确定
【答案】A．
【分析】分两种情况，当直线c在直线a、b之间时，当直线c在直线a、b外部时，即可解决问题．
【详解】解：当直线c在直线a、b之间时，如图（1），
直线a、c间的距离为7﹣3＝4（cm）；
当直线c在直线a、b外部时，如图（2），
直线a、c间的距离为7+3＝10（cm），
∴直线a、c间的距离是4或10cm．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的距离，解题时注意分类讨论．
【题型七】数图形中平行四边形的个数
◇典例7：
如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，图中共有（ ）个平
行四边形．
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定；
首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，GH∥AB，
∴AD∥BC∥EF，AB∥GH∥CD
∴平行四边形有：▱AEOG、▱EOHB、▱OFCH、▱GDFO、▱ADFE、▱EFCB、▱AGHB、▱GDCH；▱ABCD；共9个．
故选：C．
◆变式训练
1.如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由ABCDEF是由六个全等的正三角形拼成的，可得出ABCDEF是正六边形，进而可得出OA=OE=AF=EF，则四边形AOEF是平行四边形，同理可得出四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形FABO都是平行四边形．
【详解】解：∵ABCDEF是由六个全等的正三角形拼成的，
∴ABCDEF是正六边形，
∴AD，BE，CF是正六边形的对角线，
可得OA=OE=AF=EF，
∴四边形AOEF是平行四边形，
同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形FABO都是平行四边形，共6个，
故选C．
2.如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且AC//DG,AD//BE//CF,AF//BG．图
中平行四边形有（ ）个
A．4B．5C．3D．6
【答案】B
【分析】根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得．
【详解】解：如图，
图中的平行四边形有：▱ABED，▱ABGF，▱BCFE，▱ACFD，▱PBQF，
故选B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【题型八】添加一个条件成为平行四边形
◇典例8：
如图在四边形ABCD中，若已知AB∥CD，再添加下列条件之一，能使四边形ABCD成为平行四边形的条件是（ ）
A．∠DAB=∠ADCB．AD=BC
C．∠ABD=∠BDCD．∠BAD=∠BCD
【答案】D
【分析】此题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定进行逐项判断即可．
【详解】解：A、由AB∥CD，∠DAB=∠ADC，不能判定四边形ABCD成为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB∥CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD成为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵∠ABD=∠BDC，
∴AB∥CD，不能判定四边形ABCD成为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
◆变式训练
1.下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的
是 （填序号）．
①AB=CD，AD=BC；②AD=BC，AD∥BC；③AB=CD，∠B=∠D；④OA=OC，OB=OD．
【答案】③
【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案．
【详解】解：①∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
②∵AD=BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
③AB=CD，∠B=∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
④∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故答案为：③．
2.已知：如图，AB=CD，AD=BC，P为AC上任意一点，过P的直线分别交AD、CB的延长线于E、F．
(1)请问：∠E=∠F吗？说明你的理由；
(2)要得出结论PE=PF，还需增加一个什么条件，说明你的理由．
【答案】(1)∠E=∠F，理由见解析；
(2)点P是AC的中点，理由见解析．
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．
1根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可证∠E=∠F；
2由1可知∠E=∠F，如果点P是AC的中点，可得：PA=PC，利用AAS可证△APE≌△CPF，根据全等三角形的性质可证PE=PF．
【详解】（1）解：∠E=∠F，
理由如下：
∵ AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠E=∠F；
（2）解：还需要增加点P是AC的中点，
理由如下：
由1可知∠E=∠F，
∵点P是AC的中点，
∴PA=PC，
在△APE和△CPF中，
∠E=∠F∠APE=∠CPFAP=CP，
∴△APE≌△CPF，
∴PE=PF．
【题型九】平行四边形判定的证明
◇典例9：
如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF．求证：四边形AFCD是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明△AEF≌△CED是解题的关键．
由CD∥AB，得∠AFE=∠CDE，而∠AEF=∠CED，AE=CE，即可根据“AAS”证明△AEF≌△CED，得FE=DE，则四边形AFCD是平行四边形．
【详解】证明：∵CD∥AB，
∴∠AFE=∠CDE，
∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
在△AEF和△CED中，
∠AFE=∠CDE∠AEF=∠CEDAE=CE，
∴△AEF≌△CEDAAS，
∴FE=DE，
∴四边形AFCD是平行四边形．
◆变式训练
1.如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上
的一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
求证：四边形DBEC是平行四边形．
【分析】先证明△EBF≌△DCF，可得DC＝BE，可证四边形BECD是平行四边形
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF，
∵点F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△DCF和△EBF中，
∠CDF=∠FEB∠DCF=∠EBFFC=BF，
∴△EBF≌△DCF（AAS），
∴DC＝BE，
∴四边形BECD是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质.
2.已知：如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，且AB＝BF，∠F＝∠CDE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】利用边角边定理证得△DEC≌△FEB，从而得到DC＝BF，∠C＝∠EBF，进一步得到AB∥DC，然后得到DC＝AB，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD为平行四边形即可．
【详解】证明：在△DEC与△FEB中，
∠CDE=∠F∠DEC=∠BEFEC=BE，
∴△DEC≌△FEB（AAS），
∴DC＝BF，∠C＝∠EBF，
∴AB∥DC，
∵AB＝BF，
∴DC＝AB，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【点睛】考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
【题型十】平行四边形的性质与判定的综合
◇典例10：
如图所示，在梯形ABCD中， AB∥DC，DA⊥DC，∠B=45°，延长CD到点E，使DE=DA，连接AE．
(1)证明ABCE是平行四边形；
(2)若AB=3cm，CD=1cm，求四边形ABCE的面积
【答案】(1)证明见解析
(2)6cm2
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定和性质，三角形内角和定理，等边对等角，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
（1）根据平行线的性质得出∠ADE=∠DAB=90°，根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠E=∠DAE=1245°，根据平行线的判定定理得出AB∥CD，根据平行四边形的判定定理即可证明；
（2）根据平行四边形的性质得出AB=CE=3cm，求得DA=DE=2cm，进而可求四边形ABCE的面积．
【详解】（1）证明：∵AD⊥CD，
∴∠ADE=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ADE=∠DAB=90°，
∵AD=DE，
∴∠E=∠DAE=12180°−∠ADE=12180°−90°=45°，
∴∠EAB=∠DAE+∠DAB=45°+90°=135°，
∵∠B=45°，
∴∠B+∠EAB=180°，
∴AE∥BC，
又AB∥CD，
∴四边形ABCE是平行四边形．
（2）解：由（1）知，四边形ABCE是平行四边形，
∴AB=CE=3cm，
∴DA=DE=CE−CD=3−1=2cm，
∴S四边形ABCE=AB⋅DA=3×2=6cm2，
即四边形ABCE的面积是6cm2．
◆变式训练
1.如图，在▱ABCD中，∠C＝60°，M、N分别是AD、BC的中点．
（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；
（2）若BC＝2CD，MN＝1，求BD的长．
【分析】（1）由平行四边形的在得AD＝BC，AD∥BC，再证MD＝NC，即可得出结论；
（2）连接ND，由平行四边形的性质得DC＝MN＝1，再证△NCD是等边三角形，得ND＝NC＝DC＝1，∠CDN＝∠DNC＝60°，然后证∠BDC＝90°，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴MD＝NC．
∵MD∥NC，
∴四边形MNCD是平行四边形；
（2）解：如图，连接ND，
∵四边形MNCD是平行四边形，
∴DC＝MN＝1．
∵N是BC的中点，
∴BN＝CN=12BC．
∵BC＝2CD，
∴CD＝CN．
∵∠C＝60°，
∴△NCD是等边三角形，
∴ND＝NC＝DC＝1，∠CDN＝∠DNC＝60°．
∵∠DNC是△BND的外角，
∴∠NBD+∠NDB＝∠DNC，
∵DN＝CN＝BN，
∴∠DBN＝∠BDN=12∠DNC＝30°，
∴∠BDC＝∠CDN+∠BDN＝90°，
∴BC＝2DC＝2，
∴BD=BC2−DC2=22−12=3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
2.问题背景：如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC=30°,EF⊥AB，垂足为F，连接DF交AC于点G．
探索求证：
（1）求证：AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形；
深入探究：
（3）当BC=2时，求△ACD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）33
【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质，得到AB=2BC，利用等边三角形的性质，得到AB=2AF,AB=AE,根据HL得到△ACB≌△EAF，即可得证；
（2）根据等边三角形的性质，得到∠DAC=60°,AC=AD，进而得到∠DAF=90°=∠AFE，推出AD∥EF，等量代换得到AD=EF，即可得证；
（3）含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出AC的长，证明AC⊥DF，勾股定理求出DG的长，再利用面积公式进行计算即可．
【详解】（1）证明：∵ Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF,AB=AE, ∠AFE=90°=∠ACB，
∴AF=BC，
∵AB=AE, ∠AFE=90°=∠ACB，
∴Rt△AFE≌Rt△BCAHL，
∴AC=EF．
（2）证明：∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°,AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠AFE，
∴EF∥AD，
∵AC=EF,AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
（3）解：∵∠EAC=∠EAF+∠BAC=60°+30°=90°，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AE∥FD，
∴∠AGD=∠EAC=90°，
∴AC⊥DF．
∵∠BAC=30°,∠ACB=90°,BC=2，
∴AB=4，
∴AC=AB2−BC2=23，
∵△ADC是等边三角形，
∴DC=AC=23，
∵DF⊥AC，
∴CG=AC2=3，
∴DG=DC2−GC2=3，
∴S△ADC=12×23×3=33．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
真题在线
一、单选题
1．（2025·贵州·中考真题）如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选B．
2．（2025·湖北·中考真题）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键．
【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点，
∴，
点与点关于坐标原点中心对称，
点的坐标为，
点的坐标是，
故选：C．
3．（2025·山西·中考真题）如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是边的中点，连接．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，由三角形中位线的性质得，进而由平行四边形的性质得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵点是对角线的中点，点是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故选：．
4．（2025·内蒙古·中考真题）如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了矩形的性质和三角形中位线定理．根据三角形中位线定理得到，根据矩形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵是一个矩形草坪，对角线，相交于点，
∴，
∵是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴矩形的面积为，
故选：C
5．（2025·广东·中考真题）如图，点，，分别是各边上的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到，是的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】∵点，，分别是各边上的中点，
∴，是的中位线
∴，
∴
∵
∴．
故选：C．
6．（2025·安徽·中考真题）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ）
A．四边形的周长B．的大小
C．四边形的面积D．线段的长
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ．
【详解】解：连接，
在中，，分别为，中点，
且，，，
且，
四边形是平行四边形，
，
同理，且．
∴四边形是平行四边形，
则与的面积分别为与面积的一半，
四边形的面积，
四边形的面积始终为面积的一半，是定值．
选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误．
选项B：随位置改变，错误．
选项D：长度随、移动改变，错误．
综上，四边形的面积是定值，
故选：．
7．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，即为中点，
∵是的中点，
∴是中位线，
∴，
∵，点P是的中点，
∴，即，
故选：．
8．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键．
解法一：连接BD交AC于O，由平行四边形的性质推出，，判定是的中位线，推出，求出，即可得到答案；
解法二：延长和，交于点，先证，得到，再证，得到，即可求得结果；
解法三：作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到．
【详解】解：解法一：连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
解法二：延长和，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
解法三：作交于点H
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
故选：B．
二、填空题
9．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．先利用平行四边形的性质得，，证明，得出，结合，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
10．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则 cm．
【答案】12
【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键；
根据等边三角形的性质可得，根据折叠的性质和平行四边形的性质可得，结合三角形的外角性质可得，进而得到，再利用30度角的直角三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵折叠，
∴，
∵是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：12．
11．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形是平行四边形，得，，由折叠性质可知，
，，，故有，根据平行线的性质得，，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
由折叠性质可知，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．（2025·贵州·中考真题）如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】如图，连接，交于，过作于，求解，证明是的中位线，可得，，，证明四边形是平行四边形，可得，而，，求解，再进一步求解即可.
【详解】解：如图，连接，交于，过作于，
∵，，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，而，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
三、解答题
13．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查三角形的中位线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质；
（1）证明是的中位线，即可得到，进而得到，然后利用证明三角形全等；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到，即可得到，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等得到结论即可．
【详解】（1）证明：∵，分别为边，的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
14．（2025·青海·中考真题）如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)当时，四边形是矩形，理由见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质；
（1）先证明，可得，结合可得结论；
（2）由，点是边上的中点，可得即，结合由（1）得四边形是平行四边形，从而可得结论.
【详解】（1）证明：∵点为的中点
∴，
∵
∴，，
在和中
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：当时，四边形是矩形，
理由如下：
∵ ，点是边上的中点，
∴ 即，
∵ 由（1）得四边形是平行四边形，
∴ 四边形是矩形.
15．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，正方形中，点E，F分别在，上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】该题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据四边形是正方形，得出且．结合，得出．结合，即可证明四边形是平行四边形．
（2）过点作于点．根据四边形是正方形，，得出．结合，证出四边形是矩形．得出．结合，得出．在中，由勾股定理求出．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴且．
又，
．
．
又．
∴四边形是平行四边形．
（2）解：过点作于点．
∵四边形是正方形，，
．
又，
∴四边形是矩形．
．
又，
．
在中，由勾股定理得．
专项练习
一、单选题
1．下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．4∶3∶2∶1B．3∶2∶3∶2C．3∶3∶2∶2D．3∶2∶2∶1
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法．
由“两组对角对边相等的四边形是平行四边形”进行判断即可．
【详解】解：∵对角相等的四边形是平行四边形，
∴能判定四边形是平行四边形的是．
故选：B．
2．在中，下列结论错误的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：如图，∵四边形是平行四边形，
∴，，，，，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
3．如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，掌握平行四边形的判定条件是解题关键．
根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可．
【详解】解：已知，要使四边形为平行四边形，
选项：仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误；
选项：且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误；
选项：平行四边形要求对角线互相平分，仅不满足，故错误；
选项：，
，
在和中，
,
，
，
四边形为平行四边形．
故正确．
故选：．
4．如图，在中，是上的点，，连接交于点，则与的周长之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的性质以及判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定以及两个相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键．
由，可得， 再证明，根据两个相似三角形周长之比等于相似比求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，，即，
∴，
∴．
故选：．
5．如图，在中，，平分，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与平行线的性质，掌握平行四边形邻角互补、对边平行，及平行线的内错角相等是解题的关键．
先利用平行四边形邻角互补的性质求出的度数，再通过角平分线得到的度数，最后结合平行四边形对边平行的性质，利用内错角相等求出．
【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，
∴ AD∥BC，且
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴ ．
故选：B．
6．如图，点E为边延长线上的一点，连接，交于点O，交于点F．若，，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定；先由可得，由平行四边形的性质得，可得可判断A选项；由可判断B选项；由可计算出，可判断C选项；由平行四边形对角相等可判断D选项．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故A正确；
∵
∴
又∵
∴
故B正确；
∵
∴
∴
∵，，
∴
∴
故C正确；
∵四边形是平行四边形，
∴
∴与对应角不相等，
∴与不相似．
故D错误．
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过（ ）秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分．
A．3秒B．秒C．5秒D．6秒
【答案】D
【分析】连接，交于点，当经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分，然后计算出过点且平行于直线的直线解析式即可；
本题考查了平行四边形的性质，一次函数的平移，掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积是解题的关键．
【详解】解：连接，交于点，当经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线平行于，
∴，
∴，
将点代入，
解得，
∴直线的解析式为，
∴直线要向下平移个单位，
∴时间为秒，
故选：D．
8．如图，在平行四边形中，E是上一点，若，，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．9
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的知识，先利用平行四边形的性质得到，，则由得到，然后证明，再利用相似比可计算出的长．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故选：D．
9．如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，且相交于点F，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的面积之比为相似比的平方是解题的关键．
由平行四边形的性质可得，易证，结合可得，再根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
故选D．
10．如图，在中，点在边上，且，连接并延长交的延长线于点，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；由平行四边形的性质得出，，得到，推出，得到，据此求解即可．
【详解】解：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题
11．如图，在中，点在的延长线上，与交于点．若的面积为，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键．
利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
，
∵
∴，
，
，
．
故答案为：．
12．如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长为，且四边形的周长为，则的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定，周长的转化计算，通过证明三角形全等实现边的等量代换是解题关键．
利用平行四边形性质结合证，得，再结合平行四边形周长求出，然后将四边形周长转化为，进而解得．
【详解】解： 四边形为平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
平行四边形的周长为，
，即，
四边形的周长为，
．
故答案为：．
13．如图，在四边形中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，．连接，则的周长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、垂直平分线的性质，掌握平行四边形的对边相等，及垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
先根据且判定四边形是平行四边形，得到对边相等；再利用垂直平分线的性质得出；最后将的周长转化为，代入对应边长计算．
【详解】解：∵且，
∴ 四边形是平行四边形，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴
则的周长
．
故答案为：10．
14．如图，在中，若，于点，于点，与交于点，则 ．
【答案】62°
【分析】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案．
【详解】解：，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
，
，
，
．
故答案为：．
15．如图，在矩形中，是对角线，，，E，F分别是的中点，连接交于点G，则图中阴影部分的面积是 cm2．
【答案】2
【分析】先连接，得到，利用相似三角形的性质得到，进一步得到，再利用面积关系即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵E，F分别是的中点，
∴与平行，且
∴
∴，
∴，
∵在矩形中，是对角线，，，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
故答案为：2 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、三角形的中线性质以及三角形的中位线定理，解题关键是构造相似三角形求解．
16．将一张平行四边形纸片折叠成如图所示的图形，为折痕，点的对应点为．若，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折的变换，掌握翻折的性质、平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键．
由折叠的性质，得，，根据平行四边形的性质结合两直线平行同位角相等可得，再由三角形的内角和为可求出的度数，即为的度数．
【详解】解：如图，设与交于点．
由折叠的性质，得，，
．
四边形是平行四边形，
，
．
在中，，
－，
．
故答案为：．
三、解答题
17．如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行四边形的性质得到，由平行线的性质和对顶角相等推出，，据此证明，则可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
18．如图，在平行四边形中，连接，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，且．
(1)求证：；
(2)如果，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．
（1）平行四边形的性质，推出，根据，即可得到；
（2）根据相似三角形的性质，列出比例式，进行求解即可．
掌握相似三角形的判定方法和性质，是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
；
（2），
，
∴ ，
∴（负值已舍掉）．
19．如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法及性质．
（1）和中，易知，而和是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）在中，由勾股定理易求得的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，．
，，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在中，，
，
，即，
．
20．如图，，，，垂足分别为，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，则____________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先由等角推出与平行，再通过垂直条件和已知边相等，证明三角形全等得到，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形完成证明；
（2）利用平行四边形的性质得到边的长度，结合的直角三角形性质，求出相关线段长度，再用勾股定理计算．
【详解】（1）证明：，
，
．
，，
．
在和中：
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：由（1）得四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，．
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、角的直角三角形性质与勾股定理的应用，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，及直角三角形中角对的直角边为斜边的一半是解题的关键．
21．如下图，在边长为1的正方形中，是边的中点，是边上一点（不与点，重合），射线与的延长线交于点．
(1)求证：．
(2)若是的中点，连接，当时，求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用正方形的性质得到角相等、边相等，结合中点条件，通过证明三角形全等；
（2）先结合（1）的全等结论推出的长度，再利用正方形边长及的条件求出的长度，进而得到与 的关系，结合直角三角形斜边中线性质证明边平行且相等，从而判定平行四边形．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
．
是边的中点，
．
又，
．
（2）证明：，
．
，
．
，
．
是的中点，
．
在中，，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定、直角三角形斜边中线的性质、平行四边形的判定，解题关键是利用正方形的边与角的性质，结合全等三角形和直角三角形的性质，推导线段与角的关系，进而判定平行四边形．
图示
基本元素
主要内容
边
邻边
AD和AB，AD和DC，DC和BC，BC和AB，共有四对
对边
AB和DC，AD和BC，共有两对
角
邻角
∠BAD和∠ADC，∠ADC和∠DCB，∠DCB和∠ABC，∠ABC和∠BAD，共有四对
对角
∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC，共有两对
对角线
AC和BD，共有两条
图示
性质
数学语言
边
对边平行且相等
AB∥DC，AD∥BC，AB＝DC，AD＝BC
角
对角相等，邻角互补
∠BAD＝∠DCB，∠ABC＝∠CDA，∠BAD＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°等
对角线
对角线互相平分
AO＝CO，BO＝DO
距离
两点之间的距离
点到直线的距离
两条平行线之间的距离
区别
连接两点的线段的长度.
点到直线的垂线段的长度.
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平
行线之间的距离.
联系
都是指线段的长度.
类别
判定方法
图形
几何语言
边
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵四边形 ABCD 是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB = CD，AD = CB，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵ AB∥CD，AB = CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
∵∠A =∠C，∠B =∠D，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵AO = CO，DO = BO，
∴四边形ABCD 是平行四边形.