【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题4.3定义、命题与定理（全国通用版）练习（原卷版）

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专题3 定义、命题与定理
知识梳理
【考点一】 命题
1.命题 表示判断的语句叫做命题特别解读:(1)命题只是对事情进行判断，判断的结果可能是正确的，也可能是错误的，(2)命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语(3)命题必须具有“判断”作用，要对事情进行肯定或否定的判断，故命题不能是祈使句或疑问句
2.命题的结构 命题由条件和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项
3.命题的种类 (1)真命题:如果条件成立，那么结论一定成立.像这样的命题，叫做真命题(2)假命题:当条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立.像这样的命题，叫做假命题
4.举反例 要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子,说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了.在数学中，这种方法称为“举反例”
5.注意：
（1）命题常可以写成“如果...那么…”的形式，其中“如果”后接的部分是条件，“那么”后接的部分是结论。
（2）有些命题的条件和结论不明显，可将它经过适那么”的形式。当变形，改写成“如果.…，
【考点二】 定义与定理
1.定义 用不同的语句说明名词各自所包含的确切意义，这样的语句叫做这些名词的定义
2.基本事实 经过长期实践后公认为正确的命题,并作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实.例如(1)两点确定一条直线;(2)两点之间线段最短(3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行(5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
3.定理 有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理
4.命题、基本事实、定理之间的联系与区别:
（1）联系:基本事实和定理都是命题
（2）区别:基本事实、定理都是真命题，都可以作为判断其他命题真假的依据，只不过基本事实是最原始的依据:而命题不一定是真命题，因而不一定能作为判断其他命题真假的依据
【考点三】命题证明的一般步骤
1.证明 根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演经推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明
2.命题证明的一般步骤
第一步:分清命题的条件和结论，若命题与图形有关则根据题意,画出图形，并在图形上标出相关的字母和符号；第二步:根据条件、结论，结合图形,写出已知、求证；第三步:观察图形，分析证明思路，找出证明方法；第四步:写出证明的过程，并注明依据
3.推论 由一个定理直接推出的正确结论叫做这个定理的推论.例如“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”是定理“两条平行线被第三条直线所截同位角相等”的推论.推论和定理一样，可以作为进一步证明的依据
4.注意：
要证明一个命题是真命题，就要证明符合条件的所有情况，得出的结论都成立;要证明一个命题是假命题，只需要举出一个反例说明命题不成立即可
例题讲解
【题型一】判断是否是命题
◇典例1：
下列语句是命题的有（ ）个．
①你喜欢数学吗？②熊猫没有翅膀；③任何一个三角形一定有直角；④作线段AB=CD；⑤无论n是怎样的自然数，式子n2−n+11的值都是质数；⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
A．3B．4C．5D．6
◆变式训练
1.下列语句是命题的是（ ）
A．作AB∥CDB．若∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3
C．两条直线被第三条直线所截D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗
2.下列选项中不是命题的是（ ）
A．正数大于负数B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形的任意两边之和大于第三边D．如果a=b,a=c，那么b=c
【题型二】 写出命题的题设与结论
◇典例2：
“垂线段最短”的题设是 ，结论是 ．
◆变式训练
1.命题“度数之和为90°的两个角互为余角”的条件是（ ）
A．90°B．两个角C．度数之和为90°D．度数之和为90°的两个角
2.如果∠A>∠B,∠B>∠C，那么∠A>∠C，这个命题的条件是 ，结论是 ．
【题型三】判断命题真假
◇典例3：
如图，线段AC,BD相交于点O，连接AD,BC，并延长AD至点E，∠BCA的平分线与∠BDE的平分线相交于点M．①若∠A=2∠BCM，则AE∥BC；②若∠M=2∠BDM，则AE∥MC；③若∠A=∠B，则∠EDM+∠BCM=90°；④若∠ADO=∠BCO，则∠M−∠B=90°．以上命题中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
◆变式训练
1.命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”是 命题（真/假）．
2.命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线平行．其中是真命题的有 ．（请填写序号）
【题型四】举反例
◇典例4：
能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（ ）
A．∠1=82°，∠2=40°B．∠1=89°，∠2=2°
C．∠1=65°，∠2=30°D．∠1=30°，∠2=20°
◆变式训练
1.为说明命题“如果a=b，那么a=b”是假命题，你举出的一个反例是 ．
2.对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1=45°,∠2=45°B．∠1=30°,∠2=60°
C．∠1=60°,∠2=60°D．∠1=30°,∠2=40°
【题型五】定理与证明
◇典例5：
请举出一个关于角相等的定理： ．
◆变式训练
1.下列语句中，是定义的是（ ）
A．若两角之和为90°，则这两个角互余B．相等的角是对顶角
C．同角的余角相等D．延长BC至D使CD=BC
2.定理可以作为证明后续命题的 ，根据 ，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的 的和．
【题型六】写出一个命题的已知、求证及证明
◇典例6：
命题：直角三角形的两锐角互余．

(1)将此命题写成“如果…，那么…”：________________________；
(2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程．
◆变式训练
1.请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明．
定理：三角形的外角等于_____________________的和．
已知：
求证：
2.证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
已知：____________．
求证：____________．
证明：
【题型七】已知证明过程填写理论依据
◇典例7：
【教材呈现】下面是华师版七年级下册数学教材习题8.1第6题部分内容．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠A的度数，即可求∠D的度数．
①当∠A=60°时，∠D=___________度；当∠A=120°时，∠D=___________度；
②于是小明猜想∠D与∠A之间的数量关系为___________；
（2）以下是小明完成猜想证明的部分过程：
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=12∠ABC．
∵CD平分∠ACE，
∴∠DCE=∠ACD=12∠ACE．
请你补全缺失的证明过程．
【结论应用】（3）如图，在四边形ABCD中，BF平分∠ABC,CG平分外角∠DCE，连结FG．若∠A=140°，∠D=90°，则∠F+∠G=___________度．
◆变式训练
1.补全下列推理过程：
如图，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，试说明DG∥BA．
解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知），
∴∠BFE=∠BDA=90°（垂直的定义），
∴EF∥AD（____________）．
∴∠2=∠3（____________）．
∵∠1=∠2（已知），
∴____________（等量代换）．
∴DG∥AB（____________）．
2.如图，D是△ABC边BC上的一点，∠B=∠BAD，∠ADC=70°．
(1)求∠B的度数：请在解答过程的空白处填上适当的内容．（理由或数学式）
解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=70°（已知），
∴∠B+______=∠ADC=70°（______）．
又∵∠B=∠BAD（已知），
∴∠B=______°．（等量代换）
(2)若AD平分∠BAC，求∠C的度数．（请写出完整的解答过程）
【题型八】根据给出的论断组命题并证明
◇典例8：
如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题：
①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③m∥n．
从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由．
◆变式训练
1.如图，现有以下3个论断：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．

(1)请写出所有的真命题；
(2)请选择其中一个命题加以证明．
2.【阅读】在证明命题“如果a>b>0，cab+ac”时，小明的证明方法如下：
证明：∵a>b>0，
∴a2> ． ∴a2+bc> ．
∵a>b，c ． ∴ab+bc> ．
∴a2+bc>ab+ac．
【问题解决】
(1)请将上面的证明过程填写完整；
(2)有以下几个条件：①a>b，②a