【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题6.3 圆周角定理及其推论（全国通用版）练习（原卷版）

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知识梳理
【考点一】圆周角的概念
1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
【特征】 ① 角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交.
2、圆心角与圆周角的区别与联系
【考点二】 圆周角定理及其推论
圆周角定理：
（1）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半．如图，∠BAC=12∠BOC．

（2）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，AC=BD⇒∠ABC=∠BAD．
2.圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
如上图，AB是直径⇒∠ACB=∠ADB =90°；∠ACB=90°⇒AB是直径．
【考点三】圆内接四边形及其性质
1、圆内接四边形：一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆.
2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，
∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°.
例题讲解
【题型一】圆周角的概念
◇典例1：
如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
◆变式训练
1.下列各图中，∠BAC为圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
2.如图，点A,B,C在⊙O上，点D在⊙O外，CD与⊙O交于点E，AC，BE于点F．下列角中，弧AE所对的圆周角是（ ）
A．∠ADEB．∠ABEC．∠AFED．∠AOE
【题型二】圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半
◇典例2：
如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知OD⊥AB于点D，∠BOD=70°，则∠C的度数为 ．
◆变式训练
1.如图，点△ABC内接于⊙O，连结OA、OC．若∠ABC=35°，则∠OAC的大小为（ ）
A．45°B．55°C．65°D．70°
2.如图，BC为⊙O的弦，点A，D在⊙O上，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=23，则OC的长为 ．
【题型三】同弧或等弧所对的圆周角相等
◇典例3：
如图，在⊙O中，弦AB,CD相交于点P，∠A=40∘，∠B=35∘，则∠APD的度数为（ ）
A．75∘B．65∘C．70∘D．80∘
◆变式训练
1.如图，△ABC内接于⊙O，点D为劣弧AB上一点，连接OB、OD、BD，若BC=BD，∠D=50°，则∠A的度数为 °．
2.如图，△ABC内接于⊙O，DE为⊙O的直径，且DE⊥AB于点F，连接CE．若∠A=35°，∠CED=15°，则∠B的度数为（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
【题型四】直径所对的圆周角是直角
◇典例4：
如图，在以点O为圆心的半圆中，AB是直径，AD+BC=CD，连接AC，BD交于点E，连接OC交BD于点F，若CE=12AB，则CE:CA的值是（ ）
A．23B．22C．34D．33
◆变式训练
1.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，DC，且AD=BD，则∠ACD= 度．
2.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D为⊙O上一点，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，交⊙O于点F，DF=AC，连接OD，BC．若DF=4AE=8，则BC的长为 ．
【题型五】90°的圆周角所对的弦是直径
◇典例5：
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，∠BAC=30°，若点D在⊙O上，且∠BAD=60°，则CD长为 ．
◆变式训练
1.如图，Rt△ACB的斜边与半圆的直径AB重合放置，∠ACB=90°，点M为AB上任意一点，连接CM交半圆于N点，连接BN，若∠ABC=35°，则∠BNC的度数为（ ）
A．60°B．55°C．50°D．30°
2.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P过原点，且与x轴、y轴交于点A，B，点A的坐标为6,0，⊙P的直径为10．则点B的坐标为 ．
【题型六】圆内接四边形对角互补
◇典例6：
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AB∥CD，∠B=70°，连接AC，则∠CAD的度数为（ ）
A．25°B．28°C．30°D．35°
◆变式训练
1.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E为BC上任意一点，连接BE，CE，则∠BEC= ．
2.如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，连接DC、DA、OA，OA⊥BC，若∠ADC=25°，则∠CAB的度数是（ ）
A．140°B．130°C．120°D．110°
【题型七】圆周角定理的实际应用
◇典例7：
筒车作为我国古代伟大的水利灌溉发明，在水利发展史上意义非凡．图②是从正面看到的一个筒车（图①）的形状示意图，筒车⊙O与水面分别交于点A，B，连接PA，PB，点M在AB的延长线上．若∠PBM=110°，则∠APC的度数为（ ）
A．20°B．30°C．55°D．70°
◆变式训练
1.如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是56°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
2.司南（如图1）是我国古代辨别方向用的一种仪器，是指南针的始祖．司南的中间为一圆形，如图2，圆心为O，根据八个方位将⊙O八等分（图2中的点A∼H为八个等分点），连接AD、AH、DG，AH与DG的延长线交于点P，则∠P的度数为（ ）
A．60°B．50°C．45°D．30°
【题型八】圆周角定理与三角板的综合运用
◇典例8：
如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AC重合，其中量角器0刻度线的端点P与点C重合，射线BD从BC处出发绕点B沿逆时针方向以每秒2度的速度旋转，BD与量角器的半圆弧交于点E，第13秒时，点E在量角器上对应的读数是 度．
◆变式训练
1.如图所示，活动课中顺顺将直角三角板45°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于点A，B．他发现量出AB的长，就可求⊙O的半径，当AB=8时，⊙O的半径为（ ）

A．22B．23C．4D．42
2.如图，含30°角的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半圆上，若点D在量角器上对应的读数是50°，则∠CAD的度数是 ；

【题型九】利用圆周角定理解决格点中的求值问题
◇典例9：
如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，每个小正方形的边长为1，M、N分别是AB、BC上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM、PN，则满足∠MPN=45°的点P有（ ）个
A．3B．4C．5D．6
◆变式训练
1.如图，网格图中的每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D为格点，设经过图中格点A、B、C三点的圆弧与AD交于E，则AE的长为 ．
2.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段AB的长为 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点M，使∠MCB+∠BAC=90°，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明） ．
真题在线
一、单选题
1．（2025·四川·中考真题）如图，点A，B，C在上，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·西藏·中考真题）如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，，为的弦，连接，，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·青海·中考真题）如图，是的直径，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为 ．
10．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，四边形内接于，，连接、，则 ．
11．（2025·江苏南京·中考真题）如图，扇形的圆心角为，若点在该扇形内，则的度数的范围是 ．
12．（2025·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦．若，，则 ．
三、解答题
13．（2025·西藏·中考真题）如图，是的直径，点C在上，，过点C的切线交的延长线于点D．求证：．
14．（2025·宁夏·中考真题）如图，四边形内接于⊙平分，连接．
(1)求证：；
(2)延长至点，使，连接．求证：．
15．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接．
(1)设，则 ；（用含的式子表示）
(2)求证：；
(3)若，求的长．
专项练习
一、单选题
1．如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，弦，都是的直径，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在圆形纸片圆O中，为直径．把纸片折叠，使点A与点B重合，折痕为，把纸片再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，，是半径为1的的弦，D为上的动点，M，N 分别为， 的中点，则的值等于线段（ ）的长．
A． B．C．D．
5．如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是半圆的直径，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，与相切于，，与交于，延长与交于．若，则为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，内接于是的直径，若，则的度数是（）
A．B．C．D．
10．如图，为的弦，点在上，，，，则的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．如图，是的直径，、是的两条弦，连接，，平分，则的度数为 ．
12．如图，为半圆O的直径，，为半圆O的弦，D为的中点，于点M，若，则的长为 ．
13．如图，是的直径，为上一点，，为圆上一动点，为的中点，连接，若的半径为4，则的取值范围是 ．
14．如图，以为直径的半圆上，，点是半圆弧上的任意点，点是的中点，连接交于点，平分交于点，则 度；当时，的长为 ．
15．如图，四边形内接于，为的直径．若，，则 ．
16．如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，过，，三点的圆交边于点，两点，则线段的最大值是 ．
三、解答题
17．如图，四边形内接于，，点E在延长线上，且，求证：是的切线．
18．如图，已知是半圆的直径，是半圆上的一点，连接，并延长到点，使，连接．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分的面积．
19．如图，，分别是半圆的直径和割线，弦平分，与交于，于，．
(1)求证：是半圆的切线；
(2)若，，求的长．
20．如图，的直径为10，弦为6，的平分线交于点D．

(1)求的大小；
(2)求，的长．
21．如图，是的内接三角形，，点是弧上异于，的一个动点，射线交底边所在的直线于点，连接交于点．
(1)求证：．
(2)若，
①求的值；
②当时，求的长．
圆心角
圆周角
区 别
顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的.
在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个.
联 系
两边都与圆相交