广西壮族自治区崇左市九年级上学期1月期末考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广西壮族自治区崇左市九年级上学期1月期末考试数学试题（解析版）-A4，共22页。
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 的值为（ ）
A B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角形函数值．
根据特殊角的三角形函数值解答即可．
【详解】解：，
故选：A．
2. 在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的定义进行判断即可．
【详解】解：A．是二次函数，故A符合题意；
B．是一次函数，故B错误；
C．时，不是二次函数，故C错误；
D．时右边是分式，不是二次函数，故D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如的函数叫做二次函数．
3. 在Rt中，，，，则的值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，根据余弦等于邻边比斜边求解即可．
【详解】解：如图：
在Rt中，．
故选：B．
4. 把二次函数化为的形式，下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数解析式的顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键．
根据配方法，把二次函数的解析式转化成顶点式即可求解．
详解】解：
，
故选：B．
5. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ）

A. 千米B. 千米C. 千米D. 千米
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解
【详解】解：由题意得：
∴千米
故选：A
6. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是（ ）
A. B. C. 3D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
将点和代入，求得和，再相加即可．
【详解】解：∵函数的图象经过点和，
∴有，
∴，
故选：D．
7. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（ ）
A. 1：4B. 4：1C. 1：2D. 2：1
【答案】D
【解析】
【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形，接着证明，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．
【详解】如图：由题意可知，，，
∴，
而，
∴四边形DCBM为平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．
8. 已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，该运动员此次掷铅球的成绩就是抛物线与x轴交点的横坐标，因此令，解一元二次方程即可．
【详解】解：令，则：，
解得：x=-1（舍去），，
则该运动员此次掷铅球的成绩是，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系在实际生活中的应用，理解题意是关键．
9. 若点为线段的黄金分割点，且，则下列各式中不正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据黄金分割点的定义逐项排除即可．
【详解】解：∵点为线段的黄金分割点，且，
∴，
∴，则选项A正确；
∵点为线段的黄金分割点，且，
∴，则选项C错误；选项D正确；
，则选项B正确.
故选：C．
【点睛】本题考查了成比例线段，熟练掌握黄金分割的定义成为解答本题关键．
10. 如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了2m，此时小球距离地面的高度为（ ）
A. 5mB. 2mC. 2mD. m
【答案】C
【解析】
【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．
【详解】解：∵AB＝2m，tanA＝＝．
∴设BC＝x，AC＝2x，
由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，
即（2）2＝x2+4x2，
解得：x＝2，
故小球距离地面的高度为2m．
故选C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．
11. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交于点，连接，已知，，则的面积为（ ）
A. B. C. D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，中垂线的性质，等边三角形的判定和性质，根据作图可知，垂直平分，推出为等边三角形，根据平行四边形的性质，得到，进而求出的面积即可．
【详解】解：根据作图可知，垂直平分，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故选：B．
12. 在二次函数，与的部分对应值如下表：
则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③当时，随增大而增大；④图象经过点；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A. ①②③④B. ①②③⑤C. ①②④⑤D. ①③④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】结合图表可以得出当或2时，；时，，根据待定系数法可求出二次函数解析式，从而根据二次函数的性质判断．
【详解】解：∵由图表可以得出当或2时，；时，，
∴，
解得：，
∴，
∵，∴图象经过原点，故①正确；
∵，
∴抛物线开口向上，故②错误；
∵抛物线的对称轴是，
∴时，y随x的增大而增大，故③正确；
把代入得，，
∴图象经过点，故④正确；
∵抛物线与x轴有两个交点、，
∴有两个不相等的实数根，故⑤正确；
综上，正确的有①③④⑤．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟知二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13. 如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F．若AB＝2，CB＝4，DE＝3，则EF＝_________．
【答案】EF=6
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出即可．
【详解】∵a∥b∥c，
∴，
∵AB=2，CB=4，DE=3，
∴，
∴EF=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键．
14. 在中，、都是锐角，如果，，那么______．
【答案】105°
【解析】
【分析】先根据特殊角的三角函数值得出锐角、的值，再根据三角形的内角和定理即可得出答案
【详解】解：∵，，
∴，，
∴；
故答案为105°
【点睛】本题考查了由特殊角的函数值求角度，以及三角形的内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键
15. 如图，，，其中，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．
利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为_______．
【答案】(，0)
【解析】
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A的坐标，进而求得A＇的坐标，从而可以求得直线A＇B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，从而可以解答本题
【详解】解：作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y=ax2-4x+c(a0)与反比例函数y= 的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0,6），
∴点B（3,3），
∴
解得，
∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2
∴点A的坐标为（2,2），
∴点A＇的坐标为（2，-2），
设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n
∴
∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12,
令y=0,则0=5x-12得x=,
故答案为（）
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明或演算步骤．）
17. 计算：．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂．
先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得．
【详解】解：
．
18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴负半轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于，两点．
（1）求一次函数的解析式，并画出一次函数的图象；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）求的面积．
【答案】（1），图象见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求解析式，然后描出点，作直线即可画出一次函数图像；
（2）联立一次函数与反比例数解析式求得点的坐标，结合函数图象即可求解．
（3）根据一次函数解析式求得点的坐标，进而根据即可求解．
【小问1详解】
解：∵一次函数经过，，
∴，
解得：，
∴，
如图所示，
【小问2详解】
解：∵反比例函数过点，
∴，
解得：或，
∴，
∵即，
根据函数图象可知：
【小问3详解】
解：如图，连接，
∵，令，解得：，
∴,
∴．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键．
19. 在中，交于点，交的延长线于点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法；
（1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似；
（2）根据相似三角形的性质对应边成比例求出AB的长，根据四边形的对边相等可得，即可求解．
【小问1详解】
证明：由四边形为平行四边形可知，，
，
，
又，
．
【小问2详解】
解：由（1）得，
，
∵，，
，解得
∴，
在平行四边形中，．
20. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据等腰三角形的性质计算出的值；
（2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可．
【小问1详解】
解：在中，，
∴，
∴，
【小问2详解】
解：由题可知，
∴，
又∵，
∴，
∴．
21. 如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD＝∠C，AD＝4，BC＝9，锐角∠DBC正弦值为．求：
（1）对角线BD的长；
（2）梯形ABCD的面积．
【答案】（1）6；（2）26
【解析】
【分析】（1）根据已知条件证明，即可得解；
（2）过点D作，根据正弦值得到，再根据梯形的面积计算即可；
【详解】（1）∵AD∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AD＝4，BC＝9，
∴；
（2）过点D作，
则，
∵锐角∠DBC的正弦值为，
∴，
∵，
∴，
∴梯形ABCD的面积为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，准确计算是解题的关键．
22. 无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
（1）填空：___________度，___________度；
（2）求楼的高度（结果保留根号）；
（3）求此时无人机距离地面的高度．
【答案】（1）75；60
（2）米
（3）110米
【解析】
【分析】（1）根据平角的定义求，过点A作于点E，再利用三角形内角和求；
（2）在中，求出DE的长度再根据计算即可；
（3）作于点G，交于点F，证明即可．
【小问1详解】
过点A作于点E，
由题意得：
∴
【小问2详解】
由题意得：米，．
在中，，
∴，
∴
∴楼的高度为米．
【小问3详解】
作于点G，交于点F，
则
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴（AAS）．
∴．
∴
∴无人机距离地面的高度为110米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
23. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线最高点的坐标；
（3）斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．
【答案】（1）
（2）
（3）这棵树的高为2
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解；
（3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明，利用相似三角形的性质求得，，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵点是抛物线上的一点，
把点代入中，得：，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：由（1）得：，
∴抛物线最高点对坐标为；
【小问3详解】
解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D，
∵，，
∴，
∴，
又∵点B是的三等分点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
解得，
∴，
解得，
∴点C的横坐标为1，
将代入中，，
∴点C坐标为，
∴，
∴，
答：这棵树的高为2．
…
0
2
3
…
…
8
0
0
3
…