广西壮族自治区崇左市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份广西壮族自治区崇左市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1. 的值为（ ）
A B. 1C. D.
【答案】A
【解析】，
故选：A.
2. 在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A.是二次函数，故A符合题意；
B.是一次函数，故B错误；
C.时，不是二次函数，故C错误；
D.时右边是分式，不是二次函数，故D错误；
故选：A.
3. 在Rt中，，，，则的值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】如图：
在Rt中，.
故选：B.
4. 把二次函数化为的形式，下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
，
故选：B.
5. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ）
A. 千米B. 千米
C. 千米D. 千米
【答案】A
【解析】由题意得：
∴千米
故选：A.
6. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是（ ）
A. B. C. 3D. 0
【答案】D
【解析】∵函数的图象经过点和，
∴有，
∴，
故选：D.
7. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（ ）
A. 1：4B. 4：1C. 1：2D. 2：1
【答案】D
【解析】如图：由题意可知，，，
∴，
而，
∴四边形DCBM为平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴.
故选：D.
8. 已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，则：，
解得：x=-1（舍去），，
则该运动员此次掷铅球的成绩是，
故选：B.
9. 若点为线段的黄金分割点，且，则下列各式中不正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵点为线段的黄金分割点，且，
∴，
∴，则选项A正确；
∵点为线段的黄金分割点，且，
∴，则选项C错误；选项D正确；
，则选项B正确.
故选：C.
10. 如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了2m，此时小球距离地面的高度为（ ）
A. 5mB. 2mC. 2mD. m
【答案】C
【解析】∵AB＝2m，tanA＝＝.
∴设BC＝x，AC＝2x，
由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，
即（2）2＝x2+4x2，
解得：x＝2，
故小球距离地面的高度为2m.
故选C.
11. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交于点，连接，已知，，则的面积为（ ）
A. B. C. D. 16
【答案】B
【解析】根据作图可知，垂直平分，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴.
故选：B.
12. 在二次函数，与的部分对应值如下表：
则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③当时，随增大而增大；④图象经过点；⑤方程有两个不相等的实数根.其中正确的是（ ）
A. ①②④⑤B. ②③④⑤
C. ①②③④D. ①③④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】结合图表可以得出当或2时，；时，，根据待定系数法可求出二次函数解析式，从而根据二次函数的性质判断.
【解析】∵由图表可以得出当或2时，；时，，
∴，
解得：，
∴，
∵，∴图象经过原点，故①正确；
∵，
∴抛物线开口向上，故②错误；
∵抛物线的对称轴是，
∴时，y随x的增大而增大，故③正确；
把代入得，，
∴图象经过点，故④正确；
∵抛物线与x轴有两个交点、，
∴有两个不相等的实数根，故⑤正确；
综上，正确的有①③④⑤.
故选：D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）
13. 如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F.若AB＝2，CB＝4，DE＝3，则EF＝_________.
【答案】EF=6
【解析】∵a∥b∥c，
∴，
∵AB=2，CB=4，DE=3，
∴，
∴EF=6，
故答案为：6.
14. 在中，、都是锐角，如果，，那么______.
【答案】105°
【解析】∵，，
∴，，
∴；
故答案为：105°.
15. 如图，，，其中，则______.
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
16. 如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为_______.
【答案】(，0)
【解析】作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y=ax2-4x+c(a0)与反比例函数y= 的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0,6），
∴点B（3,3），
∴ 解得，
∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2
∴点A的坐标为（2,2），
∴点A＇的坐标为（2，-2），
设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n
∴
∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12,
令y=0,则0=5x-12得x=,
故答案为（）
三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明或演算步骤.）
17. 计算：.
解：
.
18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴负半轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于，两点.
（1）求一次函数的解析式，并画出一次函数的图象；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）求的面积.
解：（1）∵一次函数经过，，
∴，
解得：，
∴，
如图所示，
（2）∵反比例函数过点，
∴，
解得：或，
∴，
∵即，
根据函数图象可知：
（3）如图，连接，
∵，令，解得：，
∴,
∴.
19. 在中，交于点，交的延长线于点，且.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
（1）证明：由四边形为平行四边形可知，，
，
，
又，
.
（2）解：由（1）得，
，
∵，，
，解得
∴，
在平行四边形中，.
20. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习.
【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水.（直线为法线，为入射光线，为折射光线.）
【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角.
【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）.
（参考数据：，，）
解：（1）在中，，
∴，
∴，
（2）由题可知，
∴，
又∵，
∴，
∴.
21. 如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD＝∠C，AD＝4，BC＝9，锐角∠DBC正弦值为.求：
（1）对角线BD的长；
（2）梯形ABCD的面积.
解：（1）∵AD∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AD＝4，BC＝9，
∴；
（2）过点D作，
则，
∵锐角∠DBC的正弦值为，
∴，
∵，
∴，
∴梯形ABCD的面积为.
22. 无人机在实际生活中应用广泛.如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为.已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）.
（1）填空：___________度，___________度；
（2）求楼的高度（结果保留根号）；
（3）求此时无人机距离地面的高度.
解：（1）过点A作于点E，
由题意得：
∴
（2）由题意得：米，.
在中，，
∴，
∴
∴楼的高度为米.
（3）作于点G，交于点F，
则
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴（AAS）.
∴.
∴
∴无人机距离地面的高度为110米.
23. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处.小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线最高点的坐标；
（3）斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度.
解：（1）∵点是抛物线上的一点，
把点代入中，得：，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）得：，
∴抛物线最高点对坐标为；
（3）过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D，
∵，，
∴，
∴，
又∵点B是的三等分点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
解得，
∴，
解得，
∴点C的横坐标为1，
将代入中，，
∴点C坐标为，
∴，
∴，
答：这棵树的高为2.…
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