广西壮族自治区崇左市宁明县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份广西壮族自治区崇左市宁明县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1.的值等于（ ）
A.B.C.1D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
2.抛物线的对称轴方程是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】抛物线的对称轴直线为，
故选：C.
3.2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】A、文字上方的图案不是中心对称图形，不符合题意；
B、文字上方的图案不是中心对称图形，不符合题意；
C、文字上方的图案不是中心对称图形，不符合题意；
D、文字上方的图案是中心对称图形，符合题意；
故选：D .
4.如图，是的半径，，是上的点，连接，，，若，则等于（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】，
.
故选：C.
5.已知，则的值为（ ）
A.B.C.D.19
【答案】A
【解析】∵，∴，
设，得到，，
∴，
故选：A.
6.若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】把点代入反比例函数得，，解得，
，
该图象也过点.
故选：D.
7.如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在网格的格点上，连接，则等于（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】如图：延长到点D，连接
由题意得∶，
，
∴
故选：B.
8.如图，在平面直角坐标系中，和是位似三角形，且，若点，则点B的坐标为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】和是位似三角形，且，则位似比为，点，
∴点B的坐标为，
故选：A.
9.雁门关，位于我省忻州市雁门山中，是长城上的重要关隘，以“险”著称，被誉为“中华第一关”，由于地理环境特殊，行车高速路上的隧道较多，如图①是雁门关隧道，其截面为抛物线型，如图②为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直直角坐标系.经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】∵，抛物线的顶点P到的距离为，
∴，，
设抛物线的表达式为，
把代入得：，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线表达式为，
故选：D.
10.如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点.若格点、在函数的图象上，则的值为（ ）
A.6B.12C.24D.48
【答案】B
【解析】根据图象可知，点的横坐标为2，点的横坐标为4，设点的坐标为，则点的坐标为，
∵点、在函数的图象上，
∴，
解得：，
∴点的坐标为，
∴，
故选：B.
11.已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第一、三象限，则，
∴函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∵反比例函数与一次函数的图象有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴函数的图象开口向上，对称轴为直线，，
∴函数的图象与x轴有两个交点.
故选：B.
12.如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升______.
A.70B.70或170C.100D.100或200
【答案】B
【解析】如图所示：，
由题意，
根据垂径定理，得，，
∵直径为，半径，
∴在中，，
∴
∴在中，，
∴，
①当在圆心下方时，，
②当在圆心上方时，，
故选：B.
二、填空题
13.计算： .
【答案】2
【解析】；
故答案为2.
14.将抛物线向左平移2个单位再向上平移1个单位得到新抛物线，则新抛物线对应的函数表达式是 .
【答案】
【解析】由“左加右减”的原则可知，将抛物线先向左平移2个单位可得到抛物线；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线再向上平移1个单位可得到抛物线.
故答案为：
15.如图，在平行四边形中，点在边上，连接，交对角线于点.如果，，那么 .
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
16.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得最大，则P点的坐标为 .
【答案】
【解析】由题意可知：A、B、的坐标分别为、，
∴对称轴直线为：
∴顶点C的坐标为，
如图，当P、C、B不在同一条直线上，根据三角形的三边关系有：，
∴当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值.
设的解析式为，
则，
解得：
∴的解析式为：，
当时，则，
则点P的坐标为
故答案为.
三、解答题
17.已知二次函数（是常数）.
（1）若，求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）若该二次函数图象与轴没有交点，求的取值范围.
解：（1）∵，
∴
∴
∴该二次函数图象的顶点坐标为
（2）该二次函数图象与轴没有交点，则方程的
即
解得
18.如图，九年级（1）班的小明与小艳两位同学去操场测量旗杆的高度，已知直立在地面上的竹竿的长为.某一时刻，测得竹竿在阳光下的投影的长为
（1）请你在图中画出此时旗杆在阳光下的投影，并写出画图步骤；
（2）在测量竹竿的影长时，同时测得旗杆在阳光下的影长为，请你计算旗杆的高度.
解：（1）如图所示，线段即为所求；
连接，过点D作，交直线于点F，线段即为旗杆在阳光下的投影
（2）∵，
.
，
.
，即，
∴
旗杆的高度为.
19.如图，在山顶上有一座电视塔，为了测量山高，在地面上引一条基线，测得，，，已知电视塔高，求山高的值.
解：设米，在中，，
则有(米)，
（米）,
在中，，
为等腰直角三角形，
，
，
即，
解得：（米），
即山高的值为米.
20.我们已经知道叫做黄金数，其近似值为，它可通过解方程得到.如图，给定一条线段，如何找出它的黄金分割点呢？
我们通过如下作图来达到要求：
（1）过点作的垂线，并在垂线上取；
（2）连接，以点为圆心，为半径画弧，交于点；
（3）以点为圆心，为半径画弧，交于点.则点即为所求.请你说明这样作图的道理.
解：设，则，设，即，，
∵为直角三角形，
∴，
即，
化简得，
∴，（舍去），
∴ 即 ，
∴所以点为黄金分割点.
21.如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点.
（1）求和双曲线的函数关系式；
（2）直接写出当时，不等式的解集；
（3）若点P在x轴上，连接把的面积分成两部分，求此时点P的坐标.
解：（1）把点代入，得，
∴，
把分别代入，，得，
解得，
∴，.
（2）∵当时，由，
∴，
去分母得，
∴，
∴与相交时两横坐标分别为1，3，
根据图象可知不等式的解集是.
（3）∵直线，，
∴，
设，则；
∴，
∵把的面积分成两部分，
当时，得，
解得，
故；
当时，得，
解得，
故；
故点的坐标为或.
22.如图，在矩形中，已知，，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动.如果E，F同时出发，用秒表示运动的时间.请解答下列问题：
（1）当t为何值时，是等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与相似？
解：（1）当时，是等腰三角形，
，
.
∴当时，是等腰直角三角形
（2）①当时，，
，
.
②当时，，
，
，
综上所述，当或时，以点，，为顶点的三角形与相似.
23.如图，已知二次函数的图像与轴的一个交点为，与轴的交点为，过，的直线为.
（1）求二次函数的解析式及点的坐标；
（2）在两坐标轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由.
解：（1）将代入，得，
解得，
二次函数的解析式为，
点是二次函数与轴的交点
∴点的横坐标为0，
将带入解析式中，求得，
∴点的坐标为；
（2）存在，满足题意的点，使得是等腰三角形.
∵，，
∴，且，
∴，
第一种情况：当使得是以为底边的等腰三角形，点在线段的垂直平分线上，如图所示，
①当点在轴上时，，设，
，，
，
解得，此时；
②当点在轴上时，，设，
，，
，
解得，
此时；
第二种情况：为腰时，以点为圆心画半径为5画圆弧，除点外有3个交点，即有3个点满足要求此时，，；
第三种情况：为腰时，以点为圆心画半径为5画圆弧，除点外有3个交点，即有3个点满足要求此时，，；
综上所述：存在，，，，，，，使得是等腰三角形.