广西壮族自治区桂林市九年级上学期期末考试数学试题 （解析版）-A4

这是一份广西壮族自治区桂林市九年级上学期期末考试数学试题 （解析版）-A4，共19页。
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．
2．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
3．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项.
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1. 若一元二次方程的二次项系数为1，则常数项为（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是明确常数项是不含字母的项，直接判断即可．
【详解】一元二次方程的二次项系数为1，则常数项为，
故选：D．
2. 已知线段，其中，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了比例性质，解题关键是把字母的值代入，再利用比例的性质求解．
【详解】解：∵，其中，，，
∴，
解得
故选：A．
3. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点，解题关键是明确反比例函数图象上的点的横纵坐标乘积等于比例系数k，据此逐项判断即可．
【详解】解：∵，，，，
∴在反比例函数的图象上，
故选项B符合题意，
故选：B．
4. 一元二次方程根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 有两个正的实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况即可．
【详解】解：一元二次方程根的判别式，
所以一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
5. 一城市准备选购一千株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化,有四个苗圃生产基地投标（单株树苗的价格都一样）.采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下：请你帮采购小组出谋划策，应选购（ ）
A. 甲苗圃的树苗B. 乙苗圃的树苗
C. 丙苗圃的树苗D. 丁苗圃的树苗
【答案】D
【解析】
【详解】根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．再根据树苗的高度的平均数，选择丁苗圃的树苗．
解：根据表中数据可知甲、丁的方差小，波动小，树苗较整齐；
而甲树苗的高度为1.8m，丁树苗的高度为2.0m，根据题意选择丁苗圃的树苗.
故选D.
6. 用配方法解一元二次方程，则配方后所得的方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是掌握配方法的过程．根据解题步骤判断即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：C．
7. 如图1是某班级的三角形花架，图2是其侧面示意图，已知，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握定理，根据定理列出比例式；
根据，列出，求出的长即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
8. 如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，解题关键是恰当选择三角函数．利用正弦定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵米，坡角，
∴米，
故选：D．
9. 如图，和是直立在地面上的两根立柱，的长为6米，某一时刻在阳光下的投影米，在阳光下的投影长为8米，则的长为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行投影，根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建比例关系即可得出的长．
【详解】解：如图，
在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为8米，
∵，米，米，米，
，
，
∴．
故选：C．
10. 若反比例函数的图象位于第一，三象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数（是常数，）的图象与性质：当时，反比例图像在一、三象限；当时，反比例函数图像在第二、四象限内；解不等式．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可．
详解】解：根据题意得，，
解得，，
故答案为：B．
11. 今年政府继续支持家电以旧换新，涵盖了冰箱，洗衣机，电视，空调等8类家电商品．桂林出台最高补贴标准为按每件销售价格的给予补贴（每位消费者仅补贴一件，且补贴不得超过2000元）．李老师今年购买某品牌的全自动洗衣机一台，享受最高补贴后实际支付了2961元．已知此品牌的全自动洗衣机当时的售价是从4800元经过连续两次降价后的价格，且每次降低的百分率相同，设每次降低的百分率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设这个百分率为，根据4800元的商品，按每件销售价格的给予补贴，经过连续两次降价后的价格为2961，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这个百分率为，根据题意得：
，
故选：B．
12. 我们学过“黄金分割”，知道“黄金分割”应用广泛，与之对应，还有一种分割叫“白银分割”．日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的纸（图①），对折后分割成两个全等并与纸相似的纸（图②），这就是一个“白银分割”的例子．图中纸长边与短边的比值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似图形的性质，解题关键是根据题意列出比例式，通过设参数求解即可．
【详解】解：设纸长边与短边分别为x和y，
则纸长边与短边分别为y和，
根据对折后分割成两个全等并与纸相似的纸，
所以，
所以，
故图中纸长边与短边的比值为，
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡上）
13. 若，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，比例的性质，把整体代入即可求解．
【详解】解：，则，
故答案为：2．
14. 已知为锐角，若，则______．
【答案】45
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊锐角三角函数值，解题的关键是熟记特殊角度的三角函数值．
根据为锐角，且，即可求出的度数．
【详解】∵为锐角，且，
∴．
故答案为：45．
15. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．设另一个根为，则，即可求解．
【详解】解：设另一个根为，
∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，
解得：，
故答案为：．
16. 青蛙是我们人类的朋友，为了了解某池塘里青蛙的数量，先从池塘里捕捞只青蛙，作上标记后放回池塘，经过一段时间后，再从池塘中捕捞出40只青蛙，其中有标记的青蛙有只，估计这个池塘里大约有________只青蛙．
【答案】200
【解析】
【分析】从池塘中捕捞出40只青蛙，其中有标记的青蛙有4只，即在样本中有标记的所占比例为，而在整体中有标记的共有20只，根据所占比例即可解答．
【详解】∵从池塘中捕捞出40只青蛙，其中有标记的青蛙有4只，
∴在样本中有标记的所占比例为，∴池塘里青蛙的总数为20÷=200．
【点睛】本题主要考查的是利用抽样调查的方式估算样本容量，属于中等难度的题型．根据样本得出比例是解决这个问题的关键．
17. 如图，已知点在反比例函数的图象上，轴交轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，由轴，得，根据反比例函数的性质，得，结合函数图象在二、四象限，确定k值即可．
本题考查了平行线的性质，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：连接，
由轴，得，
根据反比例函数的性质，得，
由函数图象在二、四象限，
得．
故答案为：．
18. 如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当______时，与相似．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据题意分类讨论，列出比例式，根据比例式求出运动时间．
【详解】解：点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，
则，，，
∵，
当时，，
∵，，
∴，
解得，；
当时，，
∵，，
∴，
解得，；
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8题，共72分，请将解答过程写在答题卡上）
19. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，解题关键是熟记特殊角三角函数值，代入数值后准确计算即可．
【详解】解：原式．
20. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键熟练掌握配方法，利用配方法解方程即可．
【详解】解：移项，得，
配方，得，
即，
开平方，得，
解得，．
21. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角：
（1）由等边对等角，得，结合，即可作答；
（2）因为相似，所以，直接代数计算，即可作答．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵
∴
∵，
∴
解得
22. 如图，在边长为1的小正形组成的网格中建立平面直角坐标系，以原点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍后得到，其中在图中格点上，点的对应点分别为、．
（1）在第一象限内画出；
（2）求的面积．
【答案】（1）作图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查网格中位似作图及求三角形面积，涉及位似性质和在网格中间接求三角形面积，数形结合，掌握位似性质是解决问题的关键．
（1）根据位似图形性质，数形结合，将的坐标扩大2倍即可得到答案；
（2）数形结合，间接表示，用矩形面积减去三个顶点构成的直角三角形面积即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示：

即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示：

．
23. 学校组织七、八年级学生参加了体能测试．已知七、八年级各有600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成缋（单位：分）进行统计：
七年级 90，94，79，84，71，76，90，83，86，87
八年级 75，76，90，87，78，93，88，87，87，79
整理如表，根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出表中，的值；
（2）小明同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是哪个年级的学生？请说明理由；
（3）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数．
【答案】（1），
（2）小明是七年级学生，见解析
（3）660人
【解析】
【分析】本题考查了数据的分析，解题关键是明确平均数、中位数、众数和方差的意义及求法，根据这些数据解题．
（1）根据中位数和众数的意义求出数值即可；
（2）根据小明的成绩位于年级中等偏上水平，说明他的成绩高于中位数，据此判定即可；
（3）根据样本中达到“优秀”的学生人数估计总体达到“优秀”的学生总人数即可．
【小问1详解】
解：七年级出现最多的数据是90，所以，
八年级处于中间的两个数都是87，所以．
【小问2详解】
解：小明是七年级学生；
因为小明得分86分，大于七年级中位数85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断小明是七年级学生．
【小问3详解】
解：（人）.
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为660人．
24. 【学科综合】我们知道：光线从空气中射入水中，会发生折射现象（如图1），我们把称为光线从空气射入水中的折射率（其中代表入射角，代表折射角）．
【观察实验】为了观察光线从空气射入水中的折射现象，设计了图2所示的实验，用激光笔发射激光，图3是实验的示意图，矩形为水槽的截面图，水槽未注水时，点发出的一束激光正好在水槽底端处形成光斑；保持激光入射角度不变，注满水后，光斑移动到点，点，，在同一直线上，测得，．
（1）求的值；
（2）若，求光线从空气射入水中的折射率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
（1）过点作，垂足为，先根据矩形的判定与性质可得，，再在中，解直角三角形可得的值，由此即可得；
（2）先利用勾股定理求出的长，再根据正弦的定义求出和的值，然后根据折射率的定义计算即可得．
【小问1详解】
解：如图，过点作，垂足为，
∵四边形矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，
，，
在中，，
由对顶角相等得：，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）已得：，，
∵，
，
在中，，
，
在中，，，
，
，
折射率，
答：光线从空气射入水中的折射率为．
25. 综合与实践
【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等．
例：求代数式的最小值．
解：原式．
，
，
的最小值为3．
【方法应用】
（1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值．
【问题迁移】
（2）若，求，．
拓展应用】
（3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长．
【答案】（1）；（2），；（3）
【解析】
【分析】本题考查了配方法的应用，解题关键是熟练掌握配方法，根据题目给出的方法进行求解；
（1）按照例题给出的方法计算即可；
（2）按照题目给出的方法配方，再根据非负数的性质求出字母的值即可；
（3）根据“勾系一元二次方程”定义得出一元二次方程各系数的关系，再利用配方法求解即可．
【详解】解：（1），
，
，
的最小值为；
（2），
，
，
，
，，
，，
，；
（3）由（1）的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，
，
，
，，
，
∴，
∴，
∴（负值舍去），，
四边形的周长为．
26. 如图1，在中，，，点，分别是边，上点，且，，连接．将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为．
（1）【问题发现】当时，______；当时，______；
（2）【拓展探究】试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）【问题解决】当旋转至，，三点共线时，直接写出线段的长．
【答案】（1）；
（2）大小无变化，见解析
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
（1）当时，由题意可得：，，即可求的值；当时，同理可求的值；
（2）证明，可得；
（3）分两种情况讨论，先根据勾股定理求的长，再根据求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
，
当时，，，
，，
∴，
故答案为：；
如图1当时，
，，
，，
∴，
故答案为：；；
【小问2详解】
解：的大小无变化；理由如下：
证明：，
，
又∵，，
∴
∴，
∴；
【小问3详解】
解：或；理由如下：
∵，，，，
，
如图，当点E在上时，，
，
∴
∵，
∴；
如图，当点D在上时，
同理可求，，
∴
∵，
∴；
综上所述，或．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
85
44.4
八年级
84
87
36.6