广西南宁市翠竹实验中学九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份广西南宁市翠竹实验中学九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共22页。
注意事项：
1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．
2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．
3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并收回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 小明投篮一次，球进了B. 三角形的内角和是
C. 是有理数D. 经过红绿灯路口，遇到红灯
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解决此题的关键，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，据此进行判断即可．
【详解】解： A．小明投篮一次，球进了，是随机事件，不符合题意；
B．三角形的内角和是是必然事件，符合题意；
C．是有理数，是不可能事件，不符合题意；
D．经过红绿灯路口，遇到红灯，随机事件，不符合题意；
故选：B．
2. 点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解决此题的关键，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答即可．
【详解】解： 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是点，
故选：C．
3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义并能灵活运用是解决此题的关键，根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形逐一判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故选项错误，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故选项错误，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故选项正确，故本选项符合题意．
故选： D．
4. 已知的半径为3，且，则点和的位置关系是（ ）
A. 点在圆上B. 点在圆外
C. 点在圆内D. 圆不经过点
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系有种.设的半径为,点到圆心的距离,则有①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内是解决此题的关键，由的半径为，知点到圆心的距离大于半径，进而即可得解.
【详解】解：的半径为，,
点到圆心的距离大于半径，
点在圆外，
故选：．
5. 如图，反比例函数的图像经过点，则的值是（ ）
A. 6B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】 本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键，根据待定系数法求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图像经过点，如图点，
∴，
故选：A．
6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币都是正面向上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两枚硬币朝向相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
共有4种等可能的结果，其中两枚硬币都是正面向上的结果有1种，
两枚硬币都是正面向上的概率为．
故选：C．
7. 如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转变换，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解决此题的关键，根据平行线的性质得到，根据旋转变换的性质得出,利用等腰三角形的性质得出,进而计算即可得解．
【详解】解：，
，
由旋转的性质可知，，
，
，
，
，
故选：．
8. 如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理的推论、圆的内接四边形对角互补等知识，解题关键是牢记相关概念并灵活运用．连接，先利用直径所对的圆周角是直角求出，然后求出，再利用圆的内接四边形的对角互补即可求解．
【详解】解：连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
9. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据可知的图象在二、四象限，在每个象限内，y随x值的增大而增大，由此可解．
【详解】解：，
在每个象限内，y随x值的增大而增大，且点在第二象限，点，在第四象限，
， ，，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是根据反比例函数中k的符号判断图象所在象限及增减性．
10. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接OB、OC，利用圆周角定理求得∠BOC=60°，然后利用弧长公式l=来计算劣弧的长．
【详解】如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°，
又OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OC=2，
∴劣弧的长为：．
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长的计算以及等边三角形的判定与性质．根据圆周角定理得到∠BOC=60°是解题的关键所在．
11. 如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得．
【详解】解：∵四边形EFGH正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴．
设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，
∴
解得：x=20
所以，AN=20．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．
12. 如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是AP上的中点可知OQ=BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求得OQ的最大值．
【详解】解：连结BP，
∵抛物线与轴交于A、两点，
当y=0时，，
解得，
∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4，
在直角△COB中，
BC=，
∵Q是AP上的中点，O是AB的中点，
∴OQ为△ABP中位线，即OQ=BP，
又∵P在圆C上，且半径为2，
∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大，
此时BP=BC+CP=5+2=7，
OQ=BP=．
故选择C．
【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡上）
13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
14. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.
【详解】，
故填
【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.
15. 如图，是的半径，弦于点D，连接，若的半径为，的长为，则的长是_________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理和勾股定理求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：由题意，，
∵是的半径，弦于点D，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
16. 已知一个圆锥的母线长为3cm，它的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面圆的半径等于________cm．
【答案】1
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，而此扇形的弧长等于底面圆的周长，由此即可求得底面圆的半径．
【详解】设圆锥的母线为l=3cm，底面圆半径为r
则
∴(cm)
故答案为：1
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，关键是清楚圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长．
17. 对于函数，当自变量时，函数值的取值范围是_________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解决此题的关键，根据反比例函数的性质得图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，而当时，,所以当时，由图象和性质即可得解．
【详解】解：反比例函数中，,
图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，
当时，，
时，,
当时，，
综上所述，自变量时，或，
故答案为：或．
18. 如图，直线y=x与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y=x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点B．若OA=3BC，则k的值为_____．

【答案】．
【解析】
【分析】分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，再设A（3x，x），由于OA=3BC，故可得出B（x，x+4），再根据反比例函数中k=xy为定值求出k的值即可．
【详解】解：分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A（3x，x），

∵OA=3BC，BC∥OA，CF∥x轴，
∴△BCF∽△AOD，
∴CF=OD，
∵点B在直线y=x+4上，
∴B（x，x+4），
∵点A、B在双曲线y=上，
∴3x•x=x•（x+4），解得x=1，
∴k=3×1××1=．
故答案为．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，设出A、B两点的坐标，再根据k=xy的特点求出k的值即可．
二、解答题
19. 计算：．
【答案】13.
【解析】
【分析】分别运算每一项然后再求解即可.
【详解】
．
【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键.
20. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程．
【详解】解：，
或，
，．
21. 如图．的顶点坐标分别为、、．
（1）作出与关于原点中心对称的．并写出点的坐标；
（2）以为旋转中心，将顺时针旋转至，作出．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查的是轴对称和旋转变换，熟练找出对应点的位置，是解题的关键．
（1）根据题意画出即可，关于原点对称，点的横纵坐标均变为相反数；
（2）根据网格结构找出点、以点A为旋转中心顺时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图所示：，即为所求，；
【小问2详解】
如图所示：，即为所求．
22. 为振兴乡村文化，某社区准备开展“乡村文化宣讲”活动，为了更好的开展活动，该社区随机抽取部分居民，调查他们对乡村文化的了解情况．根据调查结果，把居民对乡村文化的了解程度分为“．非常了解”“．比较了解”“．有点了解”“．不了解”四个层次，并依据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）这次共抽取了____位居民进行调查；扇形统计图中，“”层次所占圆心角的度数是_____．
（2）现拟从“非常了解”乡村文化的甲、乙、丙、丁四位居民中任选2位担任乡村文化推广使者，请用列举法求恰好选中甲、乙两位居民的概率．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据“”层次的人数除以占比得出样本的容量，根据“”层次的占比乘以即可求得“”层次所占圆心角的度数；
（2）根据列举法列举出所有可能结果，根据概率公式即可求解．
【小问1详解】
解：这次共抽取了（位），
扇形统计图中，“”层次所占圆心角的度数是
故答案为：，．
【小问2详解】
解：是有可能的结果为：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁）
（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁）；
（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），
（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），
共有12种等可能结果，符合题意的有2种，
∴恰好选中甲、乙两位居民的概率
【点睛】本题主要考查条形统计图、扇形统计图，由样本估计总体，列举法求概率，掌握相关知识并从统计图表中获取信息是解题的关键．
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象写出当反比例函数值小于一次函数值时的取值范围；
（3）连接，，求的面积
【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数解析式为
（2）或
（3）3
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积以及观察函数图象的能力．
（1）先把点坐标代入，求出得反比例函数解析式为，再利用反比例函数解析式确定点的坐标为，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）观察函数图象得到当或时，反比例函数图象都在一次函数图象下方，即反比例函数的值小于一次函数的值；
（3）先求出点的坐标，再根据三角形的面积公式求出三角形和三角形的面积，相加即可得出答案．
【小问1详解】
解：把代入，
得，
所以反比例函数解析式为；
把代入，
得，解得，
则点的坐标为．
把，代入，得，解得，
所以一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：观察图象可知，当或时，反比例函数的值小于一次函数的值；
【小问3详解】
解：设直线与轴的交点为，
，
时，，
，即，
．
24. 小李同学在学习讨程中遇到了一个函数．下面是小李对该函数探究的过程．请你帮他补充完整．

（1）描点画图，请将表格补充完整，并绘制时的函数图像．
（2）结合函数图像，对于，当时，随的增大而 ；当 时，取得最小值为 ；当 时，随的增大则增大．
（3）现要制作一个面积为4的矩形，若一边长为，当为何值时，周长取得最小值，周长的最小值为多少？
【答案】（1）详见解析
（2）减小；2，4；2
（3）当时，周长取得最小值，周长最小值为
【解析】
【分析】本题主要考查了函数的性质以及函数图像的绘制与分析等知识点，熟练掌握函数性质的探究过程并能灵活应用是解决此题的关键．
(1)通过计算补充表格数据，绘制图像即可得解；
(2)根据图像分析函数的增减性、最值等性质即可得解，
(3)将(2)的性质应用到矩形周长问题中即可得解．
【小问1详解】
解：补充完整的表格并绘制函数图像如下；
【小问2详解】
由图象知，当时，随的增大而减小；
当时，取得最小值为4，
当时，随的增大而增大，
故答案为：减小；2，4；2；
【小问3详解】
∵已知矩形面积为4，一边长为，则另一边长为，
∴矩形的周长为，
∵在时取得最小值4，
∴当时，周长取得最小值，周长最小值为．
25. 如图，直线经过上的点，并且，，交直线于，，连接，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）试猜想，，三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）若，的半径为3，求的长．
【答案】（1）详见解析
（2），详见解析
（3）
【解析】
【分析】(1)连接,根据等腰三角形的性质易得，进而即可得到证明；
(2)由圆周角定理的推论和等角的余角相等得,又有,可得，故可得；
(3)设,则,由(2)得,代入数据即可求出答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接,
,
,
是的切线；
【小问2详解】
解：，理由如下，
是直径，
,
，
，
，
，
,
，
；
【小问3详解】
解：,
，
设,则,
,
，
,
，
．
【点睛】本题主要考查了切线判定，等腰三角形的性质，圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键．
26. 综合与探究
如图1，在边长为6的正方形中，是正方形内一点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．
（1）求证：．
（2）若点是的中点，连接，且．
①如图2，当、、三点共线时，连接，求线段的长；
②连接，在运动的过程中，当最小时，直接写出四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）①；②22
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键．
（1）根据正方形的性质及旋转的性质，利用可证明，即可得结论；
（2）①由（1）可知，，则，结合正方形性质及勾股定理得，过点作延长线于，可证，利用相似三角形的性质可得，，再利用勾股定理即可求解；
②连接，求得，由三角形三边关系可知，，当点在上时取等号，即：当最小时，，进而可得的面积，过点作，则，得，进而求得，可得的面积，进而可求解．
【小问1详解】
证明：在正方形中，，，
由旋转可知，，，
则，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
①由（1）可知，，则，
在正方形中，，，则，
∵点是的中点，
∴，则，
∴，
过点作延长线于，则，
∴，
∴，
则，即，
∴，，则，
∴；
②连接，则，
由三角形三边关系可知，，当点在上时取等号，
即：当最小时，，则，
过点作，则，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
正
反
正
正，正
正，反
反
反，正
反，反
…
1
2
3
4
…
…
1
2
3
4
…
5
4
5