广西南宁市第四中学八年级上学期数学期中考试试题（解析版）-A4

这是一份广西南宁市第四中学八年级上学期数学期中考试试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．）
1. 青花瓷是我国四大名瓷之首，又称白地青花瓷，简称青花，代表着中国人纯粹、淡泊、通透、富有水墨意味的东方审美．下图中是四个青花瓷图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的相关知识，掌握轴对称图形的性质是解题的关键； 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形．
【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
2. “世界桥梁看中国、中国桥梁看贵州”．下图是著名的贵州清水河大桥，它是贵阳—瓮安高速公路的组成部分．是世界上最大单跨板桁结合加劲梁悬索桥，亚洲第一的山区双塔单跨钢桁悬索桥，贵州“桥梁博物馆”里的一颗璀璨明珠……桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固．其中运用的数学原理是 （ ）
A. 三角形具有稳定性B. 两点确定一条直线
C. 两点之间，线段最短D. 三角形的两边之和大于第三边
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，熟记相关结论即可．
【详解】解：悬索体系．其中运用的数学原理是三角形具有稳定性，
故选：A．
3. 在中，若一个锐角等于，则另一个锐角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余进行求解即可．
【详解】解：∵在中，一个锐角等于，
∴另一个锐角的度数为，
故选：C．
4. 如图，在和中，、相交于点E，．若利用“”来判定，则需添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，找出三组对应边相等，即可根据可判定．
【详解】∵，，
∴当时，根据可判定；
故选：C．
5. 已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，求它的周长（ ）
A. 17B. 22C. 17或20D. 17或22
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的定义，以及三角形的三边关系．利用三角形的三边关系，判断出等腰三角形的腰长和底边长，是解题的关键．根据等腰三角形的定义，以及三角形的三边关系，判断出腰和底边，再进行计算即可．
【详解】解：当等腰三角形的腰长为4时，三边构不成三角形，不符合题意；
∴等腰三角形的腰长为9，
∴它的周长为；
故选：B．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
7. 如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点、，连接，交于点，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．分别求出，的大小，可得结论．
【详解】解：，，
，
由作图可知垂直平分线段，
，
，
，
故选：C
8. 下列分式是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义“一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式”，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，故选项不是最简分式，不符合题意；
B、，故选项不是最简分式，不符合题意；
C、是最简分式，符合题意；
D、，故选项不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
9. 若多项式为完全平方式，则常数的值为（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的运用，根据完全平方公式即可求解．
【详解】解：，
∴，
故选：A ．
10. 如图，已知是角平分线，且，则与的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，过点作垂直于，垂直于，由为角的平分线，根据角平分线定理得到，再根据三角形的面积公式表示出与的面积之比，把以及的比值代入即可求出面积之比．
【详解】过点作于，于．
为的平分线，
，
∵，
．
故选：A．
11. 已知，，则的值等于（ ）
A. 0B. C. 72D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算．根据同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：D．
12. “杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（ ）
A. 21B. 1C. 35D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查整式的乘法运算规律，结合“杨辉三角”写出第八行的数得出的各项系数，即可求解．
【详解】解：依题意，第行的个数分别为：
第行的个数分别为：
第行的个数分别为：
第行的个数分别为：
即的各项系数为：
其中第四项为：，
∴的展开式中的系数是，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 若分式有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义，即分母不为0，据此列式计算，即可作答．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
14. 2024年第十四届全国冬季运动会开幕式上，演员们进行各种精彩表演，展示了冬季运动会的魅力和冰雪文化的独特韵味．如图是一个正六边形雪花状饰品，则它的每一个内角是______°．
【答案】120
【解析】
【分析】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键；因此此题可根据正多边形的性质及多边形内角和可进行求解．
【详解】解：由题意可知：正六边形的每一个内角度数为；
故答案为120．
15. 分解因式：________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
16. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
17. 如图，在中，，是高，，若，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余，由含角的直角三角形的性质得出，再结合直角三角形两锐角互余得出，最后再由含角的直角三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，，
∵是高，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 在草原上有两条交叉且笔直的公路、，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得的周长最小，则周长的最小值是___．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称——最短路线问题．作出轴对称图形，熟练掌握轴对称性质，等边三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于M、N，得到，其周长的最小值等于长，由轴对称性质证明， ，得到是等边三角形，即得．
【详解】如图，作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于点M、N，
则，，
∴的周长的最小值为，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长的最小值为6.5．
故答案为：6.5．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式乘除混合运算，先进行乘方和乘法运算，再对括号内进行计算，最后进行除法运算，即可求解；掌握运算步骤是解题的关键．
【详解】解：原式
．
20. 先化简，再求值：，其中，
【答案】，5
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式等知识点，先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解决此题的关键．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
21. 如图．
（1）在网格中画出关于轴对称的．
（2）写出关于轴对称的的各顶点坐标．
（3）在轴上确定一点，使最短．（只需作图保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析 （2），，
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，对称最短路径的作图方法，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
（1）先确定点的位置，然后连接各点即可求解；
（2）根据题意，分别写出点的坐标，再根据点关于轴对称的点的特点，即可求出的坐标；
（3）根据对称求最短路径的方法即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得，，，，
∵点关于轴对称的点的特点是横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变，
∴，，，如图所示，连接，

∴即为所求图形．
【小问2详解】
解：由（1）可知，，，，
∵点关于轴对称的点的特点是横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，
∴，，．
【小问3详解】
解：如图所示，作点关于轴对称的点，连接，则与轴交于点，
∴根据对称可得，，
∴，
∵点两点之间线段最短，
∴最短，即的值最小，
∴如图所示，点的位置即为所求点的位置．
22. 如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键：
（1）根据两直线平行内错角相等推出，由此根据证明，即可证得；
（2）根据全等三角形的性质得到，再根据等边对等角及三角形的内角和求出的度数．
小问1详解】
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴
23. 某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长、宽的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长、宽的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材．

（1）求安装健身器材的区域面积；
（2）当，时，求安装健身器材的区域面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式的乘法及整式的减法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）用大长方形的面积减去小长方形的面积列式化简即可；
（2）先列出篮球长的面积代数式，再代入求值即可．
【小问1详解】
解：
．
答：安装健身器材的区域面积为．
【小问2详解】
（2）当，时，（）．
答：安装健身器材区域面积为．
24. 如图，在中，，，点D是的中点，点E为边上一点，连接，，以为边在的左侧作等边三角形，连接．

（1）求证：为等边三角形；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由，，可得出，，结合已知可得出，即可得出为等边三角形；
（2）根据，可得出，再结合即可得出，根据全等三角形的性质即可得出．
【小问1详解】
证明：∵在中，，，
∴，，
又∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
又∵，
∴为等边三角形；
【小问2详解】
证明：由（1）可知为等边三角形，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∴，
∴ ，
即，
在和中，
，
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形、直角三角形斜边上的中线．解题的关键是证明三角形全等．
25. 综合与实践
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律．
【实践操作】如下图我们通过对立体图形体积进行变换来得到一些代数恒等式．
（1）如图1，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割（如图2），得到三个长方体①、②、③（如图3）．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为______，长方体③的体积为______（结果不需要化简）．
则因式分解______．
【拓展延伸】
（2）尝试因式分解：
【答案】（1）；；；（2）
【解析】
【分析】本题考查因式分解的几何应用、列代数式，根据题中给出的信息，结合数形结合思想是解答的关键．
（1）根据几何体各边关系，结合长方体和正方体的体积公式求解即可；
（2）将（1）中的b换为，进而化简求解即可；
【详解】解：（1）由图1知，长方体②的体积为，长方体③的体积为，
∴
，
故答案为：；；；
（2）将（1）中的b换成，则
，
∴．
26. 探究与证明
【图形呈现】如图1、图2，在等边中，动点在上，点在的延长线上，且．
【初步探究】（1）如图1，当点是中点时，求证：．
【拓展探究】（2）当点不是中点时，判断线段与的数量关系，并结合图2说明理由．
【深度探究】（3）点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）当点为上任意一点时，．理由见解析；（3）的长是或
【解析】
【分析】（1）由等边三角形的性质得，，再由等腰三角形的性质等，然后证，即可得出结论；
（2）过点作交于点，则，，再证是等边三角形，得，然后证，得，即可得出结论；
（3）分两种情况，①点在上时，证，，则，，得；
②点在的延长线上时，证，，则，，得；即可得出结论．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，
点是中点，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图2，过点作交于点，
则，，
．
是等边三角形，
，
，
，
即，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：分两种情况：
①如图3，点在上时，
，，
，
，
，
，，
，，
，
；
②如图4，点在的延长线上时，
，，
，
，
，
，，
，
，；
综上所述，的长为或．