广西南宁市邕宁区民族中学2024—2025学年上学期九年级数学期中考试卷（解析版）-A4

这是一份广西南宁市邕宁区民族中学2024—2025学年上学期九年级数学期中考试卷（解析版）-A4，共52页。
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 下列有理数中，最小的数是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据负数小于零，零小于正数，先将有理数进行排序，进而得出答案即可．
【详解】∵，
∴最小的数是，
故选：A．
2. 方程 的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A. 2和3B. 1和C. 2和D. 2和
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般式，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，进行作答即可．
【详解】解：方程 的二次项系数和一次项系数分别为2和；
故选C．
3. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形，根据把该图形旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，进行逐项判断，即可作答．
【详解】解：A、该图形不中心对称图形，故该选项不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，故该选项符合题意；
故选：D．
4. 在校田径运动会上，小明和其他三名选手参加100米预赛，赛场共设置1，2，3，4，四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若小明先抽签，他抽到2号跑道的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由设1、2、3、4四个跑道，甲抽到2号跑道只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：只设1、2、3、4四个跑道，甲抽到2号跑道的只有1种情况，
甲抽到2号跑道的概率是：．
故选：C．
【点睛】本题考查了概率公式的应用，注意概率＝所求情况数与总情况数之比是解题关键．
5. 若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．
【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上，
∴当时， y随x的增大而增大，
∵点都在二次函数的图象上，且，
∴，
故选∶A．
6. 如图，将绕着点顺时针旋转得到，若，，则旋转角度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质，将旋转到了的位置，再根据角度的关系即可求出旋转的度数．
【详解】解：∵，
∴
∴到的旋转角度为：
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，求出一条边的旋转角度得出三角形的旋转角度是解题的关键．
7. 若反比例函数解析式为，则下列说法不正确的是（ ）
A. 图象位于第一、三象限B. 图象经过点
C. y随x的增大而增大D. 图象关于原点对称
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．根据反比例函数的性质逐项判断分析即可．
【详解】解：A、反比例函数图象分布在第一、三象限，正确，不符合题意；
B、，所以在反比例函数图象上，正确，不符合题意；
C、反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，错误，符合题意；
D、反比例函数图象关于原点对称，正确，不符合题意；
故选：C．
8. 如图，已知，请你再添加一个条件________使得∽则下列选项不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定方法即可得以解决．
【详解】解：，
当添加条件时，则∽，故选项A不符合题意；
当添加条件时，则∽，故选项B不符合题意；
当添加条件时，则∽，故选项C不符合题意；
当添加条件时，则和不一定相似，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形相似的判定方法解答．
9. 已知：如图，是的弦，的半径为5，于点D，交于点C，且，那么的长为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识．连接，根据垂径定理得到，利用勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵于点D，
∴，
在中，，
即，
解得：.
∴
故选：C．
10. 《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？若设矩形门宽为x尺，则依题意可列方程为（1丈=10尺，1尺=10寸）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，根据矩形门的高与宽之间的关系，可得出门高为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：矩形的门的高比宽多6尺8寸，且门宽为尺，
∴门高为尺，
根据题意得：，
故选：A．
11. 已知二次函数的图象如图所示，以下结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断即可．
【详解】解：A、对称轴为，
，
，故A选项错误，不符合题意；
B、抛物线的开口方向向下，
，
对称轴在轴右侧，
对称轴为，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，
，
，故B选项错误，不符合题意；
C、由图象的对称性可知：当时，，故C选项错误，不符合题意；
D、由图象可知，该抛物线与轴有两个不同的交点，
，即；故D选项正确，符合题意；
故选：D．
12. 如图，在矩形中，已知，，矩形在直线上绕其右下角的顶点向右旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置，...，以此类推，这样连续旋转2024次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．
【详解】解：转动一次的路线长是：，
转动第二次的路线长是：，
转动第三次的路线长是：，
转动第四次的路线长是：0，
转动五次的路线长是：，
以此类推，每四次循环，
故顶点转动四次经过的路线长为：，
顶点转动2024次经过的路线长为：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分）
13. 点（-6，8）关于原点的对称点的坐标为________.
【答案】（6，-8）
【解析】
【详解】解：因为关于原点对称的两个点的横坐标和纵坐标都互为相反数，
所以点（-6，8）关于原点的对称点的坐标为（6，-8）
故答案为：（6，-8）．
14. 若关于一元二次方程的一个根为，则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出m的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，已知，，则________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，得到，求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：12．
16. 在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示：
在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为___．（结果精确到）
【答案】
【解析】
【分析】由表格得到这种小麦发芽的频率稳定在附近，即可估计出这种小麦发芽的概率．本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为．
故答案为：．
17. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接．则的长为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，先根据勾股定理求出，根据旋转得出，，求出，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，，
故，
由旋转的性质可知：，，
∴，
在中，，，
故．
故答案为：．
18. 反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，则的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是注意、两点的纵坐标相等．由于轴，可知、两点的纵坐标相等，于是可设点坐标是，点坐标是，于是可得、的值，进而可求，据图可知的高是，再利用面积公式可求其面积．
【详解】解：如图，
由于轴，设点坐标是，点坐标是，即纵坐标相同，
那么，
即，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查有理数的混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减，熟练掌握有理数的混合运算法则，进行计算即可．
【详解】解：原式．
20. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用因式分解法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
【详解】解：
，
，
∴或，
∴．
21. 在如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中按要求作图
（1）作出关于原点O成中心对称，写出、、点的坐标．
（2）作出绕点O逆时针旋转的，求的面积．
【答案】（1）见详解，，，
（2）见详解，
【解析】
【分析】本题考查了画中心对称图形、旋转作图、运用网格求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质，分别找出、、点，再依次连接，得，即可作答．
（2）根据旋转性质分别找出点，再依次连接，得，运用割补法进行列式求出的面积，即可作答．
【小问1详解】
解：如图所示：
则，，；
【小问2详解】
解：如图所示：
22. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有_______名学生参与了本次问卷调查；
（2）“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为
【解析】
【分析】（1）用“礼仪”的人数除以占比得到总人数；
（2）用“陶艺”的人数除以总人数再乘以即可求解；
（3）用画树状图法求得概率即可求解．
【小问1详解】
解：（人）
故答案为：．
【小问2详解】
“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是，
故答案为：．
【小问3详解】
把“礼仪”“陶艺”“编程”三门校本课程分别记为A、B、C
共有9种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有3种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式．
23. 如图，是的外接圆，是的直径，过点的直线与相切于点，在直线上取一点，使得．
（1）求证：直线是的切线．
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由得，结合依据题干有，又因为直线与相切于点，点在上，是的半径则有所求结论．
（2）利用切线的性质和勾股定理求解圆的半径，根据特殊角的三角函数值推出角度，结合等面积法解得阴影部分的面积．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

，
，
又，
，
，
直线与相切于点，
，
，
点在上，是的半径，
直线是的切线．
【小问2详解】
解：设半径，则，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，
，
故图中阴影部分的面积为：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形性质、切线的判定和性质、勾股定理、特殊角的三角函数值、扇形面积计算的知识，正确做出辅助线和利用特殊角的三角函数值是解题的关键．
24. 图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长，与墙垂直的一边栅栏长为．
（1）求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围；
（2）若栅栏总长度为122米，求的长；
（3）若想使花圃是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？
【答案】（1）
（2）
（3）花圃至少需要围栏米．
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解一元二次方程和分式方程，根据矩形的面积公式得出y与x的函数关系式是关键，注意结合实际取自变量的取值范围．
（1）根据长方形面积公式列式求解即可；
（2）根据栅栏总长度为122米列方程求解即可；
（3）根据题意得到，然后代入求出，进而求解即可．
【小问1详解】
解：∵设花圃与墙平行的一边长，与墙垂直的一边长为，面积为，
∴
∴
∵可利用的最大长度为
∴
∴关于的函数表达式为；
【小问2详解】
解：∵栅栏总长度为122米
∴
整理得，
解得或120（舍去）
经检验，符合题意
∴；
【小问3详解】
解：∵使花圃长是宽的倍
∴
∴代入得，
∴
∴或（舍去）
∴
∴
∴花圃至少需要栅栏米．
25. 定义：如果二次函数，（，、、是常数）与，（，、、是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”．例如：求函数的“旋转函数”，由函数可知，，，．根据，，．求出、、就能确定这个函数的“旋转函数”．请思考并解决下面问题：
（1）直接写出函数的“旋转函数”．
（2）若函数与互为“旋转函数”，求的值．
（3）已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”．
【答案】（1）
（2）1 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的a、b、c的值，从而得出函数解析式；
（2）根据定义得出m和n的二元一次方程组，从而得出答案；
（3）首先求出三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定．
【小问1详解】
解：根据题意得，
解得
故解析式为：．
【小问2详解】
解：根据题意得，
∴
∴．
【小问3详解】
证明：当时，，
∴，
当时，，
解得：，
，
点A、B、C关于原点的对称点分别是，
∴，
设过点的二次函数解析式为，
将代入，得：，
解得：，
过点二次函数解析式为．
，，，
∵，
，，，
∵，
∴两个函数互为“旋转函数”．
【点睛】本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键．
26. [问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，．
[问题解决]

（1）如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长；
（2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由；
（3）在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值．
【答案】（1）
（2）四边形是正方形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键．
（1）由勾股定理求出，再求出，由旋转的性质得：，则可得出答案；
（2）先证四边形是矩形，再证明是正方形；
（3）点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，当点、、依次共线时，最大，计算即可．
【小问1详解】
解：（1），，，
，
四边形是正方形，
，，
，
由旋转的性质得：，
；
【小问2详解】
解：四边形是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：，，
，，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形；
【小问3详解】
解：是固定值，点是定点，点是动点，
点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图：

当点、、依次共线时，最大，
此时，，
即长度的最大值为．
试种数量
发芽的频率