河北省沧州市2025-2026学年高一下学期3月开学联考试题 数学（含解析）

这是一份河北省沧州市2025-2026学年高一下学期3月开学联考试题 数学（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．在三角形中，“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
3．已知圆心角为2弧度的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数的最小值为1，则（ ）
A．0B．1C．2D．-1
5．当时，关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ）
A．B．
C．D．
7．设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知幂函数在上单调递增，若实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
二、多选题
9．（多选）下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则与的方向相同或相反
C．若，，则D．对任一非零向量，是一个单位向量
10．已知函数，则（ ）
A．当时，的单调递减区间为
B．当时，的单调递增区间为
C．的图象关于轴对称
D．当时，的定义域为
11．已知，下面结论正确的是（）
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．在上恰有3个零点
D．的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
三、填空题
12．已知正方形的边长为1，，，，则为_____________．
13．若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________
14．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是 _____________ ．
四、解答题
15．已知集合，.
（1）若集合为非空集合且，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
16．已知函数是函数（，且）的反函数，的图象过点．
(1)求函数的解析式；
(2)若成立，求的取值范围．
17．某芯片生产企业准备再建一条AI芯片生产线，在现有条件下，每月生产（千片）芯片，每片芯片售价0.3万元且全部销售完.该生产线每月需投入500万元的固定成本，另需投入的成本（万元）与的关系满足：
(1)求每月的利润（万元）关于月产量（千片）的函数解析式（利润=销售额-成本）；
(2)求该企业每月所获取的最大利润及相应的月产量.
18．已知函数
(1)求函数的增区间
(2)直接写出取得最大值时的集合；
(3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围．
19．已知函数对任意实数恒有，当时，，且.
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)判断的单调性并证明；
(3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．D
【详解】因为，集合，
所以，
故选：D.
2．C
【详解】因为在三角形中，，，
所以，则，所以“”是“”的充分条件；
由于，所以或，又因为三角形中，，
所以，所以.
所以“”是“”的必要条件；
综上，“”是“”的充要条件.
故选：C.
3．D
【详解】因为扇形的弧长为，所以，
所以．
故选：D
4．A
【详解】是增函数，所以的最小值由指数的最小值确定，
因为，所以的最小值为（当时取得），
因此函数的最小值为，又已知的最小值为1，
所以，解得．
故选：A.
5．C
【详解】时，，
不等式可化为，
因为，且，
所以，，
解原不等式，得，
所以原不等式的解集为.
故选：C.
6．D
【详解】因为关于中心对称，
所以对称中心是，即是奇函数，故，
因为是偶函数，所以的对称轴是，即，
所以中，将替换为，得到，
故，将替换为，得到，
所以，因此的周期为8.
所以，，，
因为在上递增且是奇函数，所以在上递增，
所以，即.
故选：D.
7．A
【详解】令，则，
当时，在R上单调递减，
当时，在R上单调递增，
由一次函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减，
因为在区间上单调递增，根据复合函数的单调性可知，且，解得，
所以的取值范围是.
故选：A.
8．B
【详解】因为是幂函数，且在上单调递增，
所以，解得，
所以，
易知，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，
故选：B
9．ABC
【详解】对于A，因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；
对于B，由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；
对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误；
对于D，对任一非零向量，表示与同向的单位向量，故D正确．
故选：ABC．
10．AC
【详解】选项A、B：当时，，
，解得或，
函数的定义域为，
函数开口向上，对称轴为，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，在上单调递减，
函数在上单调递减，在上单调递增，故A正确，
不在定义域内，故B错误；
选项C：，定义域关于原点对称，
若图象关于轴对称，则是偶函数，即，
，
是偶函数，其图像关于轴对称，故C正确；
选项D：当时，，定义域为，不是，故D错误．
故选：AC．
11．ABD
【详解】
，所以，故A正确；
令，当时，，
因为在上单调递增，且是关于的一次函数，且单调递增，
所以在上单调递增，故B正确；
令，则，，解得，，
当时：
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，共4个零点，故C错误；
的图象向左平移个单位长度后，得到的函数为，
因为，所以是偶函数，其图象关于轴对称，故D正确．
故选：ABD
12．
【详解】.
故答案为：
13．6
【详解】由于，可得关于点对称，
故.
14．1
【详解】将向左平移个单位，
得：，
又因为为奇函数，所以，
整理得： ，
又因为，所以.
15．（1）；（2）或.
【详解】（1）由知，因为为非空集合，所以，，解得；
（2）当时，由得，此时，满足；
当时，或，解得.
综上所述，或.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为（，且）的图象过点，
所以，解得，所以．
又因为函数是函数的反函数，
所以．
（2）因为函数的定义域为，且在上单调递减，，
所以，解得，
所以的取值范围为.
17．(1)
(2)最大利润是800万元，此时月产量为50000片.
【详解】（1）当月产量为千片时，销售额为（万元），
∴ ，
又
当时
，
当时
，
所以
（2）当时，
，
当且仅当时取等号.
当时，，
当且仅当，即时，取等号，
∵，
∴该企业每月所获取的最大利润是万元，此时月产量为片.
18．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）由题意，函数，
令，解得，
故函数的单增区间为；
（2）由题意，可得，即的最大值为，
令，即，
故，解得，
故取得最大值时的集合；
（3）由，
可得，
即，
即，
即，
又根据题意，方程在上有四个不同的实数根，
即方程在上有四个不同的实数根，
令，则，
又，则，所以，即，
令，则，如图，
所以要使在上有四个不同的实数根，
则需要在上有两个不相等的实数根
故，
由于时，无解，故，
则，
令则且，
故，
由于在单调递减，此时至多一个实数根，不符合题意，
故，如图：
当时，，
当且仅当时，取等号，
故.
19．(1)奇函数，证明见解析
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)或
【详解】（1）取，则，则；
取，则，
又定义域为，则是奇函数．
（2）任取，则，
，
由时，可知，
即，即，
故在上单调递减．
（3）由题知，若对所有的，恒成立，
只需，
结合函数的单调性，时，，
则，即，
将不等式左边视作关于的一次函数，
而时恒成立，
故只需，即，
解得或