广东省珠海市重点高中2025-2026学年高一下学期3月开学考试 数学（含解析）

这是一份广东省珠海市重点高中2025-2026学年高一下学期3月开学考试 数学（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么要消除的污染物大约需要（参考数据：，）（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（ ）
A．
B．
C．
D．的最小值为
三、单选题
7．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，的零点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
四、多选题
9．已知，且，则下列结论正确的有（ ）
A．ab的最小值是B．的最小值为8
C．的最小值为2D．此方程有且仅有3组整数解
10．已知函数是定义在上的奇函数，且，如图，以点为圆心，为半径的扇形，弧线为函数在上的图象（其中点，），则下列说法正确的有（ ）
A．扇形的面积为
B．函数的最小正周期
C．函数在上单调递减
D．若，则的最小值为2
11．已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．的取值范围为
C．若方程有个不同的实根，则
D．若方程有个不同的实根，则
五、填空题
12．已知向量在向量方向上的投影向量为，则______
13．若，，并且，，且，则的值为______.
14．，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围______.
六、解答题
15．如图，已知在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点两点，.
(1)若，求及的值；
(2)若，求.
16．函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式与单调递增区间；
(2)求的解集；
(3)关于的方程在区间上有两个解、且，求.
17．已知幂函数在区间上单调递增，函数是定义域为的奇函数，且满足时，.
(1)求的解析式；
(2)解关于的不等式.
18．已知函数，.
(1)证明：为定值；
(2)已知函数，求的值；
(3)若函数在区间内恰有一个零点，求实数k的取值范围.
19．给出如下定义：设函数的定义域为，函数的定义域为，若对于任意的，恰好存在n个不同的实数，，，…，，使得，，其中，则称为的“n重覆盖函数”.
(1)已知函数，，判断是否为的“2重覆盖函数”，并说明理由；
(2)已知函数，，若是的“3重覆盖函数”，求m的取值范围；
(3)定义表示不超过x的最大整数，如，，，记函数，，，若为的“2026重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.
参考答案
1．A
【详解】
.
2．D
【详解】由，，，
所以，
因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得，
则，
因为向量，不共线，
所以，解得：，
故选：D
3．C
【详解】令，解得，则函数的定义域为，
且，可知函数为奇函数，
其图象关于原点对称，故A错误；
又因为当时，则，，，即，
可得，故BD错误；
故选：C.
4．B
【详解】，
因在上单调递增，
则，
故；
因，则，即，故；
故.
故选：B
5．C
【详解】因为，即，
设消除的污染物大约需要，
由题意可得，即，取对数可得，
两式相比可得，则，
所以要消除的污染物大约需要.
故选：C.
6．ABC
【详解】对于A，由题意得，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，由A知，，
由于M、O、N三点共线，可知，即，故C正确；
对于D，由C知，，且，，
所以，
当且仅当 ，即时取得等号，
所以的最小值为，故D错误.
故选：ABC

7．A
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，周期，
因为函数在上没有零点，所以，得，得，得，
假设函数在上有零点，
令，得，，得，，
则，得，，
又，所以或，
又函数在上有零点，且，
所以或.
故选：A
8．C
【详解】由题意得，，即，
，即，令，，
故都为方程的解，
令，单调递增，也单调递增，故在单调递增，
又，
，即，故B错误，
对于A，，对勾函数在上单调递减，，
，故A错误，
对于C，，两边同时取以2为底的对数得，
，故C正确，
对于D，，故D错误.
故选：C.
9．BCD
【详解】由，得，又，
所以，即，由得，由,故.
对于A由，令，得，解得，
即，当且仅当时，取等号，A错误；
对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确，
对于C，，
当且仅当时，取等号，故C正确；
对于D，由，,，故当时，；当时，；当时，，不满足整数解；
当时，；当时，，故不满足整数解；
综上，此方程有且仅有3组整数解，分别为，；，；，.故D正确.
故选：BCD
10．ABD
【详解】对于A，由知函数的图象关于直线对称，
因为弧线为函数在上的图象，所以点在的图象上，且，
所以轴，因为，所以扇形的半径为，即，
由知，所以，
所以，所以，即，
所以扇形的面积为，故A正确.
对于B，因为函数是定义在上的奇函数，
所以，且，
由知，
所以，即函数的最小正周期，故B正确.
对于C，由图知在上单调递减，
因为函数的图象关于直线对称，所以在上单调递增，
因为函数的最小正周期，
所以函数在上的图象与在上的图象相同（单调性相同），
所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误.
对于D，因为奇函数的图象关于原点对称，根据以上分析可得的大致图象如图所示：
所以的最大值为，最小值为，
若，不妨令，
则在上的图象，至少包含一个最高点，一个最低点，
而相邻最高点、最低点的横坐标差的绝对值为2，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
11．BCD
【详解】根据解析式可得函数大致图象如下，

令，则，
所以且，
故，A错；
因为，所以，B对；
由，
可得或，
由图知，对应有2个不同解，
故对应必有3个不同解，所以，C对；
对于D:，
由图，当时原方程无解；
当时，，对应唯一的x的值，此时原方程只有1个解，不符；
当时，或各有一个值，
前者有3个、2个、1个x的值与之对应，后者只有1个x的值与之对应，
此时原方程共有4个、3个、2个解，不符题意；
令，得或或，
当时，或或各有一个值，
若，无解；
若，有2个x的值与之对应；
若，有1个x的值与之对应，
故原方程共有3个不同解，不符；
当时，或或，分别有1个解、2个解、1个解，
原方程共有4个解，不符；
当时，或或各有1个值，
若，有2个x的值与之对应；
若，有2个x的值与之对应；
若，有1个x的值与之对应，
故原方程共5个不同解，符合；
当时，有1个解或有2个解，原方程共3个解，不符；
当时，，原方程只有1个解，不符；
综上，满足题设，D对.
故选：BCD.
12．4
【详解】因向量在向量上的投影向量为，
则，即，
又，则有，
故.
故答案为：4.
13．/
【详解】由，，且，得
又，所以
因为，则，所以
所以
，
且，且，所以.
故答案为：.
14．
【详解】函数的定义域为，且，
故函数是奇函数，因为递增，递减，所以函数在上单调递增，
当时，，故，当时，，
所以，即，综上可知.
对任意，不等式恒成立，
可得，因为在单调递增，故等价于，
平方整理得，解方程的根或，
对任意，不等式恒成立，即区间是不等式解集的子集.
当时，不等式解集为，而，无法满足，舍去；
当时，不等式解集为，区间为，不满足子集关系，舍去；
当时，不等式解集为，需满足，解得，
实数的取值范围为.
故答案为：.
15．(1)，
(2)
【详解】（1）由题知，又，A在单位圆上，
，则，，
；
（2），
由，得，
则，
，得，
.
16．(1)，单调递增区间为
(2)
(3)
【详解】（1）由函数的部分图象可知，
函数的最小正周期满足，于是，所以，
所以函数，
又，则，所以，
解得，由可得，所以.
令，解得，
故单调递增区间为.
（2）由得，
可得，解得，
故的解集为.
（3）当时，则，因为、，则、，
由于，所以，
所以，所以，
因为，所以，
则，
因此.
17．(1)
(2)时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.
【详解】（1）因为函数为幂函数，
所以，解得或.
当时，，在上单调递减，不符合题意；
当时，，在上单调递增，符合题意；
所以，，
所以时，.
因为函数是定义在R上的奇函数，所以，，
当时，，则.
故.
∴.
（2）由（1）中的解析式易证在上是增函数.
，
，
，即
当时，原不等式可化为，即，所以，
所以此时不等式的解集为.
当时，的两根为，.
当时，，此时不等式的解集为；
当时，，此时不等式的解集为；
当时，，此时不等式的解集为；
当时，，此时不等式的解集为.
18．(1)证明见解析
(2)0
(3).
【详解】（1）依题意得，
，
所以为定值.
（2）令函数，
则定义域为，
，
则，为奇函数，
所以关于对称，即，
所以（），
且中间项，
故所求式子的值为.
（3）由（1）得，
所以函数，
在定义域R上是单调递增，区间上.
令，，，
在区间内恰有一个零点等价于函数在区间内恰有一个零点.
①当时，只有一个零点，符合题意.
②当时，对于函数，，
（ⅰ）若，即时，有唯一零点，符合题意，
（ⅱ）若，即时，要使在区间内恰有一个零点，则需
①令，解得且，
②令，解得，则，
令解得另一个零点为，符合题意，
③令，解得，则，
令解得另一个零点为，符合题意，
综上所述，实数k的取值范围是.
19．(1)不是，理由见解析
(2)
(3)
的图象，数形结合解决问题.
【详解】（1）因为在R上为增函数，
所以的值域为，
因为的值域为
当时，，而，
所以不是的“2重覆盖函数”.
（2）当时，为增函数，所以，
当时，为减函数，所以，
所以，时，，
当时，，由二次函数性质得，，
所以，对于，，
使得，
因为当时，，
对于，不存在，使得，
所以要使为的“3重覆盖函数”，
只需，在上有唯一解，
因为，，
所以，即，
解得，
所以m的取值范围是.
（3）因为，
因为，所以，
所以，，
所以，
设，，则，令，，
因为为的“2026重覆盖函数”，
所以为的“2026重覆盖函数”，
即，在有2026个根，
作出函数的大致图象（部分），如下图，
要使得在有2026个根，
则，解得
所以正实数a的取值范围是.