河北省沧州市三县部分学校联考2024_2025学年高一数学下学期第一次月考3月试卷含解析

这是一份河北省沧州市三县部分学校联考2024_2025学年高一数学下学期第一次月考3月试卷含解析，共16页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 已知向量，若，则， 已知的内角所对的边分别为，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，若与共线，则（ ）
A. 2B. C. 8D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标表示列出方程求解即可.
【详解】因为向量，
若与共线，则，解得.
故选：A.
2. 在中，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解.
【详解】对于A：由相反向量定义有，故A正确；
对于B：根据向量的加法的三角形法则有，故B正确；
对于C：根据向量的减法有，故C错误，
对于D：，故D正确；
故选：C.
3. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知得，再由正弦边角关系即可得比值.
【详解】由，且，则，
所以.
故选：D
4. 在中，，则（ ）
A. 5B. 3或5C. 4D. 2或4
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理求解即可.
【详解】由余弦定理，得，
即，即，
解得或5，
经检验，均满足题意.
故选：B.
5. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两个向量的垂直关系以及数量积的运算化简可得，再代入投影向量的公式即可.
【详解】因为，所以，
所以，
设的夹角为，
所以在上的投影向量为.
故选：B.
6. 已知向量，若，则（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直坐标运算列式，再结合齐次式计算求解即可得出正切值.
【详解】因为，所以，
所以，
解得或.
故选：C
7. 为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶48海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿之间的距离为（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
【答案】D
【解析】
【分析】画出图形，由题意可知，，，在中，利用正弦定理求出，再由为等腰直角三角形，求出，再在中利用余弦定理可求得结果.
【详解】根据题意画出图形，如图所示：
由题意知，，，所以，
在中，由正弦定理得：解得，
又，，所以，，
又，
在中，由余弦定理得：，
解得，所以、两岛屿之间的距离为海里．
故选：D．
8. 如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法和基本不等式求得的最小值
【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，
的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，
则，设，其中，则，
因为，所以，又，
所以，
当且仅当时等号成立.
故选：A
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，不共线，可以作为基底；
对于B，方向相反，共线，不能作为基底；
对于C，，共线，不能作为基底；
对于D，，则方向相同，共线，不能作为基底.
故选：BCD
10. 已知的内角所对的边分别为，则（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则的形状能唯一确定
【答案】AB
【解析】
【分析】应用正弦定理及边角关系判断A、B、D；由余弦定理易得为锐角，而角和角是否为锐角无法确定，即可判断C.
【详解】因为，所以，故A正确；
因为，则，故B正确；
由余弦定理，可知为锐角，
但无法判断角和角是否为锐角，不一定为锐角三角形，故C错误；
由正弦定理得，即，又，所以，所以或，故D错误.
故选：AB
11. 已知两个非零向量的夹角为，定义运算，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若，则
D. 若，则的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】通过对向量新定义运算的理解，结合向量的数量积公式、三角函数关系以及向量模的计算公式来逐一分析各个选项.
【详解】对于A，由，得，而，因此，
又，则或，所以，A正确；
对于B，，当时，，
当时，，B错误；
对于C，因，所以，所以，
因为，所以，所以，C正确；
对于D，由，得，由，得，
两式平方相加得，则，
当且仅当时取等号，D错误.
故选：AC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 与垂直的单位向量的坐标为________.
【答案】或
【解析】
【分析】设与垂直的单位向量的坐标为，根据题意可得，解得答案即可.
【详解】设与垂直的单位向量的坐标为，
可得，解得或 ，
故答案为：或
13. 在边长为2的菱形中，分别为的中点，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积定义结合余弦定理求出，再由余弦定理求得，然后建立平面直角坐标系，利用坐标计算可得.
【详解】记与交于点O，，
由题知，①，
在中，由余弦定理有②，
联立①②解得，
所以，
因为，所以.
所以，
以O为原点，所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，
所以，
所以.
故答案为：
14. 如图，在扇形AOB中，，，点C在扇形AOB内部，，，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据阴影部分的面积为，利用扇形面积公式、三角形面积公式和正弦定理进行求解.
【详解】设，则，，
由，，得，
在中，由正弦定理得，即，
所以，则，，
所以，，则，
，
所以，
又知扇形AOB的面积为，
故阴影部分的面积为．
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为.

（1）写出向量的坐标;
（2）如果四边形ABCD是平行四边形，求点的坐标.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】(1) 由向量的坐标运算即可求解；
(2) 由平行四边形的性质结合向量相等即可求出D的坐标.
【小问1详解】
，
，
.
【小问2详解】
设，由，可得，
所以，故.
16. 在中，内角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，判断的形状并说明理由．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化角为边，再由边的关系代入余弦定理可求角；
（2）由已知条件结合余弦定理化角为边化简得，求解三角形进而判断形状.
【小问1详解】
在中，因为，
所以由正弦定理得，
由余弦定理得，
由，所以.
【小问2详解】
因为，
故，即，又，则，
所以为等腰三角形.
17. 已知向量满足，且.
（1）求向量与的夹角的余弦值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量的数量积运算来求向量的模和夹角即可；
（2）利用向量夹角为锐角的充要条件是两向量积大于0且这两向量不共线，再利用向量积的运算和共线运算即可.
【小问1详解】
因为，所以，即，
又，所以，
因为，所以，所以，
所以
，
所以.
【小问2详解】
，
由题意知且向量与不共线，
所以，且，
解得，且，即实数的取值范围为.
18. 如图，在等腰梯形中，为线段的中点，与交于点为线段上的一个动点.

（1）用基底表示；
（2）求的值；
（3）设，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由向量的线性运算求解即可；
（2）设，，从而可得，联立方程组，求得，即可得解；
（3）设，代入中，可得，从而得，结合二次函数的性质求解即可.
小问1详解】
因为，
，
所以.
【小问2详解】
设，①
设，可得，
即，②
由①②得，，解得
所以，
所以.
【小问3详解】
由题意，可设，
代入中，可得.
又，
故，可得，
因为，且函数在上单调递减，
所以，
，
因为函数在上单调递减，
所以，
所以的取值范围为.
19. 在中，是边上靠近的三等分点.
（1）若，证明：；
（2）若.
（i）求面积的最大值；
（ii）求的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）由已知，可得，在利用余弦定理可得，化简即可；
（2）（i）由已知，在中，由余弦定理可得，再利用基本不等式得，则，即可求得面积的最大值；（ii）在中， 由正弦定理，可得，由，利用余弦定理，可得，可得，即可求得的最小值.
【小问1详解】
因为是边上靠近的三等分点，所以，
所以，
设内角的对边分别为，则，
所以，即，
在中，由余弦定理得，
所以，
化简得，
即.
【小问2详解】
（i）在中，由余弦定理得，
又，
所以，
当且仅当，即为等边三角形时等号成立，
所以，
又是边上靠近的三等分点，
所以，
即的面积的最大值为.
（ii）在中，，
由正弦定理，得，
又，
所以，
因为，所以，
由余弦定理，得，
将代入上式，化简得，
所以
，其中，
当，即时，取得最小值，
的最小值为.