安徽省芜湖市重点高中2025-2026学年高一下学期3月开学质量检测 数学（含解析）

这是一份安徽省芜湖市重点高中2025-2026学年高一下学期3月开学质量检测 数学（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
2．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．若函数分别为上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，，则（ ）
A．B．7C．D．
8．已知函数的零点为、函数的零点为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．已知某扇形的周长是4cm，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是
C．命题“”的否定为“”
D．若角的终边经过，则
10．已知函数部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．点是图象的一个对称中心
C．的图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到
D．若，则或
11．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．是周期为4的函数
C．D．的图象关于点对称
三、填空题
12．已知幂函数的图象过点，则__________.
13．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．某条鱼把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的单位数耗氧量增大为原来的________倍．
14．已知实数x，y满足，，则_____________.
四、解答题
15．（1）计算
（2）设，计算的值
16．如图，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是2km，从点沿海岸正东12km处有一个小镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：km）表示此人将船停在海岸处距点的距离．
(1)请将表示为的函数；并求时，从小岛到城镇所需时间（结果精确到0.1h，参考数据）；
(2)设，证明：，并求将船停在海岸处距点P多远时从小岛到城镇所花时间最短？
17．已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在锐角中，，求的取值范围.
18．已知定义在上的函数满足且，.
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围.
19．某校徽风皖韵数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律：
，
，
，
据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式证明（过程略）．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于大徽尖风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“大徽尖恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“大徽尖恒等式”的结论能否得到推广呢？
根据以上信息，回答下列问题：
(1)证明：；
(2)解关于的方程：，其中；
(3)证明：，其中，且．
参考答案
1．A
【详解】函数的最小正周期为：.
2．D
【详解】解：对于A：当时，故A错误；
对于B：因为，所以，所以，所以，即，故B错误；
对于C：由，则，，所以，故C错误；
对于D：由，所以，所以，故D正确；
故选：D
3．B
【详解】解：由，可得，
所以；
由，可得，解得，
所以；
所以.
故选：B.
4．D
【详解】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号，
又函数在上单调递减，因此，
所以函数的值域是.
5．C
【详解】已知，得：，
设（），则，不等式变为：，
整理得： ，
因为，所以，不等式等价于，解得，
因为，所以.
故选：C.
6．B
【详解】因为是R上的奇函数，是R上的偶函数，
因此满足： ，，
所以，
将替换为，代入得：，
消去得：，即 ，
消去得：，即 ，
中，是增函数，也是增函数，因此是R上的增函数，
所以，又因为，
所以，
故选：B.
7．C
【详解】由题可得，
解得，，
所以.
故选：C
8．A
【详解】由，得，，则，，
因此分别是直线与函数、的图象交点的横坐标，
在同一坐标系中作出函数，的图象及直线，如图，
函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称，
直线也关于直线对称，则点关于直线对称，
即，则，CD错误；
函数在R上都是增函数，则函数在上是增函数，
又，，则，
因此，B错误，A正确.
9．AC
【详解】选项A：若，，则，所以充分性成立；
若，如，，满足，但不满足，，所以必要性不成立，故A正确.
选项B：设扇形的半径为，弧长为，圆心角为.
则，，解得，.
所以圆心角，故B错误.
选项C：全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“”的否定为“”，故C正确.
选项D：角的终边经过，则，
当时，则；当时，则；
因此，故D错误.
10．ABD
【详解】由图知，，即，解得，
所以，将代入得，
所以，解得
又，所以，故A正确；
由上知，所以，
所以点是图象的一个对称中心，故B正确；
将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到图象的函数解析式为，
与的解析式不同，所以C错误；
由得，
所以或，
解得或，故D正确.
11．ABC
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，且.
因为为偶函数，所以.
选项A：由，令，则，
所以函数的图象关于直线对称，故A正确.
选项B：因为，即,
所以，
，
所以是周期为4的函数，故B正确.
选项C：因为函数的图象关于直线对称，所以.
因为是周期为4的奇函数，所以，.
所以一个周期内的和.
所以，故C正确.
选项D：奇函数的定义域为R，且，因此的图象关于点不对称，故D错误.
12．
【详解】由函数为幂函数，得，即，
所以，
又函数过点，
则，
故答案为：.
13．9
【详解】所以，
联立解得.
故答案为：.
14．e
【详解】由，得，即，
由，得，即，
因此，是方程的解，而函数都是增函数，
则函数是增函数，于是，所以.
故答案为：
15．（1）；（2）
【详解】（1）原式
；
（2）
原式.
16．(1)（）；
(2)证明见解析；
【详解】（1）由题意，此人驾驶小船行驶的距离为，步行的距离为，
所以（）.
当时，，
即从小岛到城镇的时间大约.
（2）因为在上单调递增，所以，
所以.
所以，
又，
所以，.
由基本不等式，，当且仅当即，时取等号.
此时.
所以，将船停在海岸处距离点处时，从小岛到城镇所花时间最短，约为.
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：，
由，得，
所以，函数的单调递增区间为.
（2）解：由已知可得，解得，
，
因为，则，所以，.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意知，，
即，所以，
故
（2）由（1）知，，
所以在上单调递增，
所以不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时，等号成立
所以，
故实数的取值范围是
（3）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数的取值范围是
19．(1)证明见解析
(2)或
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，，
所以
，
即.
（2）由（1）知，
即，
又，
所以所以，
所以或.
当时，解得，
又，所以或1，即或；
当时，无解.
综上，方程的解为或.
（3）设，
则由积化和差公式得，，，，
将上面n个式子相加得
，
所以.
又，且，所以，所以，所以，即原命题得证.