河北省沧州市名校2025-2026学年高一下学期开学联考数学试卷（Word版附解析）

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1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的交集运算即可求解.
【详解】因为，集合，
所以，
故选：D.
2. 在三角形中，“”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的性质和充分必要条件的定义进行判断即可.
【详解】因为在三角形中，，，
所以，则，所以“”是“”的充分条件；
由于，所以或，又因为三角形中，，
所以，所以.
所以“”是“”的必要条件；
综上，“”是“”的充要条件.
故选：C.
3. 已知圆心角为2弧度的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据弧长求出扇形的半径，然后根据扇形的面积公式求解.
【详解】因为扇形的弧长为，所以，
所以．
故选：D
4. 已知函数的最小值为1，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】先利用二次函数的最小值为 0，得到指数的最小值为，再根据指数函数的单调性，由 解出.
【详解】是增函数，所以的最小值由指数的最小值确定，
因为，所以的最小值为（当时取得），
因此函数的最小值为，又已知的最小值为1，
所以，解得．
故选：A.
5. 当时，关于x的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将原不等式转换为，在的前提下，比较和的大小即可得解.
【详解】时，，
不等式可化为，
因为，且，
所以，，
解原不等式，得，
所以原不等式的解集为.
故选：C.
6. 已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用双对称函数来证明函数的周期性，再利用单调性可以比较大小.
【详解】因为关于中心对称，
所以对称中心是，即是奇函数，故，
因为是偶函数，所以的对称轴是，即，
所以中，将替换为，得到，
故，将替换为，得到，
所以，因此的周期为8.
所以，，，
因为在上递增且是奇函数，所以在上递增，
所以，即.
故选：D.
7. 设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数及复合函数的单调性求法，分析计算即可.
【详解】令，则，
当时，在R上单调递减，
当时，在R上单调递增，
由一次函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减，
因为在区间上单调递增，根据复合函数的单调性可知，且，解得，
所以的取值范围是.
故选：A.
8. 已知幂函数在上单调递增，若实数满足，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据幂函数的定义和单调性求出，得到，代入利用基本不等式求解即可.
【详解】因为是幂函数，且在上单调递增，
所以，解得，
所以，
易知，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. （多选）下列叙述中错误的是（ ）
A. 若，则B. 若，则与的方向相同或相反
C. 若，，则D. 对任一非零向量，是一个单位向量
【答案】ABC
【解析】
【分析】本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解.
【详解】对于A，因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；
对于B，由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；
对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误；
对于D，对任一非零向量，表示与同向的单位向量，故D正确．
故选：ABC．
10. 已知函数，则（ ）
A. 当时，的单调递减区间为
B. 当时，的单调递增区间为
C. 的图象关于轴对称
D. 当时，的定义域为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用对数函数的性质，结合复合函数的单调性判断选项A、B，利用函数的对称性结合奇偶性判断选项C，利用赋值法判断选项D．
【详解】选项A、B：当时，，
，解得或，
函数的定义域为，
函数开口向上，对称轴为，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，在上单调递减，
函数在上单调递减，在上单调递增，故A正确，
不在定义域内，故B错误；
选项C：，定义域关于原点对称，
若图象关于轴对称，则偶函数，即，
，
是偶函数，其图像关于轴对称，故C正确；
选项D：当时，，定义域为，不是，故D错误．
故选：AC．
11. 已知，下面结论正确的是（）
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 在上恰有3个零点
D. 的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】先化简，再由函数的性质逐项判断即可．
【详解】
，所以，故A正确；
令，当时，，
因为在上单调递增，且是关于的一次函数，且单调递增，
所以在上单调递增，故B正确；
令，则，，解得，，
当时：
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，共4个零点，故C错误；
的图象向左平移个单位长度后，得到的函数为，
因为，所以是偶函数，其图象关于轴对称，故D正确．
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正方形的边长为1，，，，则为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的加法法则和模长进行计算.
【详解】.
故答案为：
13. 若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________
【答案】6
【解析】
【分析】根据关于对称即可求解.
【详解】由于，可得关于点对称，
故.
14. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是 _____________ ．
【答案】1
【解析】
【详解】将向左平移个单位，
得：，
又因为为奇函数，所以，
整理得： ，
又因为，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）若集合为非空集合且，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】（1）分析得出，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（2）分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式（组），由此可求得实数的取值范围.
【详解】（1）由知，因为为非空集合，所以，，解得；
（2）当时，由得，此时，满足；
当时，或，解得.
综上所述，或.
16. 已知函数是函数（，且）的反函数，的图象过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据的图象经过的点坐标求出，然后求出其反函数即可；
（2）结合对数函数的定义域及其单调性求解不等式即可.
【小问1详解】
因为（，且）的图象过点，
所以，解得，所以．
又因为函数是函数的反函数，
所以．
【小问2详解】
因为函数的定义域为，且在上单调递减，，
所以，解得，
所以的取值范围为.
17. 某芯片生产企业准备再建一条AI芯片生产线，在现有条件下，每月生产（千片）芯片，每片芯片售价0.3万元且全部销售完.该生产线每月需投入500万元的固定成本，另需投入的成本（万元）与的关系满足：
（1）求每月的利润（万元）关于月产量（千片）的函数解析式（利润=销售额-成本）；
（2）求该企业每月所获取的最大利润及相应的月产量.
【答案】（1）
（2）最大利润是800万元，此时月产量为50000片.
【解析】
【分析】（1）根据，分、分别求出函数解析式，即可得解；
（2）当时根据二次函数的性质求出最大值，当时利用基本不等式求出最大值，即可得解.
【小问1详解】
当月产量为千片时，销售额为（万元），
∴ ，
又
当时
，
当时
，
所以
【小问2详解】
当时，
，
当且仅当时取等号.
当时，，
当且仅当，即时，取等号，
∵，
∴该企业每月所获取的最大利润是万元，此时月产量为片.
18. 已知函数
（1）求函数的增区间
（2）直接写出取得最大值时的集合；
（3）若关于方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据余弦函数的图像性质即可求解；
（2）由题意，可得的最大值为，令，解方程即可求解；
（3）将函数的解析式代入方程，结合三角恒等变换，化简可得，通过换元法结合函数图像性质分析，即可求解.
【小问1详解】
由题意，函数，
令，解得，
故函数的单增区间为；
小问2详解】
由题意，可得，即的最大值为，
令，即，
故，解得，
故取得最大值时的集合；
【小问3详解】
由，
可得，
即，
即，
即，
又根据题意，方程在上有四个不同的实数根，
即方程在上有四个不同的实数根，
令，则，
又，则，所以，即，
令，则，如图，
所以要使在上有四个不同的实数根，
则需要在上有两个不相等的实数根
故，
由于时，无解，故，
则，
令则且，
故，
由于在单调递减，此时至多一个实数根，不符合题意，
故，如图：
当时，，
当且仅当时，取等号，
故.
19. 已知函数对任意实数恒有，当时，，且.
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）判断的单调性并证明；
（3）若对所有的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数，证明见解析
（2）上单调递减，证明见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）取特殊值得，再取结合，证明，确定是奇函数.
（2）任取，利用函数和式性质将转化为，结合时，得出在上单调递减.
（3）先求在的最大值，将恒成立问题转化为关于的一次函数在上恒小于0，解对应不等式组得的范围.
【小问1详解】
取，则，则；
取，则，
又定义域为，则是奇函数．
【小问2详解】
任取，则，
，
由时，可知，
即，即，
故上单调递减．
【小问3详解】
由题知，若对所有的，恒成立，
只需，
结合函数的单调性，时，，
则，即，
将不等式左边视作关于的一次函数，
而时恒成立，
故只需，即，
解得或