河北省沧州市五校2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题（Word版附解析）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是( )
A. 与的方向相反B.
C. 与的方向相同D.
【答案】C
【解析】
详解】由于,所以,因此与方向相同.选C
2. 已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三点共线可得，列出方程组即可得解.
【详解】因为，
且，，三点共线，
所以存在实数，使得，即，
则，解得.
故选：B
3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两个向量的垂直关系以及数量积的运算化简可得，再代入投影向量的公式即可.
【详解】因为，所以，
所以，
设的夹角为，
所以在上的投影向量为.
故选：B.
4. 在中，，则（ ）
A. 5B. 3或5C. 4D. 2或4
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理求解即可.
【详解】由余弦定理，得，
即，即，
解得或5，
经检验，均满足题意.
故选：B.
5. 在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由面积公式求出，即可得到为等腰三角形，则，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用两角差的正弦公式计算可得.
【详解】因为，解得，
所以为等腰三角形，则，
在中由正弦定理可得，即，解得，
因为，所以为锐角，所以，
所以
.
故选：A
6. 设为单位向量，，当，夹角为时，在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由投影向量的定义，代入已知数据计算即可.
【详解】由题意，在上的投影向量为．
故选：D．
7. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得，再由，结合正切函数的和差角公式以及基本不等式代入计算可得，即可得到结果.
【详解】因为，且，则，
由余弦定理可得，所以，
即，由正弦定理可得，
其中，则，所以，
又，
化简可得，
且为锐角三角形，则，
所以，
即，
解得或（舍），
所以，当且仅当时，等号成立，
则的最大值为.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题主要考查了余弦定理，正切函数的和差角公式以及基本不等式求最值问题，难度较大，解答本题的关键在于由余弦定理得到，然后结合基本不等式代入计算，即可求解.
8. 向量，（），函数的两个相邻的零点间的距离为，若（）是函数的一个零点，则的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据函数的两个相邻的零点间的距离为求出的值，再根据 （）是函数的一个零点得到再求的 值.
【详解】=
，
.
因为函数的两个相邻的零点间的距离为，
所以
所以.
令,则
因为，所以
所以=.
故选：A．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，则给出下列结论（ ）

A. B.
C. 在向量上的投影为D.
【答案】AB
【解析】
【分析】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为1，然后再由数量积的运算逐一分析四个选项得答案．
【详解】解：图中的正八边形，其中，
对于A：，故A正确．
对于B：，故B正确．
对于C：在向量上的投影，，故C错误．
对于D：，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故D错误．
故选：AB．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 在中，若，则为锐角三角形
B. 若，则在方向上的投影向量为
C. 若，且与共线，则
D. 设是所在平面内一点，且则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量数量积为负，确定其夹角为钝角，从而判断；求向量投影判断；用反证法判断；用向量加法几何意义判断．
【详解】解：对于，因为，所以，于是，所以为钝角三角形，所以错；
对于，因为，则在方向上的投影向量为，所以对；
对于，假设对，则，从而，于是，所以与不共线，所以与与共线矛盾，所以错；
对于，取中点，连接、，延长到，使，连接、，
则四边形为平行四边形，于是，又因为，
所以，所以、、共线，且，所以，所以对．
故选：．
11. 下列说法中错误的为（ ）
A. 已知， ，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B. 向量不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若，则在方向上投影的数量为
D. 三个不共线的向量，满足，则是的内心
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可；对于B，由，可知，不能作为平面内所有向量的一组基底；对于C，利用向量投影的定义即可判断；对于D，由，得，根据全等三角形得，同理可得，即点到三边的距离相等，进而得出点是的内心.
【详解】解：对于A：，与的夹角为锐角，
可得，且与 不共线，，
即有，且，
解得且，则实数的取值范围是且，故A错误；
对于B：向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；
对于C：若，则在方向上的投影的数量为，故C错误；
对于D：过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，如图，
三个不共线的向量，满足，
，即，
即，易得≌，则，
同理可得，即点到三边的距离相等，则是的内心，故D正确．
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，若，，且，则 __________
【答案】13
【解析】
【分析】把平方再开方，结合题中条件计算即可.
【详解】90°,
，又||＝12，||＝5
则，
故答案为：
13. 已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东_______.
【答案】
【解析】
【分析】设海警船的航行方向是北偏东，根据条件，利用正弦定理得到，即可求解.
【详解】设海警船的航行方向是北偏东，
由题知，，，
在中，由正弦定理得到，得到，
又，所以，得到，
故答案为：.
14. 某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖ABCDEFGH，该十字飞镖由四个全等的三角形和一个正方形组成．在△ABC中，，，BC＝4，边DE上有4个不同的点，，，，且，记，则______.
【答案】96
【解析】
【分析】延长交于点，利用三角形等面积法求出 ，根据向量数量积运算求出即可
【详解】延长交于点，如图，
因为
所以
因为,
所以
所以.
在中，，
所以
设边上的高为，，
解得，即 ，
故答案为:
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，．
（1）若，求在上的投影向量的模；
（2）若，向量，求与夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先表示出，即可求出在上的投影向量的模；（2）根据求出x，即可求出与夹角的余弦值.
【小问1详解】
当时，.
因为，所以在上的投影向量的模为．
小问2详解】
因为向量，且，所以，解得：.
即，.
所以.
16. 如图，已知D，E，F分别为的三边，，的中点，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】利用向量加法的三角形法则，在图形中寻找回路，即可证明．
【详解】由题意知，，，
由题意可知，．
．
17. 在中，已知，，.
（1）求；
（2）若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；
(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.
【小问1详解】
由余弦定理可得：
，
则，，
.
【小问2详解】
由三角形面积公式可得，
则.
18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b=，csB=，求c的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c的方程，解方程可得边长c的值；
(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得的值，然后由诱导公式可得的值.
【详解】（1）因为，
由余弦定理，得，即.
所以.
（2）因为，
由正弦定理，得，所以.
从而，即，故.
因为，所以，从而.
因此.
点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.
19. 如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记.
（1）在仿射坐标系中.
①若，求；
②若，且，的夹角为，求；
（2）如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值.
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①由题意，，将其两边平方，再开方即可得到；
②由表示出和，再由已知用表示出，因为与的夹角为，然后由，即可得到；
（2）由题意，设出坐标，表示出，由，求出的表达式，在中依据余弦定理可得，代入得的表达式化简，再在中，用正弦定理，求出，代入的表达式，通过三角恒等化简可得出答案.
【小问1详解】
①因为，
，
所以；
②由，即，
得，
，
，
因为与的夹角为，
则，得；
【小问2详解】
依题意设，
，
因为为中点，则，
为中点，所以，
所以
，
因为，
则，
在中依据余弦定理得，所以，代入上式得，
，
在中，由正弦定理，
设，则，
，其中，是取等号，
则.
【点睛】关键点点睛：设出坐标，求出的表达式是解决第三问的关键.