安徽省芜湖市2023-2024学年高一（上）1月期末教学质量检测数学试卷（解析版）

这是一份安徽省芜湖市2023-2024学年高一（上）1月期末教学质量检测数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，故.
故选：A.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】的否定是.
故选：C.
3. 若实数满足，则最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】由可知，则，
代入得：，
当时等号成立，即当时，取得最小值.
故选：D.
4. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于选项A，，所以是偶函数，
且在单调递增，故A正确；
对于选项B，非奇非偶，故B错误；
对于选项C，，所以是奇函数，故C错误；
对于选项D，，所以是偶函数，
但是在有增有减，故D错误.
故选：A.
5. “古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）．根据以上信息，当圆心角对应弧长时，的“古典正弦”值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由圆心角对应弧长，得圆心角弧度数绝对值为2，则，
所以.
故选：B.
6. 函数的部分图象如图所示，则可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，函数的定义域为R，
，
函数是偶函数，图象关于y轴对称，不符合题意，A不是；
对于B，函数的定义域为，图象不过原点，不符合题意，
B不是；
对于C，函数的定义域为R，，函数是奇函数，
图象关于原点对称，当时，的图象恒在函数的上方，恒有，
符合题意，C是；
对于D，当时，，则，
而函数在上的取值集合是，
因此函数在上无最大值，不符合题意，D不是.
故选：C.
7. 已知，则以下四个数中最大的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】当时，如下图所示：
设锐角，锐角的终边交单位圆于点，
设射线交过点且与单位圆相切的直线于点，过点作轴，垂足为点，
则，，，
因为，即，即，
因为，则，，所以，，，
又因为，则，所以，，
所以，，
故选：D.
8. 函数最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，设，
故，
令，则，
当时，取到最大值，
故y的最大值为，即函数的最大值为.
故选：D.
二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 已知角的顶点在平面直角坐标系原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，现将角的终边按逆时针方向旋转后与角的终边重合，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】依题意，，A错误，B正确；
又，因此，，
C正确，D错误.
故选：BC.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的定义域为 B. 是偶函数
C. 的值域为 D.
【答案】BCD
【解析】有意义，则，解得，故的定义域为，
A错；
的定义域关于原点对称，且，故是偶函数，
B对；
，
令，易知在单调递增，
故或，即的值域为，C正确；
，故D正确.
故选：BCD
11. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】已知，则，A正确；
因为，则，故，故B错误；
，C正确；
，故，D正确.
故选：ACD.
12. 已知函数，则（ ）
A. 是周期函数 B. 的最小值是
C. 的图象至少有一条对称轴 D. 在上单调递增
【答案】BCD
【解析】若是周期函数，则存在非零常数，
使得，
化简得，则，
或，可知均与x有关，
故非零常数不存在，A错误；
令，则，故的最小值是，故B正确；
结合B选项，因为，
故的图象的对称轴为，故C正确；
由B易知：在单调递增，且，
故单调递增，由复合函数单调性知在上单调递增，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分．）
13. 若幂函数的图象经过点，则_________．
【答案】
【解析】根据幂函数，则，
又由的图象过点，所以，故，所以.
14. 已知函数为奇函数，则实数_________．
【答案】
【解析】设，则，可得，
即函数的定义域为，
则，即，
即，
解得.
15. 已知，符号表示不大于的最大整数，比如，，若函数有且仅有个零点，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】当时，由可得，
问题转化为直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示：
当直线经过点时，则有，可得；
当直线经过点时，则有，可得.
由图可知，当时，
直线与函数在上的图象有两个交点.
因此，实数的取值范围是.
16. 若函数与在区间单调性一致，则的最大值为_________．
【答案】
【解析】要考虑的最大值，只需考虑，
当时，则，，
所以，函数与在区间上同时单调递增，
则，解得，故的最大值为.
四、解答题（本题共6小题，共44分．）
17. 化简求值：
（1）；
（2）．
解：（1）原式.
（2）原式．
18. 如图，动点从边长为2的正方形的顶点开始，顺次经过点绕正方形的边界运动，最后回到点，用表示点运动的的路程，表示的面积，求函数．（当点在上时，规定）
解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，.
19. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域．
解：（1）因为，
令，得，
所以的单调递增区间为．
（2）将函数的图象向右平移个单位，
得到，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到，
当，故，
所以的值域为．
20. 设函数，关于的一元二次不等式的解集为．
（1）求不等式的解集；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）因为一元二次不等式的解集为，
所以和1是方程的两个实根，则，
解得．因此所求不等式即为：，
解集为或．
（2）可化为：，当时显然成立；
当时，对恒成立，
令，则，
当，即时，
所以，即．
21. 如图，已知是之间的一点，点到的距离分别为，且是直线上一动点，作，且使与直线交于点．设．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求周长的最小值．
解：（1）由题意知，，
于是，则.
当时，，即，
所以，又，
于是，
当且仅当，时，等号成立．
故的最小值为.
（2）由题意知：，
因为，所以，
又中，
所以的周长，
令，
由得，
所以周长，
易知函数在上单调递减，
所以当，即时周长最小，最小值．
故当时，周长的最小值为.
22. 已知函数．
（1）若，且图象关于对称，求实数的值；
（2）若，
（i）方程恰有一个实根，求实数的取值范围；
（ii）设，若对任意，当时，满足，求实数的取值范围．
解：（1）由题意知图象关于对称，
所以为偶函数，
即，
所以，故.
（2）由题意知，
（i）方程，所以，
整理可得，，即，
当时，方程有唯一解，此时，不符合条件；
当时，同上，解方程得，也不符合条件；
当且时，方程有两不等解，
若满足，则，
若满足，则，
显然若时，无解，
若时，有两解，
所以当时方程恰有一个实根，
综上，实数的取值范围为；
（ii）令，则在上为减函数，而在上为增函数，
所以函数在上为减函数，
当时，满足，
则，
所以，
因为，即对任意的恒成立，
设，
又，所以函数在单调递增，
所以，所以．