安徽省十所名校2025-2026学年高一下学期3月开学考试 数学（含解析）

这是一份安徽省十所名校2025-2026学年高一下学期3月开学考试 数学（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．集合的子集的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．＝（ ）
A．B．C．D．
3．若幂函数的图象过点，则（ ）
A．在上单调递减，且图象过点
B．在上单调递增，且图象过点
C．在上单调递减，且图象过点
D．在上单调递增，且图象过点
4．将函数的图象向右平移个单位长度，可得到的图象，则（ ）
A．B．C．D．
5．“”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若正实数x满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
10．下列函数中，既是奇函数又在定义域上具有单调性的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当n为偶数时，的图象关于直线对称
B．当n为奇数时，的最小值为
C．当时，图象上相邻两个最低点间的距离为
D．当时，在上存在两个不同的使得
三、填空题
12．已知是第二象限角，且终边在直线上，则_______．
13．某科研团队研发了一种新型光催化降解污染物材料，实验发现，其降解效率（单位：）随光照时间t（单位：h）变化的关系式为．若时降解效率为，则时降解效率为_______．
14．已知非常值函数的定义域为R，且，均有，若，则_______．
四、解答题
15．已知函数满足：当时．
(1)若是偶函数，求时的解析式；
(2)用定义证明在上单调递增．
16．已知，且．
(1)求；
(2)若，且，求．
17．（1）已知，比较与的大小；
（2）已知，且，求的最大值．
18．已知函数．
(1)求的值；
(2)解不等式；
(3)已知表示不超过x的最大整数，如：，，．函数，区间，若，，使得，求实数a的取值范围．
19．已知函数．
(1)求的单调递增区间．
(2)若函数，
（i）求在上的值域；
（ii）若方程在上的所有根组成的集合为A，，且，求的取值范围，并判断A中最多有多少个元素．
参考答案
1．D
【详解】，解得或，
，集合A有两个元素，
所以其有4个子集．
故选：D．
2．B
【详解】可知.
故选：B.
3．A
【详解】设，
由题意可得：，可得，
则在上单调递减，
且，即图象过点.
4．B
【详解】由题意可得：.
5．C
【详解】若，解得，即等价于.
对于选项A：因为集合与集合之间不存在包含关系，
可知是的既不充分也不必要条件，故A错误；
对于选项B：因为集合与集合相等，
可知是的充要条件，故B错误；
对于选项C：因为集合是集合的真子集，
可知是的充分不必要条件，故C正确；
对于选项D：因为集合是集合的真子集，
可知是的必要不充分条件，故D错误.
6．B
【详解】因为，
又因为，则，
所以.
7．D
【详解】由题可知，则，即，解得，
可知，化简为，解得，
当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和，
则，解得.
当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和，
则，解得.
所以实数a的取值范围是.
8．C
【详解】依题意，，
同理，
令，则，
因此，
令函数，
而函数在上都单调递减，则函数在上单调递减，
又，
则，即，
因此，解得.
9．ACD
【详解】由诱导公式可知，即，所以A正确；
因为，所以，所以B错误；
，所以C正确；
由可得，
则，所以D正确；
10．BD
【详解】对于选项A：因为的定义域为，
且，可知函数不为奇函数，故A错误；
对于选项B：因为的定义域为，
且，可知函数为奇函数，
又因为，
且在定义域内单调递增，则在定义域内单调递增，
综上所述：既是奇函数又在定义域上具有单调性，故B正确；
对于选项C：令，解得且，
可知函数的定义域为，
因为，则，
可得，，可知函数在定义域内不单调，故C错误；
对于选项D：因为，
可知函数的定义域为，
且，
所以函数为奇函数，
又因为，
因为，在内单调递增，则在内单调递增，
且在定义域内单调递增，则在内单调递减，
可知在内单调递减，所以在定义域内单调递减，
综上所述：既是奇函数又在定义域上具有单调性，故D正确.
11．ABD
【详解】对于选项A：当n为偶数时，则，
所以的图象关于直线对称，故A正确；
对于选项B：当n为奇数时，则，
若求的最小值，则，可得，
此时，
则，当且仅当或，即或时，等号成立；
可得，即，
所以的最小值为，故B正确；
对于选项C：当时，则，
因为，
可知函数的一个周期为，
由周期性可知图象上相邻两个最低点间的距离不大于，故C错误；
对于选项D：当时，则，且，
当时，则，，
可得，不合题意；
当时，则，，
可得，解得；
当时，则，，
可得，不合题意；
当时，则，，
可得，解得；
综上所述：在上存在两个不同的使得，故D正确.
12．/
【详解】终边在直线上且在第二象限，设点坐标为，
则.
13．
【详解】因为，
由题意可知：，整理可得，解得，
则，可得，
所以时降解效率为.
14．2
【详解】因为，
令，则，解得或，
若，令，，则，
可得，即，为常值函数，不合题意，所以，
又因为，令，，则，
可得，即，则，
可知函数的一个周期为4，
在中令，则，可得，
所以.
15．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当是偶函数，可得，
所以当时，，则，即，
所以时，.
（2）设，则，
由，可得，
所以，即，
所以在上单调递增.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为，即，
联立方程，解得或，
又因为，则，，
所以，.
（2）因为，
即，且，
可得，，
所以.
17．（1）；（2）4
【详解】（1）因为
，
又因为，则，，
且，，
可得，即，
所以；
（2）因为，且，则，
又因为，即，
整理可得，即，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为4.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）令，等价于，解得，
可知函数的定义域为，则，故，
所以.
（2）由已知，，
故，，
解得，
因为，
又因为在内单调递减，且在定义域内单调递增，
可知函数在内单调递减，，，
当趋近于0时，趋近于；当趋近于2时，趋近于；
则不等式即为，
等价于，即，可得，
所以不等式的解集为.
（3）设在区间内的值域分别为，
若，，使得，等价于，
因为，则，
可得，即，则，
若，则，可得，不合题意；
若，则，
因为，则，可得，解得；
综上所述：实数a的取值范围为.
19．(1)
(2)（i）（ii），最多8个元素.
【详解】（1）
，
令，解得，
即函数的单调递增区间为.
（2）当时，即，化简得，解得.
同理时，解得.
所以，
（i）当时，，可知，则，
当时，，可知，则，
当时，，可知，则，
综上，在上的值域为.
（ii）由题意，且是周期为的函数，
结合（2）可知，在上的根依次为，
因为，且，所以，且集合A中最多有8个元素.