安徽省芜湖市2023_2024学年高二数学下学期3月测试试题含解析

这是一份安徽省芜湖市2023_2024学年高二数学下学期3月测试试题含解析，共16页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 在等差数列中，若，则公差， 已知，则，1，参考数据等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数的单调性、一元二次不等式的解法，结合并集的定义进行求解即可.
【详解】由，
由，
所以，
故选：C
2. 在等差数列中，若，则公差
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
把用表示出来，根据题目条件列出方程组，即可求得本题答案.
【详解】在等差数列中，因为，所以，求得.
故选：B
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用，属于基础题.
3. 已知不重合的直线和平面，，，则“”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【详解】a⊥b可得两平面的法向量垂直，则两平面垂直α⊥β，
平面垂直α⊥β可得两平面的法向量垂直a⊥b，
故选C．
4. 已知数据，，…，的平均数和方差分别为4，10，那么数据，，…，的平均数和方差分别为（）
A. ，B. 1，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】利用平均数与方差的运算性质求解即可．
【详解】设数据，，…，的平均数和方差分别为和，
则数据，，…，的平均数为，方差为，
得，，
故选：D．
5. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数量积的运算律求出，在根据向量在向量上的投影向量为计算可得.
【详解】因为，且，所以，即，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C
6. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由和差角公式可得，从而得解.
【详解】，
所以，
则
故选：B
7. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）
（精确到0.1，参考数据：）
A. 0.3B. 0.5C. 0.7D. 0.9
【答案】B
【解析】
【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，
得，，
则，则给氧时间至少还需要小时
故选： B
8. 已知定义在R上的连续可导函数及其导函数满足恒成立，且时，则下列式子不一定成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，利用的单调性可得结果.
【详解】设，因为，
又，所以，即在R上为增函数，
选项A：因为，即，化简得，故A成立；
选项B：因为，即，化简得，故B成立；
选项C：因为，即，化简得，故C成立；
选项D：因为，即，化简得，而故D不一定成立；
故选：D.
【点睛】本题关键是构造函数，利用函数的单调性判断结果.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 给定数集，，满足方程，下列对应关系为函数的是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用函数的定义，结合指数函数、对数函数的性质逐项判断即得.
【详解】对于A，，，均有唯一确定，符合函数定义，A正确；
对于B，，，均有唯一确定，符合函数定义，B正确；
对于C，，取，，不符合函数定义，C错误；
对于D，，，均有唯一确定，符合函数定义，D正确.
故选：ABD
10. 已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出，，三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断.
【详解】设，，
，，
，，
对于A，，故选项A正确；
对于B， ，，故选项B正确；
对于C，，
当时，，故选项C错误；
对于D，，
可以为零，也可以不为零，所以不一定平行于，故选项D错误.
故选:AB.
11. 设定义在R上的可导函数和满足，，为奇函数，且. 则下列选项中正确的有（ ）
A. 为偶函数
B. 为周期函数
C. 存在最大值且最大值
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，两边求导得到，故，故A正确；B选项，构造，求导得到，从而构造，求导得到，求出，，结合函数奇偶性和方程思想得到，，，，从而，B错误；C选项，利用基本不等式求出最小值为，D选项，计算出.
【详解】A选项，由为奇函数，即，对方程两边同时求导，
根据求导法则，得，即，
从而为偶函数，所以A正确.
B选项，由题意知，构造函数，，
根据求导法则，得，
即，
于是，构造函数，，根据求导法则，
得.
从而，，即，，其中为待定常数.
由为奇函数，得. 再由，得，
又，即，
从而，.
另由为奇函数，为偶函数知，
，
与联立，解得，，
，.
由于当时，，
故不是周期函数，所以B不正确；
C选项，由基本不等式知，，
其中当且仅当时等号成立，即存在最小值且最小值为，所以C不正确；
D选项，
，
D正确.
故选：AD
【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：
比如：若，则构造，
若，则构造，
若，则构造，
若，则构造.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12已知，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用基本初等函数的求导公式及加法运算法则计算即可.
【详解】由，
所以.
故答案为：2
13. 已知，，，若在圆（）上存在点满足，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】设，求出点的轨迹为，从而转化为两圆有公共点，利用圆与圆的位置关系从而可求解.
【详解】设，将坐标代入式子，可得，
即，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.
依题意，两圆有公共点，则，解得.
故答案为：.
14. 已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先得到圆心在上，半径为，故的最小值等于的最小值减去半径，由反函数可知，的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，求导得到在点处的切线与平行，求出到的距离最小值，得到答案.
【详解】由题意得，即圆心在上，半径为，
故的最小值等于的最小值减去半径，
设，由于与关于对称，
的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，
由，可得，令，解得，
故在点处的切线与平行，此时到的距离最小，
最小值为，
故的最小值为，
则的最小值等于.
故答案为：
【点睛】方法点睛：两曲线上点的距离最值问题，处理思路如下：
①设出两点的坐标，利用两点间距离公式表达出距离，结合基本不等式或求导，得到函数最值；
②利用几何关系，找到取最小距离的位置或点的坐标，进行求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求函数在区间上的最值．
【答案】（1）答案见解析
（2）最小值为，最大值为
【解析】
【分析】（1）根据条件得到，分，和三种情况讨论导函数的符号，即可得出结论；
（2）求出函数的导函数，根据导函数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可求得函数在区间上的最值.
【小问1详解】
因为，所以，
①当时，恒成立，此时在R上单调递增；
②当时，由，解得或，由，得到，
此时在，上单调递增，在上单调递减；
③当时，由，解得或，由，得到，
此时在，上单调递增，在上单调递减．
【小问2详解】
当时，，则，
由，得到或，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又，，，
所以当时，函数在上的最小值为0，最大值为5．
16. 已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从，上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：
（1）求和的标准方程；
（2）若和交于不同的两点，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）通过观察可得点在抛物线上，点在椭圆上，代入点的方程求解即可；
（2）将和联立，求出交点横坐标，然后利用数量积的坐标运算求解.
【小问1详解】
设抛物线的标准方程为，则，
结合表格数据，因为，
所以点在抛物线上，且，解得，
所以抛物线的标准方程为.
将点代入椭圆的标准方程中，
得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
根据对称性，可设两点坐标分别为，
联立方程组，消得，
解得，，
因，
所以.
所以.
17. 如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，.
（1）求证：平面平面；
（2）点为棱的中点，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，可证平面，根据判定定理可证平面平面；
（2）以为坐标原点所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式可求线面角的正弦值.
【小问1详解】
证明：如图，取的中点，连接，
∵为正三角形，，∴且.
∵，为的中点，∴，
又∵底面为直角梯形，即，故四边形为平行四边形，
而，所以四边形为矩形，∴.
平面，∴平面.
∵平面，平面平面.
【小问2详解】
由（1）得，由（1）又可得，
如图，以为坐标原点所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，
.
设平面的法向量为，
由，得，令，则，，
设与平面所成的角为，则
，
∴与平面所成角的正弦值为
18. 设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）令，为数列的前项积，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由等差数列定义可得，由与的关系即可得；
（2）由与可得，即可得，由，可得，借助等比数列求和公式计算即可得证.
【小问1详解】
由是首项为、公差为的等差数列，
故，
即，
当时，，
故
，
当时，，符合上式，
故；
【小问2详解】
由，，
故，
则
，
由，
故，
则.
19. 已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
（1）试判断集合是否具有性质，并说明理由；
（2）若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；
（3）证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”.
【答案】（1）不具有，理由见解析
（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断；
（2）首先根据性质，确定集合，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”；
（3）首先证明充分性，存在三个互不相同的，使得均属于
证明满足性质的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的，再证明均属于，即可证明.
【小问1详解】
集合不具有性质，理由如下：
（i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③
（ii）从集合中任取三个元素有一个为，另外两个为奇数时，不妨设，，
则有，即，不满足条件②，
综上所述，可得集合不具有性质.
小问2详解】
证明：由是偶数，得实数是奇数，
当时，由，得，即，不合题意，
当时，由，得，即，或（舍），
因为是偶数，所以集合，
令，解得，
显然，
所以集合是集合的“期待子集”得证.
【小问3详解】
证明：
先证充分性：
当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于，
不妨设，令，，，则，即满足条件①，
因为，所以，即满足条件②，
因为，所以为偶数，即满足条件③，
所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质.
再证必要性：
当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数，
令，，，则由条件①得，
由条件②得，
由条件③得均为整数，
因为，
所以，且均为整数，
所以，
因为，
所以均属于，
所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”.
综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质.