山东青岛五十八中杜威实验学校2026届高三一模数学试题含答案

这是一份山东青岛五十八中杜威实验学校2026届高三一模数学试题含答案，共16页。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数 z=21+i3 ,则 z= ( )
A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i
2. 若集合 A=x x=k2,k∈Z,B=x x=k4,k∈Z ，则( )
A. A⊆B B. B⊆A C. A=B D. A∩B=⌀
3.《九章算术》是中国古代的数学名著, 书中有“分钱问题”: 现有 5 个人分 5 钱, 5 人分得钱数依次成等差数列, 前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和, 则分得钱数最少的一人钱数为( )
A. 13 B. 12 C. 23 D. 56
4. 1+1x21+x6 展开式中 x2 的系数为
A. 15 B. 20
C. 30 D. 35
5. 已知函数 fx=e−x−1,x≤0,1−ex,x>0, 则 f2x+fx−3>0 的解集是( )
A. −∞,1 B. 1,+∞ C. −∞,−3 D. −3,+∞
6. 已知圆台的侧面展开图是半个圆环,侧面积为 4π ,则圆台上下底面面积之差的绝对值为 ( )
A. π B. 2π C. 4π D. 8π
7. 已知 α,β∈0,π,tanα−β=12,tanβ=−17 ，则 2α−β= ()
A. 5π4 B. π4 C. −π4 D. −3π4
8. 设 △AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,… 若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=cn+an2,cn+1=bn+an2 ,则
A. Sn 为递减数列
B. Sn 为递增数列
C. S2n−1 为递增数列, S2n 为递减数列
D. S2n−1 为递减数列, S2n 为递增数列
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在去年的足球联赛上, 甲队每场比赛平均失球数是 1.5 , 方差为 1.1; 乙队每场比赛平均失球数是 2.1 , 方差是 0.4 , 下列说法正确的有 ( )
A. 平均来说甲队比乙队防守技术好
B. 乙队比甲队的防守技术更稳定
C. 每轮比赛甲队的失球数一定比乙队少
D. 乙队可能有一半的场次不失球
10. 已知函数 fx=sinx,gx=csx ,则下列结论正确的是 ( )
A. gfx 为偶函数 B. fgx 为奇函数
C. gfx 在 R 上没有零点 D. fgx 的最小正周期为 2π
11. 现进行如下试验: 从 1,2,3,⋯,10 中任选一个数,记为 a1 ,若 a1=1 ,则试验结束; 否则再从 1,2,⋯,a1−1 中任选一个数,记为 a2 ,若 a2=1 ,则试验结束; 否则再从 1,2,⋯,a2−1 中任选一个数，依次类推，直至选中 1 为止.记事件 Ai= “试验过程中，数字 i 被选到”， pi 表示事件 Ai 发生的概率 i=1,2,3,⋯,10 ,则()
A. p9=110
B. p8=110+19p10+18p9
C. PA8∣A9=PA8∣A10
D. PAiAj=pi⋅pji,j∈{1,2,⋯,10}且i≠j
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若向量 a,b 满足 a+b=a−b ，且 a=b=1 ，则 2a+b 的值为_____.
13. 双曲线 C:x24−y25=1 的左焦点为 F ,点 A0,4 ,若 P 为 C 右支上的一个动点,则 PA+PF 的最小值为_____.
14. 已知正四面体 ABCD 的棱长为 22 ,动点 P 满足 PA2+PB2=PC2+PD2 ,用所有这样的点 P 构成的平面截正四面体,则所得截面的面积为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 如图,在三棱锥 D−ABC 中, AC=AB=BD=2,AB⊥BD,AB⊥AC,E,M,N 分别为 AB,AD,BC 的中点.

(1)证明:平面 EMN⊥ 平面 ABC ；
(2)若 CD=23 ，求直线 MN 与平面 ACD 所成的角.
16. 已知 a,b,c 分别是 △ABC 内角 A,B,C 的对边， a2+b2−c2=2ab .
(1)若 c=2,a=1 ，求 △ABC 的面积；
(2)若 AD=DB,csB=255 ，求 ∠BCD 的正切值.
17. 甲参加围棋比赛,采用三局两胜制,若每局比赛甲获胜的概率为 p0m>0 ,直线 l1:x−y−m=0 与 C 交于点 A,B ,直线 l2:x−y−n=0 与 C 交于点 A′ , B′ ,点 A,A′ 在第一象限,记直线 AA′ 与 BB′ 的交点为 G ,直线 AB′ 与 BA′ 的交点为 H ,线段 AB 的中点为 E .
①证明: G ， E ， H 三点共线；
②若 m+12+n=7 ，过点 H 作 l1 的平行线，分别交线段 AA′ ， BB′ 于点 T ， T′ ，求四边形 GTET′ 面积的最大值.
1. B
因为 z=21+i3=21−i=21+i1−i1+i=1+i ,故 z=1−i .
故选: B.
2. A
因为集合 A=x x=k2,k∈Z=x x=2k4,k∈Z,B=x x=k4,k∈Z ,则 A⊆B .
故选: A
3. C
设第 n1≤n≤5,n∈N∗ 所得钱数为 an 钱,则数列 a1、a2、a3、a4、a5 为等差数列, 设数列 a1、a2、a3、a4、a5 的公差为 d ,
则 5a1+5×42d=52a1+d=3a1+9d ,解得 a1=43d=−16 ,故 a5=a1+4d=43−4×16=23 .
故选: C
4. C
因为 1+1x21+x6=1+x6+1x2×1+x6 ,则 1+x6 展开式中含 x2 的项为 C62x2=15x2;1x2×1+x6 展开式中含 x2 的项为 1x2×C64x4=15x2 ,故 x2 的系数为 15+15=30 , 故选: C.
5. A
当 x>0 时, fx=1−ex,−x0⇔f2x>−fx−3=f3−x⇒2x0 ,则 φ′x=e2x2x2−1x2+x2 ,
令 φ′x22+11+2=2 .
19.(1) 设 Mx,y,⊙M 与直线 x+2=0 的切点为 N ,则
MN2=MW2=OM2+OW2,
所以 x+22=x2+y2+4
化简得 y2=4x ,所以 C 的方程为: y2=4x ;
(2)①设线段 A′B′ 的中点为 F ，
因为 l1//l2 ,所以可设 GA=λGA′,GB=λGB′ ,
又因为 GE=12GA+GB=λ2GA′+GB′=λGF ,
所以 G,E,F 三点共线,同理, H,E,F 三点共线,
所以 G,E,H 三点共线.
② 设 Ax1,y1 ， Bx2,y2 ， A′x3,y3 ， B′x4,y4 ， AB 中点为 E ， A′B′ 中点为 F ，
将 x=y+m 代入 y2=4x 得: y2−4y−4m=0 ，所以 y1+y2=4,y1y2=−4m ， 所以 yE=y1+y22=2 ,
同理 y3+y4=4,y3y4=−4n,yF=2G,E,H,F 均在定直线 y=2 上)
因为 TT′//l1 ,所以 △EAT 与 △EAH 面积相等, △EBT′ 与 △EBH 面积相等;
所以四边形 GTET′ 的面积等于四边形 GAHB 的面积,
设 GxG,2,HxH,2 ,
直线 AA′:y−y1=y1−y3x1−x3x−x1 ,即 y−y1=y1−y3y124−y324x−y124
整理得: 直线 AA′:y=4x+y1y3y1+y3 ,又因为 yG=2 ,所以 xG=2y1+y3−y1y34 ,
同理,直线 BA′:y=4x+y2y3y2+y3,yH=2 ,所以 xH=2y2+y3−y2y34
所以 GH=xG−xH=y1−y22−y34=y1−y2y3+y42−y34
=y1−y2y3−y48
所以四边形 GAHB 面积 S=12GH⋅y1−y2=y1−y22⋅y3−y416
=y1+y22−4y1y2⋅y3+y42−4y3y416
=16+16m⋅16+16n16
=41+m21+n
≤41+m2+1+n2=22+m2+2m+n=16 ,
当且仅当 1+m2=1+n ,即 m2+2m=nn+m2+2m=6 ,即 m=1n=3 时取等号, 所以四边形 GTET′ 面积的最大值为 16 .

X
3
-2
p
3p2−2p3
1−3p2+2p3
Y
1
0
p
3p2−2p3
1−3p2+2p3