山东青岛五十八中高新学校2026届高三一模调研数学试题含答案

这是一份山东青岛五十八中高新学校2026届高三一模调研数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了 直线 l， 已知双曲线 C，020等内容，欢迎下载使用。
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={1,2,3,4,5},B=x x2−4x−50,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 . 以 F1F2 为直径的圆和 C 的渐近线在第一象限交于 A 点，直线 AF1 交 C 的另一条渐近线于点 B,F1B=BA ，则 C 的离心率为( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某学校组织全体学生参加了文创大赛，随机抽取了 400 名学生的成绩进行统计，得频率分布直方图 (如图), 则 ( )

A. 图中 x 的值为 0.020
B. 该样本中成绩在区间 90,100 内的学生有 160 人
C. 估计全校学生成绩的平均数约为 86.5
D. 估计全校学生成绩的 80% 分位数约为 95
10. 设复数 z 满足 z2−4=z2 ,则()
A. z−2−z+2=22 B. z≥2
C. 关于 z 的方程 z=a+aia∈R 有解
D. 若复数 w 满足 w=1 ,则 z−w≥2−1
11. 已知函数 fx=sinx+lnx ,将 fx 的所有极值点按照由小到大的顺序排列,得到数列 xn ,对于任意的正整数 k ,则 ( )
A. xk+1−xk0 是 fx 有三个不同零点的必要而不充分条件.
18. 一盒子中有大小与质地均相同的 20 个小球,其中白球 n3≤n≤13 个,其余为黑球.
(1)当盒中的白球数 n=6 时有放回地依次取出 3 个球，求恰有一次取到黑球的概率.
(2)当盒中的白球数 n=6 时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用 A 表示事件“第一次取到白球”,用 B 表示事件“第二次取到白球”,求 pA 与 pB ,并判断事件 A 与 B 是否独立.
(3)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机抽取 10 个球，若其中恰有 3 个白球, 则获奖, 否则不获奖, 要使参与者获奖的可能性最大、最小, 该同学应该分别如何放置白球的数量 n .
19. 如图,椭圆 Γ1:x2m+y2n=1m>n>0,Γ2:x2n+y2m=1 ,已知 Γ1 右顶点为 H2,0 ,且它们的交点分别为 P11,1,P2−1,1,P3−1,−1,P41,−1 .


(1)求 Γ1 与 Γ2 的标准方程；
(2)过点 P1 作直线 MN ，交 Γ1 于点 M ，交 Γ2 于点 N ，设直线 P3M 的斜率为 k1 ，直线 P3N 的斜率为 k2 ,求 k2k1 ; (上述各点均不重合)
(3)点 Q1 是 Γ1 上的动点，直线 Q1P1 交 Γ2 于点 Q2 ，直线 Q2P2 交 Γ1 于点 Q3 ，直线 Q3P3 交 Γ2 于点 Q4 ,直线 Q4P4 与直线 Q1P1 交于点 N ,求点 G 坐标,使直线 NG 与直线 NH 的斜率之积为定值. (上述各点均不重合)
1. C
B=x x2−4x−50,fx 在区间 x0,+∞ 上单调递增.
所以 fx 不可能有三个不同零点.
综上所述,若函数 fx 有三个不同零点,则必有 Δ=4a2−12b>0 .
故 a2−3b>0 是 fx 有三个不同零点的必要条件.
当 a=b=4,c=0 时, a2−3b>0,fx=x3+4x2+4x=xx+22 只有两个不同零点,所以 a2−3b>0 不是 fx 有三个不同零点的充分条件.
因此 a2−3b>0 是 fx 有三个不同零点的必要而不充分条件.
18. 11891000
(2) 310 ， 310 ，不独立；
(3)当 n=6 时，获奖的可能性最大；当 n=13 时，获奖的可能性最小.
(1)有放回的抽取，每次抽取到白球的概率为 620=310 ，取到黑球的概率为 1420=710
由 n 次独立重复试验知,恰有一次取到黑球的概率为 C31×3102×710=1891000 .
(2)当 n=6 时,盒中有 6 个白球， 14 个黑球， PA=620=310,PB∣A=519 ， PB∣A=619,PB=PAB+PAB=PAPB∣A+PAPB∣A =310×519+710×619=310 ,则 PB∣A≠PB ,所以事件 A 与 B 相互不独立.
(3)从 20 个球中取 10 个球，恰有 3 个白球的概率 P=Cn3C20−n7C2010 ， 设 fn=Cn3C20−n7 ,当 3≤n≤12 时, fn+1fn=Cn+13C19−n7Cn3C20−n7=n+1!3!n−2!⋅19−n!7!12−n!n!3!n−3!⋅20−n!7!13−n!=−n2+12n+13−n2+22n−40 , −n2+12n+13−−n2+22n−40=53−10n ,当 3≤n≤5 时, fn+1>fn, 当 6≤n≤12 时, fn+1C133=f13 ,则 fnmax=f6,fnmin=f13 ,
所以当 n=6 时,参与者获奖的可能性最大; 当 n=13 时,参与者获奖的可能性最小.
19. 1Γ1:x24+y243=1,Γ2:x243+y24=1 ;
(2) k2k1=9 ；
(3) G65,0 .
(1) 由题意得, m=4 ,又因为 P11,1 在 Γ1 上,
代入 Γ1 得 14+1n=1 ,所以 n=43 ,则 Γ1:x24+y243=1,Γ2:x243+y24=1 .
(2)设 Mx1,y1,Nx2,y2 ，则 kPM⋅kPM=y1−1x1−1y1+1x1+1=y12−1x12−1 ， 又因为 x124+y1243=1 ,所以 y12=431−x124=4−x123 , 则 kP1M⋅kP3M=4−x123−1x12−1=−13 ,同理可得 kP1N⋅kP3N=−3 ,所以 k2k1=9 .
(3)设直线 Q1Q2,Q2Q3,Q3Q4,Q4N 分别为 l1,l2,l3,l4 ，其斜率依次为 k1,k2,k3,k4 ， 设直线 l1:y−1=k1x−1 ,联立 3x24+y24=1 得 k12+3x2+2k11−k1x+1−k12−4=0 ,
即有 xQ2⋅xP1=k12−2k1−3k12+3 ,所以 xQ2=k12−2k1−3k12+3 ,代入直线方程得 yQ2=−k12−6k1+3k12+3 ,
则 k2=yQ2−1xQ2+1=−2k12−6k12k12−2k1=−k1+3k1−1 ,设 fx=−x+3x−1 ,
则经过 P1,P2 的两直线 l1,l2 之间斜率满足关系: k2=fk1 ,
将直线 l2,l3 绕原点顺时针旋转 π2 后也会经过 P1,P2 ,
所以两者斜率满足 −1k3=f−1k2 ,所以 k3=−1f−1k2=−1−k2−1+3k2=−1k1+2 ,
同理将直线 l3,l4 绕原点顺时针旋转 π 后也会经过 P1,P2 ,
所以两直线斜率满足 k4=fk3 ,
k4=−k3+3k3−1=−−1k1+2+3−1k1+2−1=3k1+5k1+3,
设 Nx,y ,则有 y−1x−1=k1,y+1x−1=k4 ,代入上式得: y+1x−1=3⋅y−1x−1+5y−1x−1+3 ,
得到 y2=5x2−16x+12=5x−6x−2 ,
所以 yx−65⋅yx−2=5 ,因此存在定点 G65,0 ,
使直线 GN 和直线 HN 的斜率之积为定值 5 .x
(−∞,-2)
-2
−2,−23
−23
−23,+∞
f′x
+
0
-
0
+
fx
↗
c
↗
c−3227
↗