山东省青州第一中学2025-2026学年高三下学期第一次模拟数学试题含答案

这是一份山东省青州第一中学2025-2026学年高三下学期第一次模拟数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. i−2+i 的虚部是( )
A. 15 B. −15 C. 25 D. −25
2. 已知集合 A={1,2,3,4},B=y∣y=lg2x,x∈A ，则 A∩B= ()
A. {1,2} B. {2,4} C. {1,2,3} D. {1,2,4}
3. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 5a5 和 S2 的等差中项为 6,则 S7= ( )
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
4. 已知点 A 在圆 x2+y2−2x=0 上，直线 OA 的斜率为 3 ( O 是原点)，则 OA= ( )
A. 12 B. 1 C. 2 D. 3
5. 若 α 为第二象限角,且 tan2α=sinα2+csα ,则 tanα= ( )
A. −15
B. −1515
C. −5
D. −55
6. 某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐, 小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有( )
A. 120 种 B. 144 种 C. 240 种 D. 288 种
7. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左右焦点分别为 F1,F2 ,经过 F2 的直线与 C 的右支交于 A,B 两点，且 AF1=AB ， cs∠BAF1=19 ，则 C 的离心率是( )
A. 213 B. 153 C. 3 D. 5
8. 不等式 e2x+ax+a≥ax+a+1ex 对任意 x∈[0,+∞) 恒成立，则实数 a 的取值范围为( )
A. (−∞,1] B. (−∞,0] C. 0,1 D. [1,+∞)
二、多选题
9. 下列说法正确的是( )
A. 若样本数据 x1,x2,x3,⋯,xn 的方差 s2=0 ,则所有的 xii=1,2,3,⋯,n 都相等
B. 以模型 y=aebx+cabc>0 去拟合一组数据时,令 z=lny−c ,求得线性回归方程为 z=1.32x+4.16 ,则 a=4.16,b=1.32
C. 在 1−x4+1−x5+1−x6+1−x7 的展开式中,含 x3 项的系数是 -69
D. 某校高三年级男生的身高 X (单位:cm)近似服从 N170,52 ，随机选择一名该校高三年级的男生,则 P1750 的两个焦点分别为 F1,F2 ,点 P 是 C 上的一个动点, 当 △PF1F2 面积取得最大值 43 时， ∠PF1F2=60∘ .
(1)求 C 的方程；
(2)过点 E3,0 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 A1 ( A1 与 B 不重合).
(i) 求证: 直线 A1B 过定点;
(ii) 求 △EA1B 面积的最大值.
18. 某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有 3 局，每局获胜可获对应奖金, 奖金可累计.具体规则如下:
游戏I:抛掷质地均匀的相同硬币
第 1 局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得 100 元奖金；第 2 局，抛三枚，向上的图案相同则获胜, 得 500 元奖金; 第 3 局, 抛四枚, 向上的图案相同则获胜, 得 900 元奖金;
游戏II:抛掷质地均匀的特殊骰子(三组对面分别标记 0,2,6 的骰子).
第 1 局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得 300 元奖金；第 2 局，抛三颗，向上的数字相同则获胜, 得 600 元奖金; 第 3 局, 抛四颗, 向上的数字是 2, 0, 2, 6 (不计顺序) 则获
胜, 得 900 元奖金.
(1)求游戏I第 2 局获胜的概率；
(2)若销售部门的 3 位员工均选择游戏 I，设 X 为前两局均未获胜的人数，求 X 的分布列和数学期望;
(3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由.
19. 对于可导函数 fx ,从初始值 x0 出发,定义序列 xn:xn+1=xn−fxnf′xnf′xn≠0 . 已知 fx=x2−3x+1,x0=2 .
(1)设 xn+1=gxn ，求函数 gx 的解析式，并求 x2 的值；
(2)记 α=3+52 ， β=3−52 ，并设 an=xn−αxn−β .
(i) 求证: an+1=an2 ;
(ii) 是否存在正整数 m,n,pm0g0=2>0 ,解得 a>22 ,
综上,实数 a 的取值范围为 22,+∞ .
14. 4+23
设圆柱 OO1 的底面圆半径为 r ,则需满足 2r=ABsin∠ACB=4 ,可得 r=2 ;
易知三棱锥 P−ABC 的外接球与圆柱 OO1 的外接球相同,其半径 R 满足 4πR2=52π ,解得 R=13
设外接球球心为 O2,OO1=h ,
所以 r2+h22=R2 ,解得 h=6 ,即圆柱的高为 6,
因为点 P 是上底面圆周上的一动点,即点 P 到底面 ABC 的距离为 6,
取 AB 的中点为 D ,连接 OD,OA,OB ,因此 OD⊥AB ,如下图:

因为 OA=OB=AB=2 ，所以 OD=3 ，
当点 C 到 AB 的距离最大时， ▵ABC 的面积最大，此时三棱锥 P−ABC 的体积最大；
因为点 C 在下底面的圆周上,所以点 C 到 AB 的距离最大值为 OC+OD=2+3 ,
因此 S△ABCmax=12×2×2+3=2+3 ,
所以三棱锥 P−ABC 体积的最大值为 13×2+3×6=4+23 .
15. (1) A=2π3
(2)2
(1)由 bcsC+2acsAcsB=−c 可得 bcsC+ccsB=−2acsA ,
由正弦定理得 sinBcsC+sinCcsB=−2sinAcsA ,
所以 sinB+C=sinA=−2sinAcsA ,
因为 sinA≠0 ,所以 csA=−12 ,
因为 0