2026年山东省青岛五十八中高考数学一模试卷-普通用卷

这是一份2026年山东省青岛五十八中高考数学一模试卷-普通用卷，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.(1+x)7的展开式中x2的系数是( )
A. 42B. 35C. 28D. 21
2.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x|ln(x+1)0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y= 3x与C的左、右两支分别交于A，B两点，若四边形AF1BF2为矩形，则C的离心率为( )
A. 3+12B. 3C. 3+1D. 5+1
8.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是( )
A. (0, 6+ 2)B. (1,2 2)
C. ( 6− 2, 6+ 2)D. (0,2 2)
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.复数z1，z2满足z1+z2=4，z1⋅z2=8，则( )
A. |z1|⋅|z2|=8B. |z1−z2|=4C. |z1|+|z2|=4D. |z1z2|=1
10.函数f(x)=sinx+acsx(a≠0)在一个周期内的图象可以是( )
A. B.
C. D.
11.已知圆C过抛物线Γ：y2=2px(p>0)上的两点A(1,2)，B(4,−4)，则( )
A. 圆C面积的最小值为454π
B. 圆C与抛物线Γ的公共点个数为3
C. 若圆C与抛物线Γ还有另外两个交点P、Q，则P、Q的纵坐标之和为2
D. 若圆C与抛物线Γ还有另外两个交点P、Q，则直线PQ的斜率为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若sinα−csβ= 22，csα+sinβ=12，则sin(α−β)= .
13.已知曲线y=ex−1与曲线y=alnx+a(a>0)只有一个公共点，则a= .
14.如表为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态.例如，按(2,2)将导致(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)改变状态.如果要求只改变(1,1)的状态，则需按开关的最少次数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2.
(1)证明：A1C1//平面ACD1；
(2)求平面ABCD与平面ACD1所成角的正弦值；
(3)求点B1到平面ACD1的距离.
16.(本小题15分)
设函数f(x)=e2x−alnx.
(Ⅰ)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；
(Ⅱ)证明：当a>0时，f(x)≥2a+aln2a.
17.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(csA+ 3sinA)=a+c.
(Ⅰ)求B；
(Ⅱ)若a=2，c=5，AC，AB边上的中线BE，CF相交于点M.
(i)求BE；
(ii)求cs∠EMF.
18.(本小题17分)
箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s：t.
(1)求取球一次分别取到黄球、白球的概率；
(2)现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数.
(i)求ξ的分布列；
(ii)求ξ的数学期望.
19.(本小题17分)
已知半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(x≤0)组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a>0，b>c>0.如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，
(1)若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
(2)若|A1A|>|B1B|，求ba的取值范围；
(3)一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意，二项式(1+x)7的展开式通项是Tr+1=C7rxr
故展开式中x2的系数是C72=21
故选：D.
由题设，二项式(1+x)7，根据二项式定理知，x2项是展开式的第三项，由此得展开式中x2的系数是C72，计算出答案即可得出正确选项
本题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键
2.【答案】B
【解析】解：A={−1,0,1,2,3}，B={x|ln(x+1)0时，∵y=e2x为单调递增，y=−ax单调递增，
∴f′(x)在(0,+∞)单调递增，
又f′(a)>0，
假设存在b满足0b2+c2=a2，∴a2−b2>(2b−a)2，得bac2=a2−b2，
∴b2a2>12.∴ba∈( 22,45).
(3)设“果圆”C的方程为x2a2+y2b2=1(x≥0)，y2b2+x2c2=1(x≤0).
记平行弦的斜率为k.
当k=0时，直线y=t(−b≤t≤b)与半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)的交点是P(a 1−t2b2,t)，
与半椭圆y2b2+x2c2=1(x≤0)的交点是Q(−c 1−t2b2,t).
∴P，Q的中点M(x,y)满足x=a−c2⋅ 1−t2b2y=t得x2(a−c2)2+y2b2=1.
∵a0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)的交点是(2ka2bk2a2+b2,k2a2b−b3k2a2+b2).
由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点为(ka2bk2a2+b2,−b3k2a2+b2)，轨迹在直线y=−b2ka2x上，即不在某一椭圆上．
当k2b−a，所以a2−b2>(2b−a)2，得ba12可知ba的取值范围．
(3)设“果圆”C的方程为x2a2+y2b2=1(x≥0)，y2b2+x2c2=1(x≤0).记平行弦的斜率为k.当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k>0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)的交点是(2ka2bk2a2+b2,k2a2b−b3k2a2+b2).由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线y=−b2ka2x上，即不在某一椭圆上．
当k