山东青岛市平度市2026届高考模拟检测（一）数学试题含答案

这是一份山东青岛市平度市2026届高考模拟检测（一）数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了 考试结束后, 请将答题卡上交， 已知椭圆 C， 已知双曲线 C等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上， 并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 请将答题卡上交.
一、单项选择题: 本大题共 8 小题. 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四 个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={0,1,2,3},B=x∣x2−x−20,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,过点 F1 的直线与 C 的左支相交于 P,Q 两点, PQ⊥PF2,4PQ=3PF2 ,则 ( )
A. PQ=2a B. PF1=−2QF1
C. C 的离心率为 173 D. 直线 PQ 的斜率为 4
11. 记 △ABC 的内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c ，点 M 为 AC 的中点， b=2 ， csCcsB=2a−c2 ，延长 AC 到点 D ，使点 C 为线段 AD 的中点，则( )
A. B=π3
B. △ABC 周长的取值范围为 (4,6]
C. BM 的最大值为 2
D. BD 的最小值为 221−233
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 二项式 x−1x6 展开式中 x2 项的系数为_____.
13. 若曲线 y=lnx+a 与圆 x2+y2=2 有公共点 Px0,y0 ,且在点 P 处的切线相同,则实数 a= _____.
14. 在三棱锥 A−BCD 中, AD⊥ 平面 BCD,∠ABD+∠CBD=π2,BD=BC=2 ,则三棱锥 A−BCD 外接球表面积的最小值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
15. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 ,点 F 为 C 的焦点, M,N 是 C 上任意不重合的两点,当直线 MN 过点 F 且垂直 x 轴时, MN=4 .
(1)求 C 的方程；
(2)若直线 MN 过点 F 且 △OMN 的面积为 4，求 MN 的方程.
16. 已知函数 fx=ex−ax .
(1)讨论 fx 的单调性;
(2)当 x>0 时, fx≥x2−x+1 恒成立,求 a 的取值范围.
17. 已知三棱锥 P−ABC (如图一) 的平面展开图 (如图二) 中，四边形 ABCD 为边长等于 2 的正方形， △ABE 和 △BCF 均为正三角形，在三棱锥 P−ABC 中:

图一

图二
(1)证明:平面 PAC⊥ 平面 ABC ；
(2)若点 M 在棱 PA 上运动，当直线 BM 与平面 PAC 所成的角最大时，求平面 MBC 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值.
18. 三个人利用手机软件依次进行拼手气抢红包活动,红包的总金额数为 3nn≥2,n∈N 个单位. 第一个人抢到的金额数为 1 到 2n−1 个单位且等可能 (记第一个人抢完后剩余的金额数为 W ),第二个人在剩余的 W 个金额数中抢到 1 到 W−1 个单位且等可能,第三个人抢到剩余的所有金额数，并且每个人抢到的金额数均为整数个单位. 三个人都抢完后，获得金额数最高的人称为手气王(若有多人金额数相同且最高，则先抢到最高金额数的人称为手气王).
(1)若 n=2 ，则第一个人抢到的金额数可能为1,2,3个单位且等可能.
(i) 求第一个人抢到金额数 X 的分布列与期望;
(ii) 求第一个人获得手气王的概率;
(2)在三个人抢到的金额数为2,3,4的一个排列的条件下，求第一个人获得手气王的概率.
19. 在密码学领域, 欧拉函数是非常重要的, 其中最著名的应用就是在 RSA 加密算法中的应用. 设 p,q 是两个正整数,若 p,q 的最大公约数是 1,则称 p,q 互素.对于任意正整数 n ,欧拉函数是不超过 n 且与 n 互素的正整数的个数,记 ϕn .
(1)求 ϕ3 ， ϕ7 和 ϕ21 ；
(2)RSA 算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥:公钥和私钥.具体而言:
①准备两个不同的、足够大的素数 p,q ；②计算 n=pq ，欧拉函数 ϕn ；
③ 求正整数 k ,使得 kq 除以 ϕn 的余数是 1 ;
④其中 n,q 称为公钥， n,k 称为私钥.
已知计算机工程师在某 RSA 算法中公布的公钥是 (187,17). 若满足题意的正整数 k 从小到大排列得到一列数记为数列 bn ,数列 cn 满足 80cn=bn+47 ,若数列 dn 满足
dn=1nn+2,n为奇数tancn2tancn+12+1,n为偶数,求dn的前n 项和 Tn.
1. C
因 x2−x−20x>0 ,
即当 x>1 时,则 g′x>0 ,当 0