山东青岛第五十八中学2026届高三第二次模拟考试数学试题含答案

这是一份山东青岛第五十八中学2026届高三第二次模拟考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了 已知双曲线 C等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写 在答题卡上, 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 A={x∣−30 的右焦点为 Fc,0 ,若双曲线 C 的离心率为 52 , 则双曲线 C 的渐近线与圆 M:4x2+4y2−8cx+3c2=0 的位置关系是
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不确定
8. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究. 设 a,b,mm>0 为整数,若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余,记为 a≡b md m . 若 a=C201⋅2+C202⋅22+⋯+C2020⋅220,a≡b md 9 ,则 b 的值可以是( )
A. 2018 B. 2020 C. 2022 D. 2024
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”。为备战 2024 年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为:9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的( )
A. 众数为 12 B. 平均数为 14
C. 中位数为 14.5 D. 第 85 百分位数为16
10. 已知函数 fx=sinx+sin2x ,则 ( )
A. fx 为周期函数
B. 存在 t∈R ,使得 y=fx 的图象关于 x=t 对称
C. fx 在区间 π3,3π4 上单调递减
D. fx 的最大值为 2
11. 已知椭圆 x24+y2=1 的左右焦点分别为 F1,F2 ，上下顶点分别为 B1,B2 ，左顶点为 A1,P,Q 是椭圆上除顶点外的关于原点对称的两点, 则下列四点可能共圆的是 ( )
A. P,Q,F1,F2 B. P,Q,B1,B2
C. P,Q,F1,B1 D. P,Q,A1,B1
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 1+x5+1−x5 的展开式中 x2 的系数是_____.
13. 已知 O 为坐标原点,点 F 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点,点 A,B 在 C 上, AB 的中点为 F,OA⊥OB ，则 C 的离心率为_____.
14. 已知三棱锥 P−ABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA=PB=PC ， △ABC 是边长为2 正三角形， E,F 分别是 PA,AB 的中点， ∠CEF=90∘ ，则球 O 的体积为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 如图,在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中, AC⊥BC,E 为 BB1 的中点, AB=CC1=2BC=2 .

(1)证明: AC⊥C1E .
(2)求二面角 A−EC1−B 的余弦值.
16. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 AC⋅AB=13AB⋅BC=12BC⋅CA .
(1)求角 A ；
(2)若 b=2 ，求 △ABC 的面积.
17. 已知函数 fx=1−asinx−cs2x,a∈R .
(1)若 a=2 ，求 fx 在 0,π 上的极大值；
( 2 )若函数 gx=fx−fπ2+x ，讨论函数 gx 在 0,π 上零点的个数.
18. 设 O 为坐标原点,抛物线 C1:y2=2x 与 C2:y2=2pxp>0 的焦点分别为 F1,F2,F1 为线段 OF2 的中点. 点 A1,B1 在 C1 上 A1 在第一象限 ) ,点 A2,B2 在 C2 上, A2B2=2A1B1 .
(1)求曲线 C2 的方程；
(2)设直线 A1B1 的方程为 y=2x−2 ，求直线 A1A2 的斜率；
(3)若直线 A1A2 与 B1B2 的斜率之积为 -2，求四边形 A1A2B2B1 面积的最小值.
19. 有 n 张编号分别为 1 到 n 的卡片,横向随机排列.对于这 n 张卡片,初始状态下卡片标号从左到右为 A1,A2,…An ,记此时的卡片排列为 A1,A2,…An . 对这 n 张卡片的排列进行如下三步操作:1.取出最左边的卡片，记其标号为 k ；2.剩余卡片中，标号小于 k 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 L1,L2,…Lk−1 (若不存在则为空),标号大于 k 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 R1,R2,…Rn−k (若不存在则为空)；3. 对这 n 张卡片重新排列,得到新排列: L1,L2,…Lk−1,k,R1,R2,…Rn−k . 每进行完上述三步操作, 称为一次“完整操作”.
(1)若初始排列为 3,5,2,4,1 ，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列；
(2)求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到 1,2,⋯,n 的顺序排列的概率；
(3)记初始排列中有 Bn 个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到 1,2,⋯,n 的顺序排列,当 n≥2 时,证明: Bn+1≤nBn+Bn−1 .
1. D
利用交集运算即可.
由 A∩B={x∣−3