山东青岛第五十八中学2026届高三下学期一模调研检测数学试题含答案

这是一份山东青岛第五十八中学2026届高三下学期一模调研检测数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了 已知双曲线 C等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷与答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 1+x7 的展开式中 x2 的系数为( )
A. 1 B. 7 C. 21 D. 42
2. 已知集合 A={−1,0,1,2,3},B=x lnx+10,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,直线 y=3x 与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C 的离心率为( )
A. 3+12 B. 3 C. 3+1 D. 5+1
8. 有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值范围为( )
A. 0,6+2 B. 1,22 C. 1,6+2 D. 0,22
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 复数 z1,z2 满足 z1+z2=4,z1⋅z2=8 ,则 ( ).
A. z1⋅z2=8 B. z1−z2=4
C. z1+z2=4
D. z1z2=1
10. 函数 fx=sinx+acsxa≠0 在一个周期内的图象可以是( )
A.

B.

C.

D.

11. 已知圆 C 过抛物线 Γ:y2=2pxp>0 上的两点 A1,2,B4,−4 ，则( )
A. 圆 C 面积的最小值为 454π
B. 圆 C 与抛物线 Γ 的公共点个数为 3
C. 若圆 C 与抛物线 Γ 还有另外两个交点 P、Q ,则 P、Q 的纵坐标之和为 2
D. 若圆 C 与抛物线 Γ 还有另外两个交点 P、Q ,则直线 PQ 的斜率为 4
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若 sinα−csβ=22,csα+sinβ=12 ,则 sinα−β= _____.
13. 已知曲线 y=ex−1 与曲线 y=alnx+aa>0 只有一个公共点,则 a= _____.
14. 组合数学常应用于计算机编程, 计算机中著名的康威生命问题与开关问题有相似的地方. 下图为一个开关阵列, 每个开关只有“开”和“关”两种状态, 按其中一个开关一次, 将导致自身和周围所有相邻的开关改变状态,例如,按 2,2 将导致 1,2,2,1,2,3,3,2 改变状态. 如果要求只改变 1,1 的状态，则需按开关的最少次数为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 如图,正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2 .

(1)证明: A1C1// 平面 ACD1 ；
(2)求平面 ABCD 与平面 ACD1 所成角的正弦值；
(3)求点 B1 到平面 ACD1 的距离.
16. 设函数 fx=e2x−alnx .
(I) 讨论 fx 的导函数 f′x 的零点的个数;
(II) 证明: 当 a>0 时 fx≥2a+aln2a .
17. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 bcsA+3sinA=a+c . (1) 求 B ；
(2)若 a=2,c=5,AC,AB 边上的中线 BE,CF 相交于点 M .
(i) 求 BE ;
(ii) 求 cs∠EMF .
18. 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒乓球的数量比为 s:t .
(1)求取球一次分别取到黄球、白球的概率
(2)现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过 n 次，以 ξ 表示取球结束时已取到白球的次数.
(i) 求 ξ 的分布列;
(ii) 求 ξ 的数学期望.
19. 已知半椭圆 x2a2+y2b2=1x≥0 与半椭圆 y2b2+x2c2=1x≤0 组成的曲线称为 “果圆”,其中 a2=b2+c2,a>0,b>c>0 . 如图,设点 F0,F1,F2 是相应椭圆的焦点, A1,A2 和 B1 , B2 是“果圆”与 x,y 轴的交点,

(1)若三角形 F0F1F2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；
(2)若 AA1>B1B ，求 ba 的取值范围；
(3)一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦. 是否存在实数 k ，使得斜率为 k 的直线交果圆于两点,得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上? 若存在,求出所有 k 的值; 若不存在, 说明理由.
1. C
1+x7 展开式中 x2 的系数为 C72=21 .
故选: C.
2. B
由 lnx+10 ， f′x 没有零点；
当 a>0 时，因为 e2x 单调递增， −ax 单调递增，所以 f′x 在 0,+∞ 单调递增. 又 f′a>0 ,当 b 满足 00,∴2b2>b2+c2=a2 ,即 2b>a ,
∴a2−b2>2b−a2 ,
得 bac2=a2−b2 ,
∴b2a2>12 ,即 ba>22 ,
∴ba∈22,45
(3)设“果圆” C 的方程为 x2a2+y2b2=1x≥0 ， y2b2+x2c2=1x≤0 ，
记平行弦的斜率为 k ,
当 k=0 时,设直线 y=t−b≤t≤b
与半椭圆 x2a2+y2b2=1x≥0 的交点是 Pa1−t2b2,t ,
与半椭圆 y2b2+x2c2=1x≤0 的交点是 Q−c1−t2b2,t ,
∴P,Q 的中点 Mx,y 满足 x=a−c21−t2b2y=t得x2a−c22+y2b2=1 ,
∵a0 时,以 k 为斜率过 B1 的直线 l 与半椭圆 x2a2+y2b2=1x≥0 的交点是 2ka2bk2a2+b2,k2a2b−b3k2a2+b2 ,
由此,在直线 l 右侧,以 k 为斜率的平行弦的中点为 ka2bk2a2+b2,−b3k2a2+b2 ,轨迹在直线 y=−b2ka2x 上,即不在某一椭圆上.
当 k