2024-2025学年河北省石家庄外国语学校七年级（下）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省石家庄外国语学校七年级（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）由，得到用表示的式子为
A．B．C．D．
2．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
3．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长相等，则的度数是
A．B．C．D．
4．（3分）下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是
A．B．C．D．
5．（3分）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则
A．B．C．D．
6．（3分）据报道，2024年国庆假期期间，全国国内出游人数约765000000，将数据765000000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
7．（3分）如图是一副初中专用三角尺拼成的图案，，，，，则的度数为
A．B．C．D．
8．（3分）若方程的一个解是，则的值是
A．B．13C．7D．
9．（3分）如图，借助直角三角板作△的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确
A．B．
C．D．
10．（3分）下面展示了解不等式的过程，开始出现错误的一步是
去分母，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
系数化为1，得⑤
A．①B．②C．③D．④
11．（3分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是△的外角．
求证：．
甲、乙的证明过程如下所示，下列判断正确的是
A．只有甲的正确B．只有乙的正确
C．甲、乙的都不正确D．甲、乙的都正确
12．（3分）若，，，则它们的大小关系是
A．B．C．D．
二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知，则 ．（填“”“ ”或“”
14．（3分）如图，在△和△中，，．只需添加一个条件即可证明△△，这个条件可以是 （写出一个即可）
15．（3分）若实数、满足，，则的值是 ．
16．（3分）如图，将直角三角形沿边的方向平移到△的位置，若，，则点与点的距离为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72.分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）分解因式：
①；
②；
（2）先化简，再求值：其中，．
18．（8分）（1）解方程组；
（2）解不等式组，并求满足条件的整数解．
19．（8分）背景：如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有，．
问题：请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？
解决：请把下列解题过程补充完整．
解：，（已知），
，（两直线平行， ，
，，（已知），
．（等量代换），
，
且 ，
，
． ，两直线平行）．
20．（9分）列式：设是一个三位数，则用含，，的代数式表示为 ；
定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数： ；
推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3整除．设是一个顺子数．
（1）请用含的代数式表示和；
（2）通过整式的运算，证明上述发现的结论．
21．（9分）如图，为△外部一点，连接，，已知，．
（1）尺规作图：在△内求作一点，使△△；（提示：以点为圆心，为半径画弧；再以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，
（2）①通过作图可以得到： ， ；
②判定△△的依据是 （从、、或中选填）；
（3）求．
22．（9分）如图1，有足够多的边长为的小正方形类），长为、宽为的长方形类）以及边长为的大正方形类）．
（1）利用图2中的图形，可以将多项式分解为 ；
（2）图3中阴影部分的正方形的边长是 ；
（3）图3中阴影部分的面积有两种不同计算方法，可得下列三个代数式，，之间的数量关系是 ；
（4）利用（3）中的结论，对于有理数，，当，时，求的值．
23．（9分）无人机在航拍、农业、植保、快递运输等诸多方面有广泛应用，七年级某班在我爱石家庄社会实践活动中进行了相关调查．如表是某商家连续两天销售，两种小型无人机的情况：
（1）求，两种无人机每个的售价分别是多少？
（2）若，两种无人机每个进价分别为1200元和800元，商家决定再采购，无人机共30个，采购资金不超过34000元，求种无人机最多能采购多少个？
（3）在（2）的条件下，商店销售完这30个无人机的利润不低于8350元，那么有哪几种采购方案？
24．（12分）如图1和图2，在等边△中，．，为射线上一点，连接并延长至，使，连接，将线段绕点顺时针旋转并延长，交所在直线于点．
（1）如图1，当为中点时，
①求证：△△；
②判断点是否与点重合： （填“是”或“否” ；
（2）如图2，当点在线段上，且时，
嘉嘉说：在上另取点，使；
琪琪说：交直线于点．
连接，请选择其中一人的说法证明，并求的长；
（3）设，，当点在射线上运动时，若，直接写出的取值范围．
2024-2025学年河北省石家庄外国语学校七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）由，得到用表示的式子为
A．B．C．D．
【分析】通过移项即可得出用表示的式子．
【解答】解：由得，
故选：．
【点评】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握用一个未知数表示另一个未知数的方法是解题的关键．
2．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：、，故此选项符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长相等，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】利用“边角边”证得△△，由全等三角形的性质即可得解．
【解答】解：设小正方形的边长为1，
依题得：，，，
在△和△中，
，
△△，
，
，
（等量代换），
综上所述，只有选项正确，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
4．（3分）下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是
A．B．C．D．
【分析】根据绝对值的性质、假命题的概念解答．
【解答】解：、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意；
、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意；
、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意；
、当时，，说明命题是假命题，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．（3分）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则
A．B．C．D．
【分析】由平行线的性质推出，即可求出的度数．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
6．（3分）据报道，2024年国庆假期期间，全国国内出游人数约765000000，将数据765000000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：．
故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
7．（3分）如图是一副初中专用三角尺拼成的图案，，，，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数．
【解答】解：，
，
，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出．
8．（3分）若方程的一个解是，则的值是
A．B．13C．7D．
【分析】把与的值代入方程计算即可求出的值．
【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
9．（3分）如图，借助直角三角板作△的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确
A．B．
C．D．
【分析】结合三角形的高的定义可得答案．
【解答】解：由各选项图形可知，选项所作为△的边上的高，
故选项正确，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查作图—基本作图、三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形的高的定义是解答本题的关键．
10．（3分）下面展示了解不等式的过程，开始出现错误的一步是
去分母，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
系数化为1，得⑤
A．①B．②C．③D．④
【分析】根据不等式的基本性质2判断即可得出答案．
【解答】解：开始出现错误的一步是①，应该是，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据．
11．（3分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是△的外角．
求证：．
甲、乙的证明过程如下所示，下列判断正确的是
A．只有甲的正确B．只有乙的正确
C．甲、乙的都不正确D．甲、乙的都正确
【分析】根据平行线的性质，平角的定义，等式的性质判断即可．
【解答】解：根据题意，两种证法都是正确的，
故选：．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
12．（3分）若，，，则它们的大小关系是
A．B．C．D．
【分析】分别计算出，，的值，再比较大小，得出结论．
【解答】解：，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了数的乘方，零指数幂的计算以及负整数指数幂的计算，熟练地掌握以上计算是解决问题的关键．
二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知，则 ．（填“”“ ”或“”
【分析】利用不等式的性质即可求得答案．
【解答】解：已知，
两边同乘得，
故答案为：．
【点评】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
14．（3分）如图，在△和△中，，．只需添加一个条件即可证明△△，这个条件可以是 （答案不唯一） （写出一个即可）
【分析】根据证明△△，即可得出结论．
【解答】解：这个条件可以是，理由如下：
在△和△中，
，
△△，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
15．（3分）若实数、满足，，则的值是 ．
【分析】由知，结合可得答案．
【解答】解：，
，
又，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查因式分解提公因式法，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
16．（3分）如图，将直角三角形沿边的方向平移到△的位置，若，，则点与点的距离为 5 ．
【分析】先根据平移的性质得出，再由，即可得出结论．
【解答】解：直角三角形沿边的方向平移到△的位置，
，
，，
点与点的距离．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72.分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）分解因式：
①；
②；
（2）先化简，再求值：其中，．
【分析】（1）①利用平方差公式因式分解；
②先提公因式，再利用完全平方公式因式分解；
（2）根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项把原式化简，把、的值代入计算得到答案．
【解答】解：（1）①；
②；
（2）原式，
当，时，原式．
【点评】本题考查的是整式的化简求值、因式分解，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
18．（8分）（1）解方程组；
（2）解不等式组，并求满足条件的整数解．
【分析】（1）利用加减消元法解答即可；
（2）分别求得不等式组中两个不等式的解集，再求它们的公共部分即可得出结论．
【解答】解：（1），
①②，得：，
解得，
将代入②，得：，
解得，
方程组的解为；
（2），
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
所以满足条件的整数解为：，，0，1．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题的关键．
19．（8分）背景：如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有，．
问题：请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？
解决：请把下列解题过程补充完整．
解：，（已知），
3 ，（两直线平行， ，
，，（已知），
．（等量代换），
，
且 ，
，
． ，两直线平行）．
【分析】根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可．
【解答】解：（已知），
（两直线平行，内错角相等），
，（已知），
（等量代换），
，且，
，
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：3；内错角相等；5；6；6；，；内错角相等．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
20．（9分）列式：设是一个三位数，则用含，，的代数式表示为 ；
定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数： ；
推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3整除．设是一个顺子数．
（1）请用含的代数式表示和；
（2）通过整式的运算，证明上述发现的结论．
【分析】根据题意，用，，表示的三位数为；
根据顺子数的定义，写出一个顺子数即可；
（1）根据顺子数的定义，百位数为，十位数为，个位数为妈可得到结果；
（2）把顺子数表示为，整理为，证得结论．
【解答】解：三位数可表示为：；
再举出一个顺子数：789（答案不唯一）；
故答案为：；789（答案不唯一）；
（1），；
（2）证明：
，
，
为整数，
顺子数都可以被3整除．
【点评】本题考查了新定义，整式的运算，读懂题意，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
21．（9分）如图，为△外部一点，连接，，已知，．
（1）尺规作图：在△内求作一点，使△△；（提示：以点为圆心，为半径画弧；再以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，
（2）①通过作图可以得到： ， ；
②判定△△的依据是 （从、、或中选填）；
（3）求．
【分析】（1）根据题意，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，即可．
（2）①根据题意可得答案．
②结合全等三角形的判定可得答案．
（3）结合全等三角形的判定可得，在△中，，在△中，，则可得．
【解答】解：（1）如图，点即为所求．
（2）①通过作图可以得到：，．
故答案为：；．
②判定△△的依据是．
故答案为：．
（3）在△中，，
在△中，．
△△，
．
．
【点评】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（9分）如图1，有足够多的边长为的小正方形类），长为、宽为的长方形类）以及边长为的大正方形类）．
（1）利用图2中的图形，可以将多项式分解为 ；
（2）图3中阴影部分的正方形的边长是 ；
（3）图3中阴影部分的面积有两种不同计算方法，可得下列三个代数式，，之间的数量关系是 ；
（4）利用（3）中的结论，对于有理数，，当，时，求的值．
【分析】（1）用两种方法用代数式表示图2长方形的面积即可；
（2）根据拼图可得答案；
（3）用代数式表示图3的面积即可；
（4）利用代入计算即可．
【解答】解：（1）图2整体上是长为，宽为的长方形，因此面积为，拼成图2的各个部分的面积和为，
所以有，
故答案为：；
（2）图3中阴影部分正方形的边长为，
故答案为：；
（3）图3中整体上是边长为的正方形，因此面积为，图3中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为，
所以有，
故答案为：；
（4），，
．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
23．（9分）无人机在航拍、农业、植保、快递运输等诸多方面有广泛应用，七年级某班在我爱石家庄社会实践活动中进行了相关调查．如表是某商家连续两天销售，两种小型无人机的情况：
（1）求，两种无人机每个的售价分别是多少？
（2）若，两种无人机每个进价分别为1200元和800元，商家决定再采购，无人机共30个，采购资金不超过34000元，求种无人机最多能采购多少个？
（3）在（2）的条件下，商店销售完这30个无人机的利润不低于8350元，那么有哪几种采购方案？
【分析】（1）设每个种无人机的售价是元，每个种无人机的售价是元，利用销售收入销售单价销售数量，结合该商家连续两天销售，两种小型无人机的情况，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设采购个种无人机，则采购个种无人机，利用采购资金种无人机的进价采购种无人机的数量种无人机的进价采购种无人机的数量，结合采购资金不超过34000元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论；
（3）根据商店销售完这30个无人机的利润不低于8350元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合且为正整数，即可得出各采购方案．
【解答】解：（1）设每个种无人机的售价是元，每个种无人机的售价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个种无人机的售价是1500元，每个种无人机的售价是1000元；
（2）设采购个种无人机，则采购个种无人机，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为25．
答：种无人机最多能采购25个；
（3）根据题意得：，
解得：，
又，且为正整数，
可以为24，25，
商店共有2种采购方案，
方案1：采购24个种无人机，6个种无人机；
方案2：采购25个种无人机，5个种无人机．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（12分）如图1和图2，在等边△中，．，为射线上一点，连接并延长至，使，连接，将线段绕点顺时针旋转并延长，交所在直线于点．
（1）如图1，当为中点时，
①求证：△△；
②判断点是否与点重合： 是 （填“是”或“否” ；
（2）如图2，当点在线段上，且时，
嘉嘉说：在上另取点，使；
琪琪说：交直线于点．
连接，请选择其中一人的说法证明，并求的长；
（3）设，，当点在射线上运动时，若，直接写出的取值范围．
【分析】（1）①根据进行证明即可；
②根据三角形全等以及等边三角形的性质求出以及的长，进而进行判断；
（2）任选一个说法，先证明△和△全等，然后证明△和△全等即可；
（3）过作的平行线，根据（2）方法将转化到上，然后进行和的比较，求出的取值范围．
【解答】（1）①证明：是中点，
，
在△和△中，
，
△△；
②解：△△，
，，
，
，，共线，
又，
，
和重合；
故答案为：是；
（2）证明：嘉嘉的说法：，
由（1）①知，△△，
琪琪的说法：，
，
，，
△△，
，，
，
，
，
，，
，
又，
，
在△和△中，
，
△△，
，；
（3）解：过作交于如图：
同理可证：△△，
，
时，在延长线上，
，
即．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/2 9:19:44；用户：林鑫；邮箱：16620973701；学号：50184040甲的证法：，
，
，
．
乙的证法：如图，过点作，
，．
，
．
销售时段
销售数量
销售收入
种无人机
种无人机
第一天
4个
5个
11000元
第二天
6个
10个
19000元
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
A
B
D
C
A
B
A
A
A
D
题号
12
答案
D
甲的证法：，
，
，
．
乙的证法：如图，过点作，
，．
，
．
销售时段
销售数量
销售收入
种无人机
种无人机
第一天
4个
5个
11000元
第二天
6个
10个
19000元