2024-2025学年河北省石家庄外国语学校七年级（下）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省石家庄外国语学校七年级（下）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列运算正确的是
A．B．C．D．
2．（3分）若，下列运用不等式基本性质变形正确的是
A．B．C．D．
3．（3分）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口、和村庄、．小强从道口到公路，他选择的路线为公路，其理由为
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4．（3分）计算的结果是
A．2024B．2026C．2D．3
5．（3分）如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是
A．B．C．D．
6．（3分）计算的结果为
A．1B．C．D．1.2
7．（3分）下列各图中，能直观解释“”的是
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，下列条件能判定的是
A．B．C．D．
9．（3分）下列各多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是
A．B．
C．D．
10．（3分）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是
A．B．C．D．
11．（3分）如图，将三角形沿着某一方向平移一定的距离得到三角形，则下列结论：
①；②；③；④中，正确的是
A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④
12．（3分）在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到15.81亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为
A．元B．元C．元D．元
二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知，，计算： ．
14．（3分）若，，则 ．（请用“”“ ”或“”表示）
15．（3分）按如图程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于33”为一次运算，且运算进行2次才停止．则可输入的实数的取值范围是 ．
16．（3分）微风不躁，阳光正好．正是踏青郊游好时节，越来越多家庭在日常出行时，选择更加低碳环保的方式．图1是某品牌共享单车放置在水平地面的实物图，图2是其示意图．点为自行车坐垫中心，上面挂着一条自然下垂的细绳．点，是自行车车轮中心，，都与行驶路面平行．立管与下管分别平分与，已知，则 ．如图3，当自行车进入斜坡时，某同学发现细绳与立管间的夹角变大，经测量得，则斜面与水平面的夹角
三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（8分）（1）计算：；
（2）计算：．
18．（4分）解不等式：，在数轴上表示解集．
19．（4分）解不等式组，并求其最大整数解．
20．（8分）读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）．
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，．求证：．
证明：如图2，延长交于点，
（已知），
，
又（已知），
（等量代换）．
．
（两直线平行，同旁内角互补）．
又 （已知），
．
（同角的补角相等）．
21．（8分）如图，小志和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，小志和妈妈坐在一端，爸爸坐在另一端．三人的体重一共为，小志的体重是妈妈体重的一半．求小志的体重应小于多少千克？
22．（10分）（1）如图1，已知三角形，尺规作图：过点作；
（2）如图2，在△中，点在上，点在上，点、在上，．且．
①猜想与的位置关系并证明；
②若，平分，求的度数．
23．（10分）某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册．该纪念册每册需要10张大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页．印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页300元张，黑白页50元张；印刷费与印数的关系见下表．
（1）印制这批纪念册的制版费为 元；
（2）若印制2千册，则共需多少费用？
（3）如果该校希望印数至少为4千册，总费用至多为60000元，求印数的取值范围．（精确到0.01千册）
24．（10分）《几何原本》记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理．
（1）观察图图4，进行填空（只需填写对应公式的序号）
图1对应公式 ，图2对应公式 ，
图3对应公式 ，图4对应公式 ．
（2）如图5，在等腰三角形中，，为的中点，为边上一点（不与端点重合），过点作于点，作于点，过点作交的延长线于点（图中所有三角形都是等腰直角三角形）．记△与△的面积之和为，△与△的面积之和为．
①若为边的中点，则的值为 ；
②若不为边的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
25．（10分）如图1和图2，在三角形中，，，过点，分别作直线和射线且，的平分线交于点，设（其中，将点绕逆时针旋转得到点，当直线与直线不平行时，设与交点为．（注：三角形内角和为
（1）如图1，当点在反向延长线上，求；
（2）如图2，当时，求的值；
（3）用含的代数式表示，直接写出结果；
（4）当时，直接写出的值．
2024-2025学年河北省石家庄外国语学校七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据能用同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方计算即可．
【解答】解：、，不符合题意；
、，不符合题意；
、，不符合题意；
、，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟记运算法则是解题的关键．
2．（3分）若，下列运用不等式基本性质变形正确的是
A．B．C．D．
【分析】．根据不等式的性质2，不等式两边同时乘5，不等号方向不变，进行判断即可；
．先根据不等式的性质2，不等式两边同时乘，不等号方向改变，再利用不等式性质1，不等式两边同时加4，不等号方向不变，进行判断即可；
．根据不等式的性质2，不等式两边同时乘4，不等号方向不变，进行判断即可；
．根据不等式性质1，不等式两边同时减3，不等号方向不变，进行判断即可；
【解答】解：．若，则，此选项不等式的变形错误，故此选项不符合题意；
．若，则，，此选项不等式的变形错误，故此选项不符合题意；
．若，则，此选项不等式的变形错误，故此选项不符合题意；
．若，则，此选项不等式的变形正确，故此选项符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，解题关键是熟练掌握利用不等式的基本性质把不等式变形．
3．（3分）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口、和村庄、．小强从道口到公路，他选择的路线为公路，其理由为
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】根据垂线段最短即可解答．
【解答】解：小强从道口到公路，他选择的路线为公路，其理由为垂线段最短．
故选：．
【点评】本题考查垂线段最短，解答本题的关键是熟练掌握垂线段的性质：垂线段最短．
4．（3分）计算的结果是
A．2024B．2026C．2D．3
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
，
故选：．
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（3分）如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是
A．B．C．D．
【分析】实心点表示大于等于或小于等于，空心点表示大于或小于，再根据不等式解集的数轴表示方法判断即可．
【解答】解：由数轴上表示的是某不等式组的解集，可得这个不等式组可以是．
故选：．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键．
6．（3分）计算的结果为
A．1B．C．D．1.2
【分析】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【解答】解：原式
．
故选：．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．（3分）下列各图中，能直观解释“”的是
A．B．
C．D．
【分析】分别根据长方形的面积列式计算即可．
【解答】表示的面积是；
表示的面积是；
表示的面积是；
表示的面积是．
不符合题意，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握长方形的面积公式及幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键．
8．（3分）如图，下列条件能判定的是
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：由，不能判定，
故不符合题意；
，
，
故不符合题意；
由，不能判定，
故不符合题意；
，
，
故符合题意；
故选：．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
9．（3分）下列各多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是
A．B．
C．D．
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：、，符合题意；
、，不符合题意；
、，不符合题意；
、，不符合题意．
故选：．
【点评】此题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练运用平方差公式：是解本题的关键．
10．（3分）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是
A．B．C．D．
【分析】根据实数的大小比较、实数的平方以及假命题的概念解答即可．
【解答】解：、当时，，不能说明命题“如果，那么”是假命题，不符合题意；
、当时，，，能说明命题“如果，那么”是假命题，符合题意；
、当时，，，不能说明命题“如果，那么”是假命题，不符合题意；
、当时，，，不能说明命题“如果，那么”是假命题，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
11．（3分）如图，将三角形沿着某一方向平移一定的距离得到三角形，则下列结论：
①；②；③；④中，正确的是
A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④
【分析】根据平移的性质对所给结论依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
因为△由△平移得到，
所以线段和的长度都表示平移的距离，
则．
故①正确．
对应边平行（或在一条直线上），
则．
故②正确．
与不是对应角，
所以它们不一定相等．
故③错误．
由可得，．
故④正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了平移的性质及平行线的判定与性质，熟知图形平移的性质及平行线的性质是解题的关键．
12．（3分）在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到15.81亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为
A．元B．元C．元D．元
【分析】利用这部电影在上映前三日平均每天的票房这部电影在上映前三日的总票房，即可求出结论．
【解答】解：亿元元，
这部电影在上映前三日平均每天的票房为（元．
故选：．
【点评】本题考查了科学记数法表示较大的数，利用科学记数法表示出这部电影在上映前三日的总票房是解题的关键．
二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知，，计算： 2 ．
【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可．
【解答】解：
，
故答案为：2．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．（3分）若，，则 ．（请用“”“ ”或“”表示）
【分析】根据平方差公式表示出，再比较大小即可．
【解答】解：，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了有理数大小比较以及平方差公式，掌握平方差公式是解答本题的关键．
15．（3分）按如图程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于33”为一次运算，且运算进行2次才停止．则可输入的实数的取值范围是 ．
【分析】列出每一次运算的算式：第一次：，第二次：，再由运算进行2次才停止，列出一元一次不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：由题意可知，第一次：，
第二次：，
由题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
16．（3分）微风不躁，阳光正好．正是踏青郊游好时节，越来越多家庭在日常出行时，选择更加低碳环保的方式．图1是某品牌共享单车放置在水平地面的实物图，图2是其示意图．点为自行车坐垫中心，上面挂着一条自然下垂的细绳．点，是自行车车轮中心，，都与行驶路面平行．立管与下管分别平分与，已知，则 72.5 ．如图3，当自行车进入斜坡时，某同学发现细绳与立管间的夹角变大，经测量得，则斜面与水平面的夹角
【分析】根据与下管分别平分与，已知，得出，利用三角形内角和即可得出；由得出，又根据，，得出，即可得出，从而得出．
【解答】解：如图，交于，延长交于，
与分别平分与，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
．
故答案为：72.5；14．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和，掌握平行线的性质，是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（8分）（1）计算：；
（2）计算：．
【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；
（2）先算单项式乘单项式和多项式乘多项式，再算单项式乘多项式，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）；
（2）
．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（4分）解不等式：，在数轴上表示解集．
【分析】利用不等式的基本性质，先将不等式去括号，然后移项合并同类项，把系数化为1，得到的取值范围．
【解答】解：去括号得，，
移项合并同类项得，，
解得．
在数轴上表示为：
【点评】本题考查解一元一不等式，在数轴上表示不等式的解集，关键是掌握解一元一次不等式的方法．
19．（4分）解不等式组，并求其最大整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，在解集内找到最大整数即可．
【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为：，
则不等式组的最大整数解为1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（8分）读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）．
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，．求证：．
证明：如图2，延长交于点，
（已知），
两直线平行，内错角相等 ，
又（已知），
（等量代换）．
．
（两直线平行，同旁内角互补）．
又 （已知），
．
（同角的补角相等）．
【分析】根据平行线的性质和判定方法，等量代换，进行作答即可．
【解答】证明：如图2，延长交于点．
（已知），
（两直线平行，内错角相等），
又 已知，
（等量代换）．
（同位角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同旁内角互补）．
又（已知），
（两直线平行，同旁内角互补），
同角的补角相等）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；；．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
21．（8分）如图，小志和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，小志和妈妈坐在一端，爸爸坐在另一端．三人的体重一共为，小志的体重是妈妈体重的一半．求小志的体重应小于多少千克？
【分析】设小志的体重为 ，则妈妈体重为 ，爸爸体重为，再利用图象中爸爸比小志和妈妈加起来重，列出不等式即可．
【解答】解：设小志的体重为 ，则妈妈体重为 ，爸爸体重为，
，
解得：，
答：小志的体重应小于25千克．
【点评】本题考查一元一次不等式实际应用，找出不等关系是解题的关键．
22．（10分）（1）如图1，已知三角形，尺规作图：过点作；
（2）如图2，在△中，点在上，点在上，点、在上，．且．
①猜想与的位置关系并证明；
②若，平分，求的度数．
【分析】（1）在的右侧作，直线即为所求；
（2）①，证明即可；
②证明△是等腰直角三角形即可．
【解答】解：（1）如图，直线即为所求；
（2）①结论：．
，
，
，
，
；
②平分，
，
，
，，
，
，，
，
，
．
【点评】本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（10分）某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册．该纪念册每册需要10张大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页．印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页300元张，黑白页50元张；印刷费与印数的关系见下表．
（1）印制这批纪念册的制版费为 1500 元；
（2）若印制2千册，则共需多少费用？
（3）如果该校希望印数至少为4千册，总费用至多为60000元，求印数的取值范围．（精确到0.01千册）
【分析】（1）制版费根据题意直接计算即可；
（2）2千册符合第一个范围．需付费为：制版费印刷费（彩色单价黑白单价；
（3）有可能在第一个范围，也有可能在第二个范围．按不同标准分情况探讨．
【解答】解：（1）元；
（2）若印制2千册，则印刷费为
（元
所以总费用为（元；
（3）设印数为千册，
①若，由题意得
解得
②若，由题意得
解得
综上所述，符合要求的印数（千册）的取值范围为
或．
【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式．
24．（10分）《几何原本》记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理．
（1）观察图图4，进行填空（只需填写对应公式的序号）
图1对应公式 ④ ，图2对应公式 ，
图3对应公式 ，图4对应公式 ．
（2）如图5，在等腰三角形中，，为的中点，为边上一点（不与端点重合），过点作于点，作于点，过点作交的延长线于点（图中所有三角形都是等腰直角三角形）．记△与△的面积之和为，△与△的面积之和为．
①若为边的中点，则的值为 ；
②若不为边的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）根据图1中矩形的面积得；根据图2中矩形的面积得；根据图3中正方形的面积得；根据图4中正方形的面积的面积得；由此即可得出答案；
（2）①依题意得四边形是矩形，证明四边形是正方形，设，则，，，进而得，，则，由此可得的值，
②设，，依题意得四边形是矩形，则，，，，进而得，△△，则，由此得，据此即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
图1中矩形的长为：，宽为：，
图1中矩形的面积为：；
图2中矩形的长为：，宽为：，
图2中矩形的面积为：；
图3中正方形的长为：，
图3中正方形的面积为：；
图4中正方形的长为：，
图4中正方形的面积为：；
图1对应公式④，图2对应公式②，图3对应公式①，图4对应公式③．
故答案为：④；②；①；③；
（2）①图中的所有三角形都是等腰直角三角形，
，，，，，，
四边形是矩形，
又点为边的中点，
是△的中位线，
，
，
矩形是正方形，
设，则，，，
，，
，
，
故答案为：2；
②仍成立，理由如下：
设，，
依题意得：四边形是矩形，
，，
，，
，，
，
．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，几何背景下的乘法公式，整式的运算，准确识图，熟练掌握等腰三角形的性质，乘法公式的结构特征，整式的运算法则是解决问题的关键．
25．（10分）如图1和图2，在三角形中，，，过点，分别作直线和射线且，的平分线交于点，设（其中，将点绕逆时针旋转得到点，当直线与直线不平行时，设与交点为．（注：三角形内角和为
（1）如图1，当点在反向延长线上，求；
（2）如图2，当时，求的值；
（3）用含的代数式表示，直接写出结果；
（4）当时，直接写出的值．
【分析】（1）根据三角形内角和定理得，利用平行线性质得，利用角平分线性质得，继而得到本题答案；
（2）先得到，再由平行线性质得，再利用余角列式即可得到；
（3）分两种情况进行讨论即可；
（4）分两种情况进行讨论即可．
【解答】解：（1），，
，
，
，
的平分线交于点，
，
，
；
（2）将点绕逆时针旋转得到点，
，
，
，，的平分线交于点，
，
，
，
，即：，
解得：；
（3）当时，
，，
；
当时，
，，
；
综上所述：或；
（4）当时，
过点作，
，，
，
，
，，
，
将点绕逆时针旋转得到点，
，
，
，
，
解得：；
当时，
过点作，
同理可得：，
，
由题意得：，
，
；
综上所述：或．
【点评】本题考查平行线性质，角平分线定义，三角形内角和定理，旋转性质等，掌握平行线的性质是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/2 9:28:17；用户：林鑫；邮箱：16620973701；学号：50184040印数 （单位：千册）
彩色 （单位：元张）
2.2
2.0
黑白（单位：元张）
0.7
0.6
公式①：
；
公式②：；
公式③：；
公式④：．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
D
C
D
C
C
D
D
A
B
B
题号
12
答案
D
印数 （单位：千册）
彩色 （单位：元张）
2.2
2.0
黑白（单位：元张）
0.7
0.6
公式①：
；
公式②：；
公式③：；
公式④：．