2024-2025学年河北省石家庄市桥西区七年级（下）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省石家庄市桥西区七年级（下）期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）据不完全统计，2021年河北省中考报名人数已经超过了886000人，数据886000用科学记数法可以表示为（ ）
A．8.86×105B．8.86×106C．88.6×105D．88.6×106
2．（3分）已知x＜y，若ax＞ay，则（ ）
A．a＜0B．a＞0C．a＜1D．a＞1
3．（3分）如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型，若∠1+∠2＝80°，则∠2的度数是（ ）
A．20°B．40°C．100°D．140°
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x2）3＝﹣x8B．（x+y）2＝x2+y2
C．x2•x3＝x5D．x8÷x2＝x4
5．（3分）用提公因式法因式分解多项式：8a2b﹣12a3b2c，其中的公因式是（ ）
A．8a2bB．12a3b2cC．4abD．4a2b
6．（3分）已知x=1y=−2是关于x，y的二元一次方程ax﹣by＝3的解，则2a+4b的值是（ ）
A．3B．6C．9D．12
7．（3分）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点C，依据是（ ）
A．两点之间线段最短
B．垂线段最短
C．过一点可以作无数条直线
D．两点确定一条直线
8．（3分）若a，b是正整数，且满足2a+2a+⋯+2a︸8个2a相加=2b×2b×⋯×2b︸8个2b相乘，则a与b的关系正确的是（ ）
A．a+3＝8bB．3a＝8bC．a+3＝b8D．3a＝8+b
9．（3分）语句“a的14与b的3倍的差的平方是一个非负数”可以表示为（ ）
A．(14a−3b)2≥0B．14a−(3b)2≥0
C．3(14−a)2＞0D．14a−3b2≤0
10．（3分）如图，在直角三角尺ABC和PMN中，∠ACB＝∠MPN＝90°，∠B＝30°，∠PMN＝45°，边AC与边MN都在直线a上，将△ABC向左平移到△A′B′C′的位置，当B′A′经过点P时，∠MPB′＝（ ）
A．115°B．125°C．150°D．165°
11．（3分）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
A．7B．10C．11D．14
12．（3分）三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形称为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上任取一点A，过点A作AB⊥OM于点A，交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（其中0°＜∠OAC＜90°）．
①∠ABO的度数为30°；
②△AOB是“灵动三角形”；
③若∠BAC＝70°，则△AOC是“灵动三角形”；
④当△ABC为“灵动三角形”时，则满足条件的∠OAC的值有4个．
以上结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.）
13．（3分）关于x的不等式x﹣6＞0的解集为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，已知点D，E分别为BC，AD的中点，且S△ABC＝12，则△BEC面积＝ ．
15．（3分）如图，在△ABC中，点M，N分别在AB，AC上，MN∥BC，将△ABC沿MN折叠后，使点A落在点A′处．若∠A′＝30°，∠B＝120°，则∠A′MB＝ °．
16．（3分）如图1，在△ABC内部任取一点P1，则图中互不重叠的所有角的和是540°；在图1中的任一小三角形内任取一点P2（如图2），则图中互不重叠的所有角的和是900°．以此类推，当取到点Pn时，图中互不重叠的所有角的和是 （用含n的代数式表示）．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分.）
17．（7分）把下列各式因式分解．
（1）a3﹣4a；
（2）x2y﹣6xy+9y．
18．（8分）在学习“解一元一次不等式”时，小明的解答过程如下：
（1）上面的解答过程是从第几步出现错误的？
（2）请写出正确的解答过程，并把解集表示在数轴上．
19．（8分）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在AC的延长线上，连接DE交BC于点O．若∠A＝50°，∠D＝25°．
（1）求∠BEO的度数；
（2）若∠COD＝70°，求∠B的度数．
20．（8分）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的小路．
（1）求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式）
（2）若a＝4，b＝2，求这两条小路的总面积．
21．（9分）【概念认识】
如图①，在∠ABC内，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图①，∠ABC＝60°，BE是“邻BC三分线”，则∠EBC＝ °；
（2）如图②，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝72°，若∠C的“邻AC三分线”CM交AB于点D，则∠BDC＝ °；
（3）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的“邻BC三分线”，且∠BPC＝138°，求∠A的度数．
22．（9分）现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张，已知甲卡片是边长为a的正方形，乙卡片是宽为1，长为a的长方形，丙卡片是边长为1的正方形，如图1所示（a＞1）．嘉嘉分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠，无缝隙），如图2和图3，其面积分别为S1，S2．
（1）请用含a的式子分别表示S1＝ ，S2＝ ；
（2）当a＝3时，分别求S1，S2的值；
（3）比较S1与S2的大小，并说明理由．
23．（11分）为进一步提升摩托车和电动自行车骑乘人员的安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动，某商店销售A，B两种头盔，批发价和零售价如表所示．
（1）该商店第一次批发两种头盔共120个，用去5600元，求A，B两种头盔各批发了多少个？
（2）该商店第二次仍然批发这两种头盔共200个进行销售（批发价和零售价不变），若将两次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于3960元，求A种头盔第二次最少采购多少个？
24．（12分）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知MN∥PQ．
（1）如图①，小明将含45°角的直角三角板ABC中的点A落在直线PQ上，若∠BAQ＝25°，则∠BDN的度数为 ；
（2）如图②，小明将含30°角的直角三角板DEF中的点D，F分别落在直线MN，PQ上，若FE平分∠DFP，则DE是否平分∠MDF？请说明理由．
（3）小明将三角板ABC与三角板DEF按如图③所示方式摆放，点C与点F重合，求∠FAM的度数．
2024-2025学年河北省石家庄市桥西区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
12．C ∵∠MON＝60°，AB⊥OM，∴∠ABO＝30°，故①正确；∵∠BAO＝90°＝3∠ABO＝3×30°，
∴△AOB是“灵动三角形”，故②正确；∵∠ABO＝30°，∠BAC＝70°∴∠ACO＝70°+30°＝100°，∠OAC＝90°﹣70°＝20°，∴∠AOC＝60°，∵∠AOC＝3∠OAC＝3×20°，∴△AOC是“灵动三角形”，故③正确；∵△ABC为“灵动三角形”，∠ABO＝30°，0°＜∠OAC＜90°，分三种情况讨论：
当∠ACB＝3∠ABC时，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝60°，∴∠OAC＝30°；当∠ABC＝3∠BAC时，∠BAC＝10°，∴∠OAC＝80°；当∠ACB＝3∠BAC时，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，即4∠BAC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣30°＝150°，∴∠BAC＝37.5°，∴∠OAC＝52.5°，综上所述，满足条件的∠OAC的值有3个，故④错误.
16．（2n+1）×180°在图1中的任一小三角形内任取一点P1（如图1），则图中互补重叠的所有角的和是三个三角形内角的和即：3x180°＝540°，在图1中的任一小三角形内任取一点P2（如图2），△ABC内的点的个数是2，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5，则图中互不重叠的所有角的和是5×180°＝900°，当△ABC内的点的个数是1时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是3，当△ABC内的点的个数是2时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5，以此类推，得到当△ABC内的点的个数是3时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是7，当△ABC内的点的个数是n时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1．当取到点P时，图中互不重叠的所有角的和是（2n+1）×180°.
17．解：（1）原式＝a（a2﹣4）
＝a（a+2）（a﹣2）；
（2）原式＝y（x2﹣6x+9）
＝y（x﹣3）2．
18．解：（1）上面的解答过程是从第①步出现错误的；
（2）x−12−3x−24＜1，
解：去分母得：2（x﹣1）﹣3x+2＜4，
去括号得：2x﹣2﹣3x+2＜4，
移项得：2x﹣3x＜4﹣2+2，
合并同类项得：﹣x＜4，
两边都除以﹣1得：x＞﹣4，
把解集表示在数轴上如下：
．
19．解：（1）在△ADE中，∠A＝50°，∠D＝25°，
∴∠AED＝180°﹣（∠A+∠D）＝105°，
∴∠BEO＝180°﹣∠AED＝75°；
（2）∵∠COD＝70°，
∴∠BOE＝∠COD＝70°，
由（1）可知：∠BEO＝75°，
在△BOE中，∠B＝180°﹣（∠BOE+∠BEO）＝180°﹣（70°+75°）＝35°．
20．解：（1）b（3a+2b）+b（2a+b）﹣b2
＝3ab+2b2+2ab+b2﹣b2
＝（2b2+5ab）（平方米），
即这两条小路的总面积为（2b2+5ab）平方米；
（2）当a＝4，b＝2时，
2b2+5ab
＝2×22+5×4×2
＝8+40
＝48，
即此时这两条小路的总面积为48平方米．
21．解：（1）20
如图①，∵BE是“邻BC三分线”，∴∠EBC=13∠ABC=13×60°＝20°.
（2）84
如图②，∵CD是“邻AC三分线”，∴∠ACD=13∠ACB=13×72°＝24°，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝60°+24°＝84°．
（3）如图③，∵∠BPC＝138°，
∴∠PBC+∠DCB＝180°﹣138°＝42°，
∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的“邻BC三分线”，
∴∠PBC=13∠ABC，∠PCB=13∠ACB，
∴∠PBC+∠DCB=13（∠ABC+∠ACB）＝42°，
∴∠ABC+∠ACB＝126°，
∴∠A＝180°﹣126°＝54°．
22．解：（1）a2+3a+2，5a+1
（2）当a＝3时，S1＝32+3×3+2＝20；
S2＝5×3+1＝16；
（3）S1＞S2；
理由：∵S1﹣S2＝a2+3a+2﹣5a﹣1＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，
∵a＞1，
∴a﹣1≠0，
∴（a﹣1）2＞0，
∴S1＞S2．
23．解：（1）设A种头盔批发了x个，则B种头盔批发了（120﹣x）个，
由题意得：60x+40（120﹣x）＝5600，
解得：x＝40，
∴120﹣x＝120﹣40＝80，
答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个.
（2）设该商店第二次采购了m个A种头盔，则采购了（200﹣m）个B种头盔，
由题意得：（80﹣60）（40+m）+（50﹣40）（80+200﹣m）≥3960，
解得：m≥36，
答：A种头盔第二次最少采购36个．
24．解：（1）25°
（2）平分，理由如下：
∵EF平分∠PFD，
∴∠PFE＝∠DFE＝60°，
∴∠PFD＝120°，
∵MN∥PQ，
∴∠MDF＝180°﹣∠PFD＝60°，
∵∠EDF＝30°，
∴∠MDE＝∠MDF﹣∠EDF＝30°，
∴∠MDE＝∠EDF，
∴DE平分∠MDF；
（3）过F作FG∥DE，如图：
∴∠GFD＝∠FDE＝30°，
∴∠AFG＝∠AFB﹣∠GFD＝15°，
∵MN∥PQ，
∴GF∥MN，
∴∠NAF＝∠AFG＝15°，
∴∠FAM＝180°﹣∠NAF＝165°．
x−12−3x−24＜1
解：去分母得：2（x﹣1）﹣3x﹣2＜1①
去括号得：2x﹣2﹣3x﹣2＜1②
移项得：2x﹣3x＜1+2+2③
合并同类项得：﹣x＜5④
两边都除以﹣1得：x＜﹣5⑤
A种头盔
B种头盔
批发价（元/个）
60
40
零售价（元/个）
80
50
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
B
C
D
B
B
A
A
D
B
C
13．x＞6 14．6 15．60 16.（2n+1）×180°