2024-2025学年河北省石家庄外国语学校七年级（下）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省石家庄外国语学校七年级（下）期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5
C．（ab3）3＝a3b6D．（ab）2＝a2b2
2．（3分）若a＜b，下列运用不等式基本性质变形正确的是（ ）
A．﹣5a＜﹣5bB．4﹣3a＜4﹣3bC．4a＞4bD．a﹣3＜b﹣3
3．（3分）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、N．小强从道口A到公路BN，他选择的路线为公路AN，其理由为（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4．（3分）计算20240+(12)−1的结果是（ ）
A．2024B．2026C．2D．3
5．（3分）如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（ ）
A．x＜1x＞−3B．x≥1x＞−3C．x≤1x＞−3D．x≤1x＜−3
6．（3分）计算(−1.2)2025×(−56)2024的结果为（ ）
A．1B．−56C．−65D．1.2
7．（3分）下列各图中，能直观解释“（3a）2＝9a2”的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，下列条件能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＝∠3D．∠1＝∠4
9．（3分）下列各多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（x+y）B．（2x+y）（2x﹣y）
C．（x2﹣xy）（x2+xy）D．（x+y+m）（x﹣y﹣m）
10．（3分）对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝2B．a＝﹣3C．a=−12D．a＝0
11．（3分）如图，将三角形ABC沿着某一方向平移一定的距离得到三角形DEF，则下列结论：
①AD＝CF；②AC∥DF；③∠ABC＝∠DFE；④∠DAE＝∠AEB中，正确的是（ ）
A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④
12．（3分）在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到15.81亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ）
A．1.581×109元B．1.581×1010元
C．5.027×108元D．5.27×108元
二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知2m＝10，2n＝5，计算：2m﹣n＝ ．
14．（3分）若a＝2025×2025，b＝2027×2023，则a b．（请用“＞”“＜”或“＝”表示）
15．（3分）按如图程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于33”为一次运算，且运算进行2次才停止．则可输入的实数x的取值范围是 ．
16．（3分）微风不躁，阳光正好．正是踏青郊游好时节，越来越多家庭在日常出行时，选择更加低碳环保的方式．图1是某品牌共享单车放置在水平地面的实物图，图2是其示意图．点M为自行车坐垫中心，上面挂着一条自然下垂的细绳MI．点B，E是自行车车轮中心，CD，BE都与行驶路面平行．立管MA与下管DA分别平分∠BAD与∠CDE，已知∠BAD+∠CDE＝215°，则∠DCA＝ °．如图3，当自行车进入斜坡时，某同学发现细绳MI与立管MA间的夹角∠IMA变大，经测量得∠IMA＝31.5°，则斜面与水平面的夹角∠GFH＝ °
三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（8分）（1）计算：（﹣2x+3y）2；
（2）计算：2xy•3y﹣4x（x﹣y）（x+y）．
18．（4分）解不等式：2（5x+3）≤x﹣3（1﹣2x），在数轴上表示解集．
19．（4分）解不等式组x−3(x−2)≥41+2x3＞x−1，并求其最大整数解．
20．（8分）读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）．
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB∥CD，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上，且∠AEF＝∠GHD，MG∥FN．求证：∠EFN＝∠G．
证明：如图2，延长EF交CD于点P，
∵AB∥CD（已知），
∴∠AEF＝∠EPD（ ），
又∵∠AEF＝∠GHD（已知），
∴∠EPD＝ （等量代换）．
∴EP∥GH（ ）．
∴∠EFN+ ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵ （已知），
∴∠FNG+∠G＝180°（ ）．
∴∠EFN＝ （同角的补角相等）．
21．（8分）如图，小志和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，小志和妈妈坐在一端，爸爸坐在另一端．三人的体重一共为150kg，小志的体重是妈妈体重的一半．求小志的体重应小于多少千克？
22．（10分）（1）如图1，已知三角形ABC，尺规作图：过点A作AM∥BC；
（2）如图2，在△ABC中，点E在AC上，点F在BC上，点D、G在AB上，DF∥AC．且∠CDF+∠CEG＝180°．
①猜想EG与CD的位置关系并证明；
②若EG⊥AB，DF平分∠BDC，求∠A的度数．
23．（10分）某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册．该纪念册每册需要10张8K大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页．印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页300元/张，黑白页50元/张；印刷费与印数的关系见下表．
（1）印制这批纪念册的制版费为 元；
（2）若印制2千册，则共需多少费用？
（3）如果该校希望印数至少为4千册，总费用至多为60000元，求印数的取值范围．（精确到0.01千册）
24．（10分）《几何原本》记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理．
（1）观察图1～图4，进行填空（只需填写对应公式的序号）
图1对应公式 ，图2对应公式 ，
图3对应公式 ，图4对应公式 ．
（2）如图5，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，E为边AC上一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥AD于点H，过点B作BF∥AC交EG的延长线于点F（图中所有三角形都是等腰直角三角形）．记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2．
①若E为边AC的中点，则S1S2的值为 ；
②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
25．（10分）如图1和图2，在三角形AMN中，∠AMN＝50°，AM⊥AN，过点A，N分别作直线AB和射线NC且NC∥AB，∠NAB的平分线交NC于点D，设∠NDA＝α°（其中0＜α＜45），将点A绕M逆时针旋转6α°得到点A′，当直线MA′与直线AD不平行时，设MA′与AD交点为P．（注：三角形内角和为180°）
（1）如图1，当点M在NC反向延长线上，求∠NDA；
（2）如图2，当MA′⊥AD时，求α的值；
（3）用含α的代数式表示∠MPA，直接写出结果；
（4）当MA′∥AD时，直接写出α的值．
2024-2025学年河北省石家庄外国语学校七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
15．9＜x≤17 由题意可知，第一次：2x﹣1，第二次：2（2x﹣1）﹣1＝4x﹣3，由题意得2x−1≤334x−3＞33，
解得9＜x≤17．
16．72.5 14 如图，MA交BE于F，延长MI交AB于G，∵MA与DA分别平分∠BAD与∠CDE，
∴∠CAD=12∠BAD，∠CDA=12∠CDE，∴∠CAD+∠CDA=12（∠BAD+∠CDE）=2152=107.5°，
∴∠ACD＝180°﹣（∠CAD+∠CDA）＝180°﹣107.5°＝72.5°，∵CD∥BE，
∴∠BFC＝∠DCA＝72.5°，∵MG⊥BA，∠IMA＝31.5°，∴∠MAB＝90°﹣31.5°＝58.5°，
∴∠EBA＝∠CFB﹣∠MAB＝72.5°﹣58.5°＝14°，∵BE∥FG，BA∥FH，∴∠GFH＝∠EBA＝14°．
17．解：（1）（﹣2x+3y）2＝4x2﹣12xy+9y2；
（2）2xy•3y﹣4x（x﹣y）（x+y）
＝6xy2﹣4x（x2﹣y2）
＝6xy2﹣4x3+4xy2
＝10xy2﹣4x3．
18．解：去括号得，10x+6≤x﹣3+6x，
移项合并同类项得，3x≤﹣9，
解得x≤﹣3．
在数轴上表示为：
19．解：x−3(x−2)≥4①1+2x3＞x−1②，
由①得x≤1，
由②得x＜4，
则不等式组的解集为：x≤1，
则不等式组的最大整数解为1．
20．证明：如图2，延长EF交CD于点P，
∵AB∥CD（已知），
∴∠AEF＝∠EPD（ 两直线平行，内错角相等 ），
又∵∠AEF＝∠GHD（已知），
∴∠EPD＝ ∠GHD （等量代换）．
∴EP∥GH（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠EFN+ ∠FNG ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵MG∥FN （已知），
∴∠FNG+∠G＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∴∠EFN＝ ∠G （同角的补角相等）．
21．解：设小志的体重为xkg，则妈妈体重为2xkg，爸爸体重为（150﹣3x）kg，
x+2x＜150﹣3x，
解得x＜25，
答：小志的体重应小于25千克．
22．解：（1）如图，直线AM即为所求；
（2）①结论：EG∥CD．
∵AC∥DF，
∴∠ACD＝∠CDF，
∵∠CDF+∠CEG＝180°，
∴∠ACD+∠CEG＝180°，
∴EG∥CD；
②∵DF平分∠CDB，
∴∠CDF＝∠BDF，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠BDF，∠ACD＝∠CDF，
∴∠A＝∠ACD，
∵EG⊥AB，EG∥CD，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝∠ACD＝45°．
23．解：（1）4×300+6×50＝1500元；
（2）若印制2千册，则印刷费为
（2.2×4+0.7×6）×2000＝26000（元）
所以总费用为26000+1500＝27500（元）；
（3）设印数为x千册，
①若4≤x＜5，由题意得
1000×（2.2×4+0.7×6）x+1500≤60000
解得x≤4.5
∴4≤x≤4.5
②若x≥5，由题意得
1000×（2.0×4+0.6×6）x+1500≤60000
解得x≤5.04
∴5≤x≤5.04
综上所述，符合要求的印数x（千册）的取值范围为
4≤x≤4.5或5≤x≤5.04．
24．解：（1）④；②；①；③；
如图所示：
∵图1中矩形的长为：a+b+c，宽为：d，
∴图1中矩形的面积为：（a+b+c）d＝ad+bd+cd；
∵图2中矩形的长为：a+b，宽为：c+d，
∴图2中矩形的面积为：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd；
∵图3中正方形的长为：a+b，
∴图3中正方形的面积为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
∵图4中正方形的ABCD长为：a﹣b，
∴图4中正方形的ABCD面积为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
∴图1对应公式④，图2对应公式②，图3对应公式①，图4对应公式③．
（2）①∵图中的所有三角形都是等腰直角三角形，
∴EG∥AD，AH＝HE，EG＝CG，AD＝BD，BG＝FG，∠ADG＝∠DGE＝∠DHE＝90°，
∴四边形DGEH是矩形，
又∵点E为边AC的中点，
∴EG是△ACD的中位线，
∴DG＝CG，
∴EG＝DG，
∴矩形DGEH是正方形，
设CG＝a，则EG＝HE＝DH＝DG＝a，AD＝BD＝2a，BG＝FG＝3a，
∴S1＝S△BFG+S△CEG=12×（3a）2+12×a2＝5a2，S2＝S△ABD+S△AEH=12×（2a）2+12×a2=5a22，
∴S1＝2S2，
∴S2S2=2，
故答案为：2；
②仍成立，理由如下：
设CG＝GE＝a，DG＝b，
依题意得四边形DGEH是矩形，
∴DH＝EG＝a，DG＝HE＝AH＝b，
∴AD＝BD＝a+b，BG＝FG＝a+2b，
∴S1＝S△BFG+S△CEG=12（a+2b）2+12a2＝a2+2ab+2b2，S2＝S△ABD+S△AEH=12（a+b）2+12b2=12（a2+2ab+2b2），
∴S1＝2S2，
∴S2S2=2．
25．解：（1）∵∠AMN＝50°，AM⊥AN，
∴∠MNA＝40°，
∵NC∥AB，
∴∠NAB＝40°，
∵∠NAB的平分线交NC于点D，
∴∠NAD＝∠BAD＝20°，
∵NC∥AB，
∴∠NDA＝∠DAB＝20°；
（2）∵将点A绕M逆时针旋转6α°得到点A'，
∴∠A'MA＝6α，
∴∠PMA＝180°﹣6α，
∵∠NDA＝α°，NC∥AB，∠NAB的平分线交NC于点D，
∴∠NAD＝∠DAB＝∠NDA＝α，
∴∠MAP＝90°﹣α，
∵MA'⊥AD，
∴∠PMA+∠MAP＝90°，即：180°﹣6α+90°﹣α＝90°，
解得α=180°7；
（3）当0＜α＜30°时，
∵∠PMA＝180°﹣6α，∠MAP＝90°﹣α，
∴∠MPA＝180°﹣（180°﹣6α+90°﹣α）=；
当30°≤α＜45°时，
∴∠PMA＝6α﹣180°，∠MAP＝90°+α，
∴∠MPA＝180°﹣（6α﹣180°+90°+α）=；
综上所述：∠MPA=或；
（4）当0＜α＜30°时，
过点N作NH∥AD，
∵∠AMN＝50°，AM⊥AN，
∴∠MNA＝40°，
∵MA'∥AD，
∴NH∥A′M∥AD，∠NDA＝α°，
∴∠DAB＝∠NAD＝α°，
∵将点A绕M逆时针旋转6α°得到点A'，
∴∠A'MN＝6α°﹣50°，
∴∠MNH＝6α°﹣50°，
∴∠HNA＝α°，
∴6α°﹣50°+α°＝40°，
解得α=90°7；
当30°≤α＜45°时，
过点N作NH∥AD，
同理可得∠HNA＝α°，
∴∠AHN＝∠MHG＝90°﹣α°，
由题意得∠AMA'＝360°﹣6α°，
∴360﹣6α°+90°﹣α°＝180°，
∴α=270°7；
综上所述：α=90°7或270°7．
印数a（单位：千册）
1≤a＜5
5≤a＜10
彩色（单位：元/张）
2.2
2.0
黑白（单位：元/张）
0.7
0.6
公式①：（a+b）
2＝a2+2ab+b2；
公式②：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd；
公式③：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
公式④：（a+b+c）d＝ad+bd+cd．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
C
D
C
C
D
D
A
B
B
D
13．2 14．＞ 15.9＜x≤17 16．72.5 14