青岛版（2024）七年级下册（2024）公式法当堂达标检测题

这是一份青岛版（2024）七年级下册（2024）公式法当堂达标检测题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.若实数x，y，z满足 x−z2−4x−yy−z=0 ， 则下列式子一定成立的是（ ）
A . x+y+z=0 B . x+y-2z=0 C . y+z-2x=0 D . z+x-2y=0
2.若n为大于3的整数，则n 3-3n 2+2n（ ）
A . 能被3整除不一定能被6整除
B . 能被6整除不一定能被12整除
C . 能被12整除不一定能被24整除
D . 以上说法都不对
3.多项式x 2＋y 2、－x 2＋y 2、－x 2－y 2、x 2＋（－y 2）、8x 2－y 2、（y－x） 3＋（x－y）、2x 2－ 12y 2中，能在有理数范围内用平方差公式分解的有（ ）
A . 3个 B . 4个 C . 5个 D . 6个
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．下列哪条线段的长度是方程x 2+2ax－b 2＝0的一个根（ ）

A . 线段AD的长
B . 线段BC的长
C . 线段EC的长
D . 线段AC的长
5.下列四个多项式：①﹣a 2+b 2；②﹣x 2﹣y 2；③1﹣（a﹣1） 2；④m 2﹣2mn+n 2 ， 其中能用平方差公式分解因式的有（ ）
A . ①② B . ①③ C . ②④ D . ②③
6.a 2-（b-c） 2有一个因式是a+b-c，则它的另一个因式是（ ）
A . a-b-c B . a+b+c C . a+b-c D . a-b+c
二、填空题
1.一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，球上分别标有数字-2，0，1，4.随机摸出一个小球记作m，然后放回，再随机摸出一个小球记作n，则方程 mx2−2x+n＝0是关于x的一元二次方程且此方程无解的概率为 ________ .
2.夏老师发现，两位同学将一个二次三项式分解因式时，聪聪同学因看错了一次项而分解成3（x﹣1）（x﹣9），江江同学因看错了常数项而分解成3（x﹣2）（x﹣4），那么，聪明的你，通过以上信息可以知道，原多项式应该是被因式分解为 ________ ．
3.已知a ，b， c是三角形△ABC的三边，且满足a 2-b 2+bc-ac=0，则△ABC为 ________ 三角形．
4.已知方程组 {4x+y=5ax−by=−5 和方程组 {3x+2y=5ax+by=1 有相同的解，则a 2﹣b 2的值为 ________ .
5.若x+y＝6，x﹣y＝2，则x 2﹣y 2＝ ________ ．
6.若整数 a使得关于 x的一元一次不等式组 3x−12>−1x+1≤3a−x有解，也使得关于 x的一元二次方程 a−1x2−4x+1=0有实数根，则所有满足条件的整数 a的值的和是 ________ ．
7.小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：
小明的解法从第 ________ 步开始出现错误；这一步的运算依据应是 ________
三、计算题
1.（1）计算： 9+−12×183−−12；
（2）分解因式： 3x3−12xy2 ．
2.计算或化简：
（1） 计算： x−2y2−x−yx+y−yy−x；
（2） 分解因式： x2x−y+2xy−x−y−x；
（3） 化简： −ab2÷3a4b⋅2b3a；
（4） 解分式方程： 1x2−1+1=xx−1 ．
3.计算 1−4因式分解5−7
（1）34a2x2−2a3x2a−2x÷−2ax2
（2） −2a2b2·−3b23；
（3）(a−2b+3c)(a+2b−3c)
（4）(−0.25)2022⋅(−4)2023
（5）3x−12x3
（6）−x2y+6xy−9y
（7）1−x2−y2+2xy
四、综合题
1.已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x 2﹣mx+ m2 ﹣ 14 ＝0的两个实数根.
（1） m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2） 若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？
2.如图（1），大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即 a2+2ab+b2 .同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 .把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”
（1） 用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式： ________ ；
（2） 如图（3）， Rt△ABC 中， ∠C=90° ， CA=3 ， CB=4 ， CH 是斜边 AB 边上的高.用上述“面积法”求 CH 的长；
（3） 如图（4），等腰 △ABC 中， AB=AC ，点O为底边 BC 上任意一点， OM⊥AB ， ON⊥AC ， CH⊥AB ，垂足分别为点M，N，H，连接 AO ，用上述“面积法”，求证： OM+ON=CH .
3.我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．
例如：4x2−4x−y2+1=(4x2−4x+1)−y2=(2x−1)2−y2=(2x−y−1)(2x+y−1)
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．
分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
例如： x2−3x−40 分析：x2−3x−40

观察得出：两个因式分别为 (x+5)与(x−8)
解：原式=(x+5)(x−8)
③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如： y2−10y+21=y2−10y+25−4=(y−5)2−22=(y−5+2)(y−5−2)=(y−3)(y−7) ．
（1） 仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法） ab−a−b+1= ________ ；
②（十字相乘法） y2+3y−10= ________ ；
（2） 已知：a、b、c为 △ABC的三条边， a2+b2+c2−6a=10b+8c−50 ， 判断 △ABC的形状．
五、解答题
1.小明在解决问题：已知 a=12+3 ， 求 2a2−8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a=12+3=2−32+32−3=2−3 ∴a−2=−3 ．
∴a−22=3 ， 即 a3−4a+4=3 ． ∴a2−4a=−1 ，
∴2a2−8a+1=2a2−4a+1=2×−1+1=−1 ．
请你根据小明的分析过程，尝试解决如下问题：
（1） 计算：12+1
（2） 计算：12+1+13+2+14+3+⋯+12026+2025
（3） 若 a=15−2 ， 求 3a2−12a+1的值．
2.已知|a-b+2|+（a-2b） 2=0，求a 2b-2ab 2的值．
3.如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=17，ab=60，求阴影部分的面积．
4.阅读材料并解决问题．
①分解因式：x2+2x−3=x2+2x+1−1−3=x2+2x+1−4=x+12−4
=x+1+2x+1−2=x+3x−1；
②求代数式 2x2+4x−6的最小值：由 2x2+4x−6=2x2+2x−6=2x2+2x+1−1−6 =2x+12−8 ， 可知当 x=−1时， 2x2+4x−6有最小值，最小值是 −8 ． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1） 分解因式： m2−4m−5=_________ ；
（2） 当 a=_________时，多项式 3a2−12a+19有最_________值（填大或小）．
（3） 请问：当a，b为何值时，多项式 a2+b2+4a−6b+27有最小值？并求出这个最小值．
六、阅读理解
1.阅读与思考
观察下列方程系数的特征及其根的特征，解决问题：
（1） 请描述一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征．
（2） 方程 x2−2x−4=0和 x2+2x−4=0是不是关联方程？求解两个方程并判断两个方程的根是否符合根的关系特征．
（3） 请以一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a≠0 ， b2−4ac≥0）为例证明关联方程根的关系特征．
2.阅读理解
阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”．
下面是小亮同学用换元法对多项式 (x2+4x+1)(x2+4x+7)+9进行因式分解的过程．
解：设 x2+4x=y ， 则原式 =y+1y+7+9（第一步）
＝ y2+8y+16 （第二步）
＝ (y+4)2 （第三步）
故原式 =(x2+4x+4)2 （第四步）．
=(x+2)4； （第五步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1） 初步理解：
小亮同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
（2） 尝试应用：
请你用换元法对多项式 x2−2xx2−2x−2−3进行因式分解；
（3） 灵活运用：
请你将多项式 x(x+3)(x−1)(x−4)+36进行因式分解
方程及其根
方程及其根
方程及其关联方程
方程的根
方程及其关联方程
方程的根
①2x2−3x+1=0
x1=12 ，x2=1
①x2+2x−3=0
x1=−3 ，x2=1
②2x2+3x+1=0
x1=−12 ，x2=−1
②x2−2x−3=0
x1=3 ，x2=−1
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