2026年江苏省南京市鼓楼区中考模拟数学自编卷 含答案

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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分选择题和填空题和简答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第填空题、简答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：新教材苏科版数学。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：本题共6个小题，每小题2分，共12分。每小题只有一个选项符合题目要求。
一．选择题（共6小题）
1．下列四个数中，是负数的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：、，故该项不正确，不符合题意；
、，故该项不正确，不符合题意；
、，故该项正确，符合题意；
、，故该项不正确，不符合题意；
故选：．
3．若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如，．在这100个数中，“神秘数”的个数是（ ）
A．10B．11C．12D．13
【解答】解：设两个连续偶数为和，
则，
又是奇数，从而，神秘数是4的倍数，但不是8的倍数，
之间的神秘数有，，，，共计13个，
故选：．
4．如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接、，取、的中点、，连接，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，连接，，，
四边形，四边形都是矩形，、是、的中点，
点是的中点，点是的中点，
，
，，
，
，
将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，
，，
，
，
故选：．
5．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结交于点，若△为等腰三角形，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为，
△为等腰三角形，，
，
，
，，
△△，
，即，
，
，
；
故选：．
6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，与轴相切，点，在上，它们的横坐标分别是0，9．若沿着轴向右作无滑动的滚动，当点第一次落在轴上时，此时点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图1，设与轴的切点为，过点作轴于，连接，，
轴，
点的坐标是，
，，
即的半径为5，
，
在△中，由勾股定理得：，
延长与相交，此时交点到点的距离为9，
而点的横坐标为9，故交点为点，
，
如图2，当点第一次落在轴上时，滚动了，
点滚动的距离为：，
点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为，
此时，，
点的纵坐标为，
点的横坐标为，
点的坐标为，
即此时点的坐标是，
故选：．
二．填空题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
7．的相反数是 2 ；的倒数是 ．
【解答】解：的相反数是 2；的倒数是 2，
故答案为：2，2．
8．若，是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
【解答】解：由根与系数的关系得，
，，
，
故答案为：．
9．用一张半径为20的扇形纸片制成一个圆锥（接缝忽略不计），如果圆锥底面的半径为10，那么扇形的圆心角为 180 度．
【解答】解：设扇形的圆心角为，
根据题意得，解得，
即扇形的圆心角为．
故答案为180．
10．一个多边形的内角和与外角和的和为，则它的边数为 5 ．
【解答】解：设这是一个边形，则
，
解得．
答：它的边数是5．
11．欢欢同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若，则电磁波的波长 4 ．
【解答】解：设波长关于频率的函数解析式为 ，
把点代入上式中得：，
解得：，
；
当时，，
答：当时，此电磁波的波长为．
故答案为：4．
12．如图，是的平分线，是的平分线，，则 ．
【解答】解：是的平分线，
．
是的平分线，
．
．
，
，
．
故答案为：．
13．如图，在△中，，平分，连接并延长至点，使得，连接，恰好有．若，则 ．
【解答】解：延长交于点，连接，
，平分，
，，即垂直平分，
，
，，
，
，即，
，
可设，则，
，
在△中，，
在△中，，
，
，
，
，，
，
；
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，轴于点，．将△沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为 ．
【解答】
解：设点坐标为，则，
，
，
由对称可知：，，
，
作轴，垂足为，
，，
，，
点在反比例函数图象上，
①，
在△中，，
，即②，
由①②解得，
故答案为：．
15．如图，、是线段上两点，、、分别是、、的直径，这三个圆的半径都等于10，设切于，且交于、，则弦的长为 16 ．
【解答】解：连接，，，作于点，则，
、、分别是、、的直径，这三个圆的半径都等于10，
，，
，，
切于，
，
，
，
，
，
，
故答案为：16．
16．在△中，，点在边上，且，以为斜边作等腰直角三角形，则点到边的距离为 2或3 ．
【解答】解：如图，当点在的左边，
在△中，，，
，
，
，，
过作于，
，
，
过作于，于，
则四边形是矩形，
，，，
，
，
在△与△中，
，
△△，
，，
四边形是正方形，
设，
，
，
解得；
，
如图，当点在的右边，
过作于，于，
则四边形是矩形，
，，，
，
，
在△与△中，
，
△△，
，，
四边形是正方形，
设，
，
，
解得，
，
综上所述，点到边的距离为2或3．
故答案为：2或3．
三．解答题（共11小题）
17．计算：．
【解答】解：原式
．
18．先化简，再求值：，其中满足．
【解答】解：
，
满足，
，
或，
或；
当时，原式；
当时，原式．
19．百度推出了“文心一言” 聊天机器人（以下简称款），抖音推出了“豆包” 聊天机器人（以下简称款）．有关人员开展了，两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，下面给出了部分信息：
抽取的对款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：
84，86，86，87，88，89；
抽取的对款聊天机器人的评分数据：
66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对，款聊天机器人的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 15 ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次测验中，有240人对款聊天机器人进行评分、300人对款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？
【解答】解：（1）由题意得：，
即，
款的评分非常满意有（个，“满意”的数据为84、86、86、87、88、89，
把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89，
中位数，
在款的评分数据中，98出现的次数最多，
众数；
故答案为：15，88.5，98；
（2）款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但款评分数据的中位数为88比款的中位数87高，所以款聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）；
（3）（人，
答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的大约共有69人．
20．如图，在四边形中，，，点在上，，平分．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）连接，交于点，若，，求的长．
【解答】（1）证明：，，
，，
四边形为平行四边形，
平分，
，
，
，
四边形为菱形；
（2）解：四边形为菱形，，
，，，
在△中，，
，
，
，
，
．
21．某校在商场购进、两种品牌的篮球，购买品牌篮球花费了2500元，购买品牌篮球花费了2000元，且购买品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的2倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花30元．
（1）问购买一个品牌、一个品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进、两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，品牌篮球售价比第一次购买时提高了，品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买、两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个品牌篮球？
【解答】解：（1）设购买一个品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则．
答：购买一个品牌的篮球需50元，购买一个品牌的篮球需80元．
（2）设该校此次可购买个品牌篮球，则购进品牌篮球个，
由题意得：，
解得：，
答：该校此次最多可购买20个品牌篮球．
22．如图，已知是的直径，平分，且，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
【解答】（1）证明：如图，连接．
，
．
平分，
，
，
．
，
，
是的切线．
（2）解：连接．
，
．
是的直径，
，．
，
．
，，
．
，
．
，，
．
23．，两地相距，一辆快车和一辆慢车分别从，两地同时出发相向而行，相遇后两车继续行驶．快车到达地后立即按原路原速返回，慢车到达地后停止．快、慢两车离地的距离，（单位：与出发时间（单位：之间的函数关系如图所示．
（1）补全与之间的函数图象：
（2）若慢车的速度为．
①点的坐标为 ；
②快车到达地前，两车何时相距？
（3）若慢车在快车返回地后的内到达，则慢车速度的范围是 ．
【解答】解：（1）快车到达地后立即按原路原速返回，
快车返回地时，；
补全与之间的函数图象如下：
（2）①快车速度为，
，
两车出发后相遇，相遇处距地，
的坐标为；
故答案为：；
②根据题意得，
当时，，
两车相距，
，
解得或；
当时，，
两车相距，
，
解得或；
综上所述，当或或或时，两车相距；
（3），，
；
故答案为：．
24．已知点，、，在二次函数的图象上，当，时，．
（1）① ；
②若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ．
（2）若；是图象上的两点，且，求的取值范围．
（3）若对于任意实数，都有，则的取值范围是 ．
【解答】解：（1）①当，时，，
抛物线的对称轴为直线，
，
．
故答案为：．
②若抛物线与轴只有一个公共点，
关于的方程有两个相等的实数根，
△，
．
故答案为：4．
（2）由（1）可知抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点为．
抛物线的开口向上，
当时，，
解得．
（3）抛物线，
当时，函数有最小值．
对于任意实数，都有，
，
解得．
故答案为：．
25．已知：如图点、为定点．
求作：优弧上点使得等于定长．（保留作图痕迹，并将你的构图思维用简要文字加以说明）
【解答】解：如图，作的垂直平分线交于点，以点为圆心为半径作交于点，以点为圆心为半径作，与交于点，连接并延长交于点．根据轴对称的性质，同理在另一侧得到点．点和即为所求．
思路：由于，构造，在等腰△中，
．
由于，，则，，
由于为定角，则也为定角，点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆．
因点又在以点为圆心为半径的圆上．
故两圆交点即为点，连接并延长，即可找到点．
26．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，设点的坐标为，当变化时，是否存在常数，使得△的面积始终为定值，若存在，求出的值及△面积的定值；若不存在，请说明理由．
（3）若将该抛物线在间的部分记为图象，并将图象在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若．求的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）存在．
如图，过点作直线与平行．
由（1）可知抛物线的解析式为，
当时，，
点的坐标为．
点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴直线对称，
点的坐标为．
当时，，
解得，，
点的坐标为．
设直线的解析式为．
将，代入得，，
解得．
直线的解析式为．
直线与平行，点的坐标为，
直线的解析式为，
的值为，△的面积始终为定值．
△的面积为，
当点在直线上时，△面积始终为3．
综上所述，存在常数，使得△的面积始终为定值，的值为，△面积为3．
（3）抛物线沿直线翻折前后如图所示．
由（1）可知抛物线的解析式为，
抛物线的顶点的坐标为，
点的坐标为．
当时，，
点的坐标为．
①当点在点的上方时，，解得，
此时，，
，解得，
．
②当点在点的下方时，，解得，
此时，，
，解得，
．
综上所述，若．的取值范围是．
27．尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
【圆的作图】
（1）点是中边上的一点，在图1中作，使它与的两边相切，点是其中一个切点；
（2）点是中边上的一点，在图2中作，使它满足以下条件：
①圆心在上；②经过点；③与边相切；
【不可及点的作图】
（3）如图3，从墙边上引两条不平行的射线、（交点在墙的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线．
【解答】解：（1）以为圆心，任意长为半径画弧交射线于点、；
分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；
作射线；
以为圆心，任意长为半径画弧交射线于，交射线于；
分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于；
作射线与交于点；
以点为圆心，长为半径画圆；
则圆即为所求；
（2）如图，以为圆心，以任意长为半径画弧交射线于点，；
分别以，为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点；
作射线与射线交于点；
以为圆心，以任意长为半径画弧交射线于点，；
分别以，为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点；
作射线与交于点；
以为圆心长为半径画圆，则即为所求作的圆；
（3）如图，先分别作和的角平分线，，与交于点；
过点分别作和的垂线与交于点，与交于点；
在上取点，在上取点，使，然后分别过点，作，，和交于点；
过作直线，则是和相交的角的平分线．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/11 13:58:58；用户：许天枢；邮箱：[email protected]；学号：38511705
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
C
D
A
C
B
频率
10
15
50
波长
30
20
6
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
88
96
88
87