广东省广州市越秀区高一上学期期末数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省广州市越秀区高一上学期期末数学试题（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡相应的位置上．用2B铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合的混合运算即可得解.
【详解】因为，，所以，
又，所以.
故选：C.
2. 命题的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.
【详解】命题的否定是.
故选：B.
3. 把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数变换即可求解.
【详解】.
故选：D.
4. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（ ）
A. 160000元B. 179200元
C. 198400元D. 297600元
【答案】C
【解析】
【分析】设池底的长为x，宽为y，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，计算出建造这个水池的总造价是，结合基本不等关系求得最小值.
【详解】设池底的长为x，宽为y，则，即
因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，
建造这个水池的总造价是
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C.
5. 已知幂函数的图象过点，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数解析式结合题意可得，代入解一元二次不等式即可.
【详解】设幂函数，
因为幂函数的图象过点，
则，解得，即，
因为，即，
整理可得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B.
6. 函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用初等基本函数的单调性得到的单调性，再利用零点存在定理，结合对数函数的单调性即可得解.
【详解】因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，则，即，
所以，f2=ln2+3×2−5=ln2+1>0，
所以的零点有且只有一个，且所在的一个区间是.
故选：D.
7. 已知则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先要根据已知角的范围求出相关角的余弦值，然后利用两角差公式将所求的转化为已知角的三角函数组合来求解.
【详解】已知，那么.
因为，根据，可得：
.
把变形为.
由两角差公式可得：
.
把，，，代入上式得：
.
故选：B.
8. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数的运算与换底公式比较，利用中间数，分别作差比较，从而得解.
【详解】因为，，
又因为，，所以，
又因为，
因，，故，所以，即，
又，因，，故，
所以，即，所以，
故.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于函数和，下列结论中正确的有（ ）
A. 与有相同的零点B. 与有相同的最大值
C. 与有相同的最小正周期D. 与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正弦函数与余弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项，从而得解.
【详解】A选项，令，得，解得，即为零点，
令，得，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，易得，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，对于，令，得，
对于，令，得，
所以的对称轴为，的对称轴为，
显然图象的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC.
10. 使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先求出不等式对一切实数都成立时的取值范围，然后再看各个选项是否在这个取值范围内.
【详解】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立.
当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.开口向下：二次项系数，即. 与轴无交点：判别式.此种情况，解得.
综合两种情况
不等式对一切实数都成立时取值范围是.
分析各个选项：
A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.
B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件.
C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.
D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.
故选：ACD.
11. 已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由、，利用题目所给的函数性质，结合不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当时，，所以，，故A正确；
又因为，则，故B正确；
，，
，，
，，
，，
，，
，f15>f14+f13>987>900，故D正确；
但没有足够条件判断C的正误.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知角的终边与单位圆的交点为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据任意角三角函数值的定义可得，再利用诱导公式运算求解.
【详解】因为角的终边与单位圆的交点为，则，
所以.
故答案为：.
13. 已知（其中为常数）．①；②当时，．写出满足条件①②的一个函数______．
【答案】（答案不唯一，满足，即可）
【解析】
【分析】对于①：可得；对于②：结合指数函数单调性解得，即可得结果.
【详解】对于①：因为，即，可得；
对于②：当时，，显然，
若，可得，即，
当时，bx>1恒成立，可得，此时显然不恒成立，不合题意；
若，可得，即，
则，解得；
综上所述：，例如，此时.
故答案为：（答案不唯一，满足，即可）.
14. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．
【答案】10
【解析】
【详解】前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t＝5时，P＝0.9P0，代入，得(e－k)5＝0.9，∴e－k＝＝0.9，∴P＝P0e－kt＝P0t.当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P＝0.81P0，代入得0.81＝t，解得t＝10，即需要花费10小时．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，．
（1）求值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方关系计算结合二倍角正弦公式即可求值；
（2）求解，再求解方程组，可得，最后应用两角和的正切公式即可求值.
【小问1详解】
因为，
得，所以.
【小问2详解】
因为且，所以，
，因为，
所以，
得，解得：，，
所以，
所以．
16. 已知函数．
（1）是否存在实数，使函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）判断函数的单调性，并加以证明．
【答案】（1）存在，，
（2）在定义域为内单调递减，证明见详解
【解析】
【分析】（1）依题意可得，即可求出参数的值，再代入检验即可；
（2）利用定义法证明函数的单调性即可.
【小问1详解】
存在，，理由如下：
因为的定义域为，
若函数为奇函数，则，
即，整理可得，解得，
所以.
【小问2详解】
因为的定义域为，当在定义域为内单调递减，
对任意，，设，
则，
因为，则，，，
可得，即，
所以在定义域为内单调递减.
17. 已知函数（且）的最大值为2．
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递增区间．
【答案】（1）或
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）化简的解析式，根据的最大值求得.
（2）利用整体代入法求得的单调递增区间.
【小问1详解】
，
的最大值为，所以，
若，则；
若，则.
综上所述，的值为或.
【小问2详解】
若，则，
由，
解得，
即的单调递增区间为.
若，则，
由，
解得，
即的单调递增区间为.
18. 已知函数.
（1）当时，在同一直角坐标系中画出函数的图象；
（2），用表示中的较小者，记为.当时，求的解析式；
（3）设，记的最小值为，求的最小值.
【答案】（1）图象见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的图象性质作出的图象，从而得解；
（2）利用（1）中的图象，结合函数新定义即可得解；
（3）先得到的解析式，再分类讨论与两种情况，结合二次函数的性质得到的最小值情况，再分类讨论的取值情况即可得解.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
当时，，
又，所以的图象大致如图，
【小问2详解】
因为，，
结合（1）中图象，可知当时，，
当或时，，
所以，即.
【小问3详解】
因为，
所以，
当时，，
则的图象开口向上，对称轴为，
若，则在处取得最小值，
若，则在处取得最小值；
当时，，
则的图象开口向上，对称轴为，
若，则在处取得最小值，
若，则在处取得最小值；
综上，当时，，
又，所以，
此时在时取得最小值；
当时，，此时在时取得最小值；
当时，，
又，所以，
此时在时取得最小值；
综上，的最小值为.
19. 函数的凹凸性是函数的重要性质，运用函数的凹凸性可以很好地解决一些数学问题．在不同的条件下，可以给出函数凹凸性的不同定义．
定义1：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当，有
定义2：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当有
将定义1，2中的“”改为“”，则相应地称函数为上的上凸函数．可以证明定义1与定义2等价．试运用以上信息解答下面的问题：
（1）若，试根据定义1证明为上的下凸函数；
（2）已知为上的上凸函数，若为的内角，求的最大值；
（3）设为大于或等于1的实数，证明：．
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据下凸函数的定义分析证明即可；
（2）根据上凸函数定义结合分析求解即可；
（3）首先利用分析法，将不等式进行变形，并转化为证明在上为下凸函数，
【小问1详解】
因为的定义域为，
任取，
则
，
即，所以为上下凸函数.
【小问2详解】
因为为上的上凸函数，且，，
则，即，
例如时，，
所以的最大值为.
【小问3详解】
设，因为，所以，
要证，只需证，
下证：在上为下凸函数.
设，则，
下证，即证，
即证，
化简得，
即证
又式显然成立，
所以成立，在上为下凸函数，
则得证.
【点睛】方法点睛：本题属于新概念题，根据题目下凸和上凸函数的概念，利用转化和化归的数学思想对复杂函数进行简单化，据函数的单调性解不等式以及对数恒等式的运用.