[数学]广东省广州市越秀区2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

这是一份[数学]广东省广州市越秀区2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的实部是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】因为，所以复数的实部是.
故选：B.
2. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，，
所以，即，即，
即，解得.
故选：A.
3. 在中，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，，所以，又，
所以
.
故选：C.
4. 为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点（ ）
A. 向右平行移动个单位长度B. 向左平行移动个单位长度
C. 向右平行移动个单位长度D. 向左平行移动个单位长度
【答案】A
【解析】为了得到函数的图象，
只要把图象上所有的点向右平行移动个单位长度.
故选：A.
5. 从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A=“抽到的两人都是男生”，事件B=“抽到1名男生与1名女生”，则（ ）
A. 在有放回简单随机抽样方式下，
B. 在不放回简单随机抽样方式下，
C. 在按性别等比例分层抽样方式下，
D. 在按性别等比例分层抽样方式下，
【答案】D
【解析】记3名男生为，3名女生为，
对于选项A，有放回简单随机抽样的样本空间为：
共36个样本点，事件有9个样本点，所以，故选项A错误；
对于选项B，不放回简单随机抽样的样本空间为：
共30个样本点，
事件
有18个样本点，所以，故选项B错误；
对于选项C，在按性别等比例分层抽样方式下，从男生中抽取一人，从女生中抽取一人，
所以，故选项C错误；
对于选项D，在按性别等比例分层抽样方式下，先从男生中抽取一人，再从女生中抽取一人，
其样本空间为，
共有9个样本点，事件，所以，故选项D正确.
故选：D.
6. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学各自的统计结果的数字特征，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A. 中位数为，众数为B. 平均数为，中位数为
C. 中位数为，极差为D. 平均数为，标准差为
【答案】C
【解析】对于A：当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6 时，满足中位数为3，众数为3，
所以A不可以判断；
对于B：当掷骰子出现的结果为1，1，3，4，6 时，满足平均数为3，中位数为3，
可以出现点6，所以B不能判断；
对于C：因为中位数为，极差为，则最大数不超过，故一定不会出现，故C正确；
对于D，若平均数为，且出现点数为，则其余个数的和为，即均为，
所以其标准差为，故D错误.
故选：C．
7. 三棱锥中，，，.若，，则该三棱锥体积的最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 12
【答案】B
【解析】因为，，，平面，
所以平面，平面，所以，则，
所以，
又，所以，，
所以，
当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号.
故选：B.
8. 在四棱锥中，，，则下列结论中不成立的是（ ）
A. 平面内任意一条直线都不与平行
B. 平面内存在无数条直线与平面平行
C. 平面和平面的交线不与底面平行
D. 平面和平面的交线不与底面平行
【答案】D
【解析】因为，，所以四边形为梯形，且、不平行，
对于A：若平面内存在直线与平行，又平面，
所以平面，又平面平面，平面，
所以，与、不平行矛盾，
所以平面内任意一条直线都不与平行，故A正确；
对于B：因为平面和平面的一个交点为，故二者存在过点的一条交线，
在平面内，与平面和平面的交线平行的所有直线（交线除外）均与平面平行，故B正确；
对于C：若平面和平面的交线与底面平行，
设平面和平面的交线为，则平面，
因为平面平面，平面，所以，同理可得，
所以，与、不平行矛盾，
所以平面和平面的交线不与底面平行，故C正确；
对于D：因为，平面，平面，所以平面，
设平面和平面的交线为，平面，所以，
因为平面，平面，所以平面，
故平面和平面的交线与底面平行，故D错误.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件 “第一次摸出球的标号为2”，事件 “第二次摸出球的标号为3”，事件 “两次摸出球的标号之和为4”，事件 “两次摸出球的标号之和为5”，则（ ）
A. 事件与互斥B. 事件与相互独立
C. 事件与互斥D. 事件与相互独立
【答案】CD
【解析】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，
全部的基本事件有：，，，，，，，，，
，，，共个，
事件发生包含的基本事件有：，，有个，
事件发生包含的基本事件有：，，有个，
事件发生包含的基本事件：，有个，
事件发生包含的基本事件：，，，有个，
显然当出现时事件、同时发生，故事件与不互斥，故A错误；
事件与不可能同时发生，即事件与互斥，故C正确；
又，，，
事件与不可能同时发生，即事件与互斥，则，
故事件与不独立，故B错误；
事件发生包含的基本事件：有个，所以，
因为，所以与相互独立，故D正确.
故选：CD.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期是B. 的图象关于点对称
C. 的图象关于直线对称D. 在区间上单调递增
【答案】BCD
【解析】因为，所以的最小正周期，故A错误；
，所以的图象关于点对称，故B正确；
因，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
若，则，因为在上单调递增，
所以在区间上单调递增，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为
【答案】AC
【解析】对于A：若，即，所以，故A正确；
对于B：因为，所以，
而，故B错误；
对于C：设、在复平面内对应的向量为、，则且，
所以，即，
解得，所以，即，
故C正确；
对于D：设，由，即，
所以，所以复数在复平面内对应的点在如图所示的圆环内（不含边界）圆心为坐标原点，半径分别为、，
所以复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为，故D错误.
故选：AC.
12. 在中，，将分别绕边，，所在直线旋转一周，形成的几何体的侧面积分别记为，，，体积分别记为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】将绕边（）所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥，
其底面半径是，母线长为，高为，
所以其体积，其侧面积；
将绕边（）所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥，
其底面半径是，母线长为，高为，
所以其体积，其侧面积；
将绕边（）所在的直线旋转一周形成的几何体是两个底面重合的圆锥，
其底面半径是，母线长分别为和，高之和为，
所以其体积，其侧面积，
对于A：，
当且仅当时取等号，故A正确；
对于B：，
故B正确；
对于C：，
而，所以，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为______.
【答案】
【解析】因为，，所以，
又，所以，解得，
所以，则，，
所以在方向上的投影向量为.
故答案为：.
14. 某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下：
根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差______.
【答案】
【解析】根据题意，在样本中，男生有人，女生有人，
则其平均数，
其方差.
故答案为：．
15. 如图，在扇形中，半径，圆心角，矩形内接于扇形OPQ，其中点B，C都在弧PQ上，则矩形ABCD的面积的最大值为______.
【答案】
【解析】如图，连接，
因为，所以，
又因为矩形ABCD，，所以，
从而可得，所以，
，且，为等边三角形，，
又因为矩形ABCD，，，
过点B作的垂线，垂足为N， 设，
，，，
在中，，，
，
，
，
当，即时，矩形面积最大，且最大值为
故答案为：
16. 已知四边形ABCD是正方形，将沿AC翻折到的位置，点G为的重心，点E在线段BC上，平面，.若，则______，直线GB与平面所成角的正切值为______.
【答案】2 3
【解析】如图所示：
空1：延长交于点，连接，则为中点，如下图所示：
因为平面，平面，平面平面，
所以，
因为点G为的重心，所以，所以.
空2：取中点，连接，则，
设正方形ABCD边长为2，因为，，所以，
又则为中点，所以，
中，，
同理可得，，因为，所以，
又，所以平面，
则为在平面内的投影，
所以或其补角为直线GB与平面所成角，
中，，.
故答案为：2 3.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一个合理的居民生活用水量标准（单位：），使得用户月均用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费.通过随机抽样，获得了该市户居民生活月均用水量（单位：）的数据，整理得到如下的频率分布直方图.
（1）求这户居民生活月均用水量在区间内的频率；
（2）若该市政府希望的居民生活月均用水量不超过标准，试估计的值，并说明理由.
解：（1）由频率分布直方图可知内的频率为
.
（2）因为，
又，
，
则，依题意可得，解得.
所以要使的居民生活月均用水量不超过标准，则居民生活用水量标准为.
18. 如图是函数在一个周期上的图象，点是函数图象与轴的交点，点，分别是函数图象的最低点与最高点，且.
（1）求的最小正周期；
（2）若，求的解析式.
解：（1）设的最小正周期为，
依题意设，则，，
所以，，
所以，即，解得或（舍去）.
（2）由（1）可得，解得，
所以，又，
即，
即，所以，所以，
解得，
又，所以，所以.
19. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两人进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方平后，乙先发球，两人又打了个球该局比赛结束.
（1）求事件“”的概率；
（2）求事件“且乙获胜”的概率.
解：（1）依题意若，则甲连赢球或甲连输球，
所以.
（2）若且乙获胜，则在前个球中乙赢一个、输一个，而后乙连赢球，
记且乙获胜为事件，
所以.
20. 如图，在直三棱柱中，.
（1）证明：平面平面；
（2）若直线AC与平面所成的角为，二面角的大小为，试判断与的大小关系，并说明理由.
解：（1）证明：在直三棱柱中，易知，
又，，且两直线在平面内，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）过作垂直于点，连接，
由（1）可知平面平面，
又平面平面，所以平面，垂足为，
则是直线与平面所成的角，即，
由（1）可知平面，所以，
又，所以是二面角的平面角，即，
在中，，在中，
又，得，
又，，所以.
21. 已知内角、、的对边分别为、、，且.
（1）求；
（2）若点在边上，且，，求.
解：（1）因为，正弦定理可得，
即
，
即，
因为、，则，所以，，即，
所以，，因为，所以，，故.
（2）因为点在边上，且，，则，
则，
即，
所以，
，①
由余弦定理可得，
又因为，所以，，②
联立①②可得.
22. 如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，经过，，三点的平面记为平面，点是侧面内的动点，且.
（1）设平面，求证：；
（2）平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）；
（3）当最小时，求三棱锥的外接球的表面积.
解：（1）连接，
因为且，所以为平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面，
又平面，平面，所以.
（2）在正方形中，直线与直线相交，
设，连接，设，连接，
由为的中点，得为的中点，，
所以平面即为平面，
因为为的中点，所以为的中点，
所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台，
因为正方体的棱长为，
所以
，
另一部分几何体的体积，
两部分的体积．
（3）取的中点，的中点，连接、、、，
显然，，所以，平面，平面，
所以平面，
又为的中点，所以且，又且，
所以且，
所以为平行四边形，所以，
平面，平面，
所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又点是侧面内的动点，且，
所以在线段上，又，
即为等腰三角形，所以当为的中点时最小，
因为为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边的中点，设为，
令，则为的中点，连接，则，所以平面，
所以球心在上，设球心为，连接、、，
设外接球的半径为，，则，
又，，
所以，，解得，则，
所以外接球的表面积.
1
2
3
a
b
c
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，a)
(1，b)
(1，c)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，a)
(2，b)
(2，c)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，a)
(3，b)
(3，c)
a
(a，1)
(a，2)
(a，3)
(a，a)
(a，b)
(a，c)
b
(b，1)
(b，2)
(b，3)
(b，a)
(b，b)
(b，c)
c
(c，1)
(c，2)
(c，3)
(c，a)
(c，b)
(c，c)
1
2
3
a
b
c
1
×
(1，2)
(1，3)
(1，a)
(1，b)
(1，c)
2
(2，1)
×
(23)
(2，a)
(2，b)
(2，c)
3
(3，1)
(3，2)
×
(3，a)
(3，b)
(3，c)
a
(a，1)
(a，2)
(a，3)
×
(a，b)
(a，c)
b
(b，1)
(b，2)
(b，3)
(b，a)
×
(b，c)
c
(c1)
(c，2)
(c，3)
(c，a)
(c，b)
×
性别
人数
平均数
方差
男生
100
172
18
女生
60
164
30